初二数学第五讲与三角形有关的线段和角(教案)

1、个性化教案第05讲 与三角形有关的线段和角适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域全国-人教版课时时长（分钟）120分钟知识点1. 三角形的概念2. 三角形中的主要线段3. 三角形的面积4. 三角形的稳定性5. 三角形的重心6. 三角形的三边关系定理及推论7. 三角形的内角和定理8. 三角形的外角性质9. 共边三角形面积的计算教学目标1. 了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边或角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；2. 会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心3. 掌握三角形内角和定理及推论；4. 按要求解决三角形的边、角的计算问题5. 能用三角形的

2、内心、外心的知识解决简单问题； 教学重点1. 三角形的边、高、中线、角平分线的定义及性质；2. 通过三角形的内角和来确定三角形的外角和以及多边形的外角和；教学难点三角形的三边关系的应用及三角形内角和定理的综合应用教学过程一、复习预习在自然界，三角形有其非凡神奇的魅力。也许你会知道美丽富饶的珠江三角区、长江三角区；国外又有湄公河滨如三角、尼罗河坦塔三角等，特别是大西洋百慕大，甚至有火星上的金字塔物体等，都充满着无穷的“大三角”奥秘。有趣的是，在赋予宇宙信息的人体中，也有一些特殊奇妙的三角区。诸如“致命三角”、“海氏三角”、“多事三角”等。美国发明家富勒上幼稚园时，眼睛远视，又是斗鸡眼。这位发明家

3、回忆道：“老师给了我们一些牙签，要我们盖些房子。别的儿童视力好，熟悉房舍和谷仓的样子，搭了长方形的建筑。我视力不好，看不到结构的形态细节，只好又推又拉偶尔发现三角形可以搭起一种最稳固的房舍。老师们看后，吃惊得很。”若干年后，富勒根据三角形是自然界最稳固形态的信念，于1967年为蒙特利尔世界博览会建设了美国馆。那是一座由无数三角多体形支架拼合而成的大圆球，直径76m，高达10层楼房。为北京奥运会建成的“鸟巢体育馆”，是由无数三角多体形支架拼合而成的前所未有的宏伟建筑。而在中国的古建筑文化艺术中，山东曲阜的少昊陵、银川的西夏王陵和吉林的将军坟等，无不出色地表现出三角形建筑结构的超凡艺术。在国外，埃

4、及的库孚金字塔、墨西哥的阶梯金字塔等，更有探不尽的三角神秘。所以，三角形态除了可以具体地再现事物的外部特征之外，还可以表现事物的本质和规律。它不囿于自然的真实，而是按照人们的科学与审美的意愿，去创造另一番理想的世界。二、知识讲解1.三角形的分类：2.三角形的高、中线、角平分线（1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的垂心.（2）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.（3）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的

5、角平分线。3.三角形的内角与外角（1）三角形的内角：ü 定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角.ü 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.ü 三角形内角和定理的作用：在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；已知三角形三个内角的关系，可求出其内角度数；求一个三角形中各角之间的关系。（2）三角形的外角ü 定义：三角形一边与另一边延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形外角和为360°。ü 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 4三角

6、形的三边关系（1）三边关系性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围。考点/易错点1关于三角形的高的注意事项：（1）三角形的高线是一条线段；（2）锐角三角形的三条高都在三角形内，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，它们的交点是

7、直角的顶点，另一条在三角形的内部。考点/易错点2关于三角形的中线的注意事项：（1）三角形的中线是一条线段；（2）三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形；（3）三角形三条中线交于一点，这一点叫做三角形的重心.考点/易错点3关于三角形的角平分线的注意事项：（1）三角形的角平分线是一条线段；（2）三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫做三角形的内心.考点/易错点4三角形的外角特点：（1）外角的顶点是三角形的一个顶点；（2）外角的一条边是三角形的一边；（3）外角的另一条边是三角形某条边的延长线. 考点/易错点5三角形三边关系注意：这里的“两边”指的是任意的两边. 对于“两边之差”它可能是正

