电磁学第2章导体周围的静电场

1、2012级级物理学专业物理学专业第二章第二章 导体周围的静电场导体周围的静电场电磁学与电动电磁学与电动力学力学v前言（前言（Preface）v静电场中的导体静电场中的导体 (Conductor in electrostatic field) )v封闭导壳内外的场封闭导壳内外的场 ( (Field of confining conductor shell)v电容器及其电容电容器及其电容 ( (Capacitor and its capacity)v带电体系的静电能带电体系的静电能 (Charged bodies electrostatic energy)前言（前言（Preface)一、本章的基本

2、内容及研究思路一、本章的基本内容及研究思路 本章和下章是前面内容的深入和发展本章和下章是前面内容的深入和发展 ，因为研究对，因为研究对象仍然是相对于观察者静止的电荷分布所产生的场，所以象仍然是相对于观察者静止的电荷分布所产生的场，所以静电场的普遍规律仍是本章研究问题的理论基础。静电场的普遍规律仍是本章研究问题的理论基础。基本内基本内容及研究思路容及研究思路是是: : 首先说