8、数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值；三角形的三边关系是“两点之间，线段最短”的具体应用。三、例题精析【例题1】【题干】原三角形如图，如图1，原三角形内部有1个点时，原三角形可被分成3个三角形；如图2，原三角形内部有2个不同点时，原三角形可被分成5个三角形；如图3，原三角形内部有3个不同点时，原三角形可被分成7个三角形；以此类推，原三角形内部有n个不同点时，原三角形可被分成 个三角形【答案】三角形内部每增加一个点，得到三角形的个数正好是比点的个数的2倍还多1个，故填2n+1【解析】认真审题可以发现：在三角形内部每增加一个点，得到三角形的个数正好是比点的个数的2倍还多1个，以此类推，即可发现

9、规律【变式1】过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；（1）其中以AB为一边可以画出 个三角形；（2）其中以C为顶点可以画出 个三角形【答案】（1）如图，以AB为一边的三角形有ABC、ABD、ABE共3个；（2）如图，以点C为顶点的三角形有ABC、BEC、BCD、ACE、ACD、CDE共6个【解析】考查了三角形的定义，以及网格结构的知识，根据网格结构作出图形是解题的关键【变式2】已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（） A3个B4个C5个D6个【答案】D解

10、：C点所有的情况如图所示：【解析】怎样选取分类的标准，才能做到点C的个数不遗不漏，按照点C所在的直线分为两种情况：当点C与点A在同一条直线上时，AC边上的高为1，AC=2，符合条件的点C有4个；当点C与点B在同一条直线上时，BC边上的高为1，BC=2，符合条件的点C有2个【例题2】【题干】ABC中，ADBC，AE平分BAC交BC于点E（1）B=30°，C=70°，求EAD的大小（2）若BC，则2EAD与CB是否相等？若相等，请说明理由【答案】（1）B=30°，C=70°，BAC=180°BC=80°，AE是角平分线，EAC=BAC=4

11、0°，AD是高，C=70°，DAC=90°C=20°EAD=EACDAC=40°20°=20°；（2）由（1）知，EAD=EACDAC=BAC（90°C）把BAC=180°BC代入，整理得EAD=CB，2EAD=CB【解析】本题利用了三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质求解【变式1】已知BD是ABC的一条中线，ABD与BCD的周长分别为24，17，则ABBC的长是 【答案】BD是ABC的一条中线，AD=CD，ABD与BCD的周长的差=（AB+AD+BD）（BC+CD+BD）=AB+AD+B

12、DBCCDBD=ABBC，ABD与BCD的周长分别为24，17，ABBC=2417=7【解析】考查了三角形的中线，求出两个三角形的周长的差等于ABBC是解题的关键。 【变式2】如图，AD为ABC的中线，BE为ABD的中线（1）ABE=15°，BAD=40°，求BED的度数；（2）在BED中作BD边上的高，垂足为F；（3）若ABC面积为40，BD=5，求BDE中BD边上的高。【答案】（1）ABE=15°，BAD=40°，BED=ABE+BAD=15°+40°=55°；（2）如图，EF即为BED边BD上的高线；（3）AD为ABC

13、的中线，BE为ABD的中线，SABD=SABC，SBDE=SABD，SBDE=×SABC=SABC，ABC的面积为40，SBDE=×40=10，BD=5，×5EF=10，解得EF=4；【解析】本题考查了三角形的中线、高线，以及三角形的面积熟练掌握并利用等底等高的三角形的面积相等与等高的三角形的面积的比等于底边的比是解题的关键【例题3】【题干】如图，在正方形ABCD中，BD=2，DCE是正方形ABCD的外角，P是DCE的角平分线CF上任意一点，则PBD的面积等于（）A1B1.5C2D2.5【答案】APBD的面积等于=1【解析】考查了三角形面积公式以及代入数值求解的能

14、力，注意平行线间三角形同底等高【变式1】如图，在三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（2，4）和（6，2），求三角形AOB的面积 【答案】如图，过A作水平线l交y轴于点E，过B作垂线，交直线l与点C，交x轴于点D，则S矩形ECDO=6×4=24，SRtAEO=×4×2=4；SRtABC=4；SRtOBD=×6×2=6；SOAB=S矩形ECDOSRtABCSRtAEOSRtOBD=10三角形AOB的面积是10【解析】过A作水平线l交y轴于点E，过B作垂线，交直线l与点C，交x轴于点D，四边形面积ECDO为24OAB的面积为24减去三个直角三角形

15、的面积【变式2】（1）如图1所示，已知ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形： ，理由是 。（2）如图2所示，已知：平行四边形AABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形AABC的面积平分，平分平行四边形AABC的方法很多，一般过 画直线总能将平行四边形AABC的面积平分（3）如图3所示，已知：梯形ABCA中，AABC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（ADBC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短请你

16、画出相应的图形说明方案设计的理由【答案】（1）D为BC的中点，SABD=SADC，理由是：等底等高；（2）平行四边形对边中点；（3）如图3，取AA'中点E，连接DE，（4）如图4：连接对边中点M、N，过MN中点O作EFBC，交AD于E，交BC于FEF最短【解析】考查了三角形的面积，在解题时要根据已知条件得出结论，再结合各个知识点【例题4】【题干】手工课上，小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓数为（）A1个B2个C3个D4个【答案

17、】A如图：A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边【解析】三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得【变式1】六边形钢架ABCDEF，由6条钢管铰接而成，如图所示，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接使之不能活动，方法很多，请至少画出三种方法（只需画图，不必写作法）【答案】如图所示【解析】根据三角形具有稳定性，作六边形的三条对角线，把六边形分成三角形即可【变式2】如图，由6条钢管铰接而成的六边形是不稳定的，请你再用三条钢管连接使之稳固（方法很多，请提供四种不同连接方法）【答案】

18、如图所示【解析】根据三角形具有稳定性，用连接的钢管把六边形分成三角形即可【例题5】【题干】ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心如果AG=6，则线段DG的长为（）A2B3C6D12【答案】B三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，DG=AG=3【解析】三角形的重心的性质：三角形重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍 【变式1】如图，O是ABC的重心，则的值是（）ABC2D3【答案】 CO是ABC的重心，=2。【解析】此题主要考查了三角形重心的定义，熟练掌握相关的定义是解题关键【变式2】在ABC中，D、E、F三点将BC分成四等分，XG：BX=1：3，H为AB中点ABC重心是AX

19、BYCZDW【答案】CD、E、F三点将BC分成四等分，BE=CE，AE是ABC边BC的中线，H为AB中点，CH是ABC边BA的中线，交点即是重心【解析】掌握三角形的重心定义找出AE是ABC边BC的中线，CH是ABC边BA的中线是解决问题的关键【例题6】【题干】如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何（）A5B6C7D10【答案】C解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5465+4，能构成三角

20、形，此时两个螺丝间的最长距离为6；选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6276+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+310，不能构成三角形，此种情况不成立；选2+4、3、6作为三角形，则三边长为6、3、6；而6366+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为6；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7【解析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可【变式1】四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交点O求证：AC+BD（AB+

21、BC+CD+DA）证明：在OAB中有OA+OBAB在OAD中有 ，在ODC中有 ，在OBC中有 ，OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OBAB+BC+CD+DA即： ，即：AC+BD（AB+BC+CD+DA）【答案】证明：在OAB中OA+OBAB，在OAD中有OA+ODAD，在ODC中有OD+OCCD，在OBC中有OB+OCBC，OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OBAB+BC+CD+DA即2（AC+BD）AB+BC+CD+DA，即AC+BD（AB+BC+CD+DA）。【解析】三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边【变式2】（2013河北）如图1，

22、M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成ABC，且B=30°，C=100°，如图2下列说法正确的是（）A点M在AB上B点M在BC的中点处C点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D点M在BC上，且距点C较近，距点B较远【答案】CC=100°，ABAC，如图，取BC的中点E，则BE=CE，AB+BEAC+CE，由三角形三边关系，AC+BCAB，ABAD，AD的中点M在BE（BC）上，且距点B较近，距点C较远【解析】作辅助线把ABC的周长分成两个部分是解题的关键，本题需要注意判断AB的长度小于AD的一半，这也是容易忽视而导致求解不完整的地方【例题7】【题干】如图BP、C

23、P分别平分ABC、ACB，请你探索A和P的数量关系解：BP平分ABC（已知），PBC=ABC （ ）同理可得PCB=ACB。BPC+PBC+PCB=180°（ ）BPC=180°PBCPCB （等式的性质）=180°（ABC+ACB ） （ ）=180°（180° ）=90°+ 【答案】BP平分ABC（已知），PBC=ABC（角平分线的定义）同理可得PCB=ACB，BPC+PBC+PCB=180°（三角形的内角和等于180°）BPC=180°PBCPCB（等式的性质）=180°（ABC+ACB

24、）（等量代换）=180°（180°A）=90°+A【解析】根据角平分线的定义、BPC的内角和定理求得求得BPC=180°PBCPCB=180°（ABC+ACB ）=90°+A【变式1】ABC中，AD是高，角平分线AE、BF相交于点O（1）若ABC=60°，C=70°，DAE和BOA的度数；（2）若ABC=，C=（），请用含有、的代表式表示DAE= 【答案】（1）ABC=60°，C=70°，BAC=180°ABCC=50°，AD是高，ADC=90°，DAC=90

25、76;C=20°，AE、BF是角平分线，EAC=BAE=BAC=25°，ABF=ABC=30°，DAE=EACDAC=25°20°=5°；AOB=180°BAOABO=180°25°30°=125°；（2）BAC=180°ABCC=180°，AD是高，ADC=90°，DAC=90°，AE是角平分线，EAC=BAC=（180°），DAE=（180°）（90°）=（）【解析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是18

26、0°【变式2】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明A+B=C+D；（2）如图2，ABCD，AP、CP分别平分BAD、BCD，图2中共有 个“8字形”；若ABC=80°，ADC=38°，求P的度数；（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法）猜想图2中P与B+D的数量关系，并说明理由【答案】（1）在AEB中，AEB=180°AB，在DEC中，DEC=180°DC，AEB=DEC（对顶角相等），180°AB=180°DC，A+B=D+C；（2）交点有点M、N各有1个，交点O有4个，所以，“8字形”图形共有6个

27、；ABC=80°，ADC=38°，OAB+80°=DOC+38°，DCOBAO=42°，AP、CP分别是DAB和BCD的角平分线，DAM=DAB，PCM=OCD，又DAM+P=PCD+ADC，P=PCD+ADCDAM=（DCOBAO）+ADC=×42°+38°=59°；根据“8字形”数量关系，OAB+B=OCD+D，BAM+B=PCM+P，所以，OCDOAB=BD，PCMBAM=BP，AP、CP分别是DAB和BCD的角平分线，BAM=OAB，PCM=OCD，（BD）=BP，整理得，2P=B+D【解析】本题

28、考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键【例题8】【题干】如图，在ABC中，BCA，BAC和ABC的外角平分线AE、BD分别与BC、CA的延长线交于E、D若ABC=AEB，D=BAD求BAC的度数 【答案】设ABC=x，ABC=AEB，AEB=x，1=ABC+AEB=2x，2=2x，3=D=4x，BCA=2+AEC=3x，FBD=D+BCD=7x，DBA=FBD=7x，7x+7x+x=180°，解得x=12°，BAC=180°ABCACB=180°x3x=132°【解析】考查了三角

29、形的内角和为180°也考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质【变式1】如图，在ABC中，A=60°，点E是两条内角平分线的交点，点F是两条外角平分线，点A1是内角ABC、外角ACD平分线的交点的交点（1）求A1EC的度数；（2）求BFC的度数；（3）探索A1与A的数量关系，并说明理由；【答案】（1）点E是两条内角平分线的交点，EBC=ABC，ECB=ACB，BEC=180°（ABC+ACB）=180°（180°A）=90°+A=120°，A1EC=180°120°=60°；（2）点F是两条外角

30、平分线，FBC=（180°ABC），ECB=（180°ACB），BFC=180°（180°ABC+180°ACB）=（ABC+ACB）=（180°A）=90°A=60°，（3）A1=A理由如下：点A1是内角ABC、外角ACD平分线的交点的交点ACD=2A1CD，ABC=2A1BD，A1=A1CDA1BD，A=ACDABD，A=2A1CD2A1BD=2（A1CDA1BD）A=2A1，即A1=A；【解析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°也考查了三角形外角性质友情提示，此题与例题7可以作为常用

31、知识让学生熟悉并且记忆【变式2】如图，已知MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动，OAB的角平分线与ABO的外角平分线交于点C当OAB=60°时，求ACB的度数；试猜想，随着点A，B的移动，ACB的度数是否变化？说明理由【答案】如图，延长AB到点FAC平分OAB（已知），BAC=OAB（角平分线的定义），BC平分OBF（已知），CBF=OBF（角平分线定义），OBF=MON+OAB（三角形的外角性质），CBF=ACB+BAC（三角形的外角性质），ACB=CBFBAC=（MON+OAB）OAB=MON=×90°=45°，即ACB=45

32、°；ACB大小不变理由如下：由知，ACB=CBFBAC=MON=45°即ACB的度数是定值【解析】考查三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义。四、课堂运用【基础】1.不一定在三角形内部的线段是（）A三角形的角平分线B三角形的中线C三角形的高D三角形的中位线【答案】C三角形的中线、角平分线一定在三角形内部，而钝角三角形的高在三角形外部【解析】考查了三角形的高、中线和角平分线，要熟悉它们的性质方可解答2.如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的

33、点C个数是（）A2B3C4D5【答案】CC点所有的情况如图所示：【解析】正确选取分类的标准，才能做到不遗不漏3.三角形的重心是三角形的（）A三条中线的交点B三条角平分线的交点C三边垂直平分线的交点D三条高所在直线的交点【答案】AA、三条中线的交于一点，这一点是三角形的重心；B、三条角平分线的交于一点，这一点是三角形的内心；C、三边垂直平分线的交于一点，这一点是三角形的外心；D、三条高所在直线的交于一点，这一点是三角形的垂心【解析】本题考查了三角形重心的概念，明确重心的画法是解题的关键4.ABC的面积为60，点0是重心，连接BG并延长交AC于D，连接GA，则GAB的面积为（）A40B30C20D

34、10【答案】C连接CG并延长交AB于点E，G是ABC的重心，GE=CE，SGAB=SABC=×60=20【解析】考查三角形的重心及三角形的面积公式5.（2013南通）有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（）A1B2C3D4【答案】C四条木棒的所有组合：3，6，8和3，6，9和6，8，9和3，8，9；只有3，6，8和6，8，9；3，8，9能组成三角形【解析】三角形三边关系：任两边之和第三边，任意两边之差第三边；注意多解和取舍6.如图，在ABC中，BD平分ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE= cm，

35、如果ABD=30°，则ABC= 【答案】BE是AC边上的中线，AC=10cm，AE=AC=×10=5cm，BD平分ABC，ABD=30°，ABC=2ABD=2×30°=60°【解析】根据题意，E是边AC的中点，所以AE=AC，代入数据计算即可；根据角平分线的定义，ABC=2ABD，然后代入数据计算即可7.如图，在ABC中，A=84°，D是BC延长线上的一点，ABC的平分线与ACB的平分线交于点E，ABC的平分线与ACD的平分线交于点E，那么BEC= ，BECE= 【答案】在ABC中，A=84°，ABC+ACB=18

36、0°A=96°又ABC的平分线与ACB的平分线交于点E，EBC+ECB=（ABC+ACB）=48°，BEC=180°（EBC+ECB）=132°BECE=ECE=（ACD+ACB）=×180°=90°【解析】考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质8.如图，在ABC中，1=2，3=4，BOC=120°，则A= 【答案】1+2+3+4+A=180°，2+4+BOC=180°，而1=2，3=4，22+24+A=180°，2+4+BOC=180°，22+24+2BOC=3

37、60°，2BOCA=180°，而BOC=120°，A=2×120°180°=60°【解析】考察三角形内角和定理9.ABC边长a，b，c均为整数，且a和b满足|a4|+（b1）2=0，求ABC中c边的长【答案】|a4|+（b1）2=0，a=4，b=1又a，b，c均为三角形的三边，3c5c为整数，c=4答：ABC中c边的长为4【解析】本题要特别注意非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零；初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）10.在ABC中，已知ABC=60

38、76;，ACB=50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点求ABE、ACF和BHC的度数【答案】BE是AC上的高，AEB=90°，ABC=60°，ACB=50°，A=180°60°50°=70°，ABE=180°90°70°=20°，CF是AB上的高，AFC=90°，ACF=180°90°70°=20°，ABE=20°，EBC=ABCABE=60°20°=40°，A

39、CF=20°，ACB=50°，BCH=30°，BHC=180°40°30°=110°【解析】此题主要考查了三角形的高，三角形内角和定理，关键是熟练掌握三角形内角和为180°，理清角之间的关系【巩固】1（2012房山区一模）任意四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，把AOB、AOD、COD、BOC的面积分别记作S1、S2、S3、S4，则下列各式成立的是（）AS1+S3=S2+S4BS3S2=S4S1CS1S4=S2S3DS1S3=S2S4【答案】D过点D作DEAC于点E，则S1=CODE，S2=AODE，同理可证：

40、，S1S3=S2S4【解析】解题时抓住不同底等高三角形面积间的数量关系2.如果一个三角形的各边长均为整数，周长大于4且不大于10，请写出所有满足条件的三角形的三边长【答案】解：周长大于4且不大于10，周长为5，6，7，8，9，10，当周长为5时，最长边不能超过2，三边长只能是2，2，1；当周长为6时，最长边不能超过2，三边长只能是2，2，2；当周长为7时，最长边不能超过3，三边长只能是2，2，3；1，3，3；当周长为8时，最长边不能超过3，三边长只能是2，3，3；当周长为9时，最长边不能超过4，三边长只能是2，3，4；3，3，3；1，4，4；当周长为10时，最长边不能超过4，三边长只能是2，4

41、，4；3，3，4【解析】考查了三角形的三边关系，三角形三边关系定理3.（2013达州）在ABC中，A=m°，ABC和ACD的平分线交于点A1，得A1；A1BC和A1CD的平分线交于点A2，得A2；A2012BC和A2012CD的平分线交于点A2013，则A2013= 度【答案】解：A1B平分ABC，A1C平分ACD，A1BC=ABC，A1CA=ACD，A1CD=A1+A1BC，即ACD=A1+ABC，A1=（ACDABC），A+ABC=ACD，A=ACDABC，A1=A，A1=m°，A1=A，A2=A1=A，以此类推A2013=A=°【解析】解题的关键是推导出A1

42、=A，并能找出规律4. 解答下列问题（1）如图，ABC中，ABC=50°，ACB=70°，D为边BC上一点（D与B、C不重合），连接AD，ADB的平分线所在直线分别交直线AB、AC于点E、F求证：2AEDCAD=170°；（2）若ABC=ACB=n°，且D为射线CB上一点，（1）中其他条件不变，请直接写出AED与CAD的数量关系（用含n的代数式表示）【答案】（1）DE平分ADB，设ADE=BDE=x°AED=ABC+BDE，ABC=50°，AED=x°+50°，ADB=ACB+CAD，CAD=ADBACB，ACB=

43、70°，ADB=（2x）°，CAD=（2x）°70°由×2，得：2AEDCAD=170°；（2）2AEDCAD=（3n）°或2AED+CAD=540°（3n）°【解析】设ADE=BDE=x°，则可表示出AED；再结合三角形的外角性质可表示出CAD，即可推出两个角的关系5.（1）如图（1），ABC中，ABC、ACB的平分线交于O，A=40°，求BOC度数（2）如图（2），DEF两个外角的平分线相交于点G，D=40°，求EGF的度数（3）由（1）、（2）可以发现BOC与EGF有怎

44、样的数量关系？设A=D=n°，BOC与EGF是否还具有这样的数量关系？为什么？【答案】（1）A=40°，ABC+ACB=180°40°=140°BO、CO是ABC、ACB角平分线，OBC+OCB=（ABC+ACB）=×140°=70°，BOC=180°（OBC+OCB）=180°70°=110°；（2）设ABC的两个外角为、则G=180°（+），利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和可知+=D+DFE+D+DEF=180°

45、+40°=220°，G=180°（+）=70°；（3）A=D=n°，BOC与EGF互补证明：当A=n°时，BOC=180°（180°n°）÷2=90°+，D=n°，EGF=180°360°（180°n°）÷2=90°，A+D=90°+90°=180°，BOC与EGF互补【解析】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°及三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等

46、于和它不相邻的两个内角之和【拔高】1.已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），AON=30°，当A=时，AOP为直角三角形；当A满足 时，AOP为钝角三角形【答案】若AOP是直角三角形，应分为两种情况：当A=90°时，AOP是直角三角形，当APO=90°时，A=180°90°30°=60°，若AOP是钝角三角形，应分为两种情况：当A是钝角时，A90°，AOP是钝角三角形；当APO时钝角时，A60°，AOP是钝角三角形；【解析】本题考查了三角形的分类和三角形的内角和定理的应用，注意要进行分类讨

47、论2如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动（1）若|x+2y5|+|2xy|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；（2）设BAO的邻补角和ABO的邻补角的平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图，延长BA至E，在ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若EAC、FCA、ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问AGH和BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由【答案】（1）解方程组：，得：，A（1，0），B

48、（0，2）；（2）P的大小不发生变化，P=180°PABPBA=180°（EAB+FBA）=180°（ABO+90°+BAO+90°）=180°（180°+180°90°）=180°135°=45°；（3）AGH=BGC，理由如下：作GMBF于点M由已知有：AGH=90°EAC=90°（180°BAC）=BAC，BGC=BGMCGM=90°ABC（90°ACF）=（ACFABC）=BAC，AGH=BGC【解析】考查角平分线性质

49、，三角形内角和定理，非负数的性质等知识3.如图1，在平面直角坐标系中，OA=7，OC=18，将点C先向上平移7个单位，再向左平移4个单位，得到点B（1）写出点B的坐标；（2）如图2，若点P从点C出发，以2个单位长度/秒的速度沿CO方向移动，同时点Q从点O出发以1个单位长度/秒的速度沿OA方向移动，设移动的时间为t秒（0t7）试求出四边形BQOP的面积；若记ABQ的面积为S1，PBC的面积记为S2，当S1S2时，求t的取值范围【答案】（1）将点C先向上平移7个单位，即点C落在AB的延长线上，纵坐标为7，横坐标为18，再向左平移4个单位，横坐标变为184=14，故其坐标为（14，7）；（2）S四边

50、形BQOP=S梯形ABCOSABQSPBC=（AB+OC）PCAO=（14+18）×7×14×（7t）×2t×7=1127（7t）7t=11249+7t7t=63S1=SABQ=×14×（7t）=497t，S2=SPBC=×2t×7=7t又S1S2，497t7t，t又0t7，t的取值范围是t7【解析】（1）要熟悉平移的定义：平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移平移不改变物体的形状和大小平移可以不是水平的（2）利用三角形和梯形的面积

51、公式，将三角形和梯形的面积用含t的代数式表示出来，再进一步解答课程小结1. 确定三角形的个数2. 三角形的角平分线、中线和高线的性质3. 三角形的面积的应用4. 三角形的稳定性5. 三角形的重心6. 三角形三边关系7. 三角形内角和定理及外角性质的应用课后作业【基础】1.如图，ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则AO是ABE的角平分线；BO是ABD的中线；DE是ADC的中线；ED是EBC的角平分线的结论中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【答案】BABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，BAD=CAD，AE=CE，在ABE中，BAD=CAD，AO是ABE的角平分线，正确；AOOD，

52、所以BO不是ABD的中线，错误；在ADC中，AE=CE，DE是ADC的中线，正确；ADE不一定等于EDC，那么ED不一定是EBC的角平分线，错误【解析】用到的知识点为：三角形一个角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线；连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线2.在现实的生产、生活中有以下四种情况：用“人”字梁建筑屋顶； 自行车车梁是三角形结构；用窗钩来固定窗扇； 商店的推拉防盗铁门其中用到三角形稳定性的是（）ABCD【答案】C用“人”字梁建筑屋顶，是利用三角形具有稳定性；自行车车梁是三角形结构，是利用三角形具有稳定性；用窗钩来固定窗扇，是利用三角形具有稳定性；商店的

53、推拉防盗铁门，不是利用三角形具有稳定性；综上所述，用到三角形稳定性的是【解析】考查三角形的稳定性，要熟悉生活中物品形状3.要判断ABC的面积是DBC的面积的几倍，只有一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是（）A3次以上B3次C2次D1次【答案】D解：连接AD并延长交BC于M，作DFBC交AP于点F一次测量AM（AD）即可得AD，AM长，即可算出DM长，由，即可求出ABC的面积是DBC的面积的几倍所以只量一次【解析】根据同底三角形的面积比等于高之比求解4.在ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果DG=2，那么线段AD的长是（）A2B3C6D12【答案】CAD是BC边上的中线，G是重心，如果DG=2，AG=2DG=4，线段AD的长是6。【解析】主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍5. O是ABC的重心，则图中与ABD面积相等的三角形个数为A3B4C5D6【答案】CO是ABC的重心，BD=CD，又ABD与ADC的高相等，ABD与ACD的面积相等=SABC，同理可知：CBE与ABE，ACF与BCF面积相等，并且都为ABC面积的一半，图中与ABD面积相等的三角形个数为5个，【解析】考查三角形面积、重心的性质及等积变换的知识点。6.已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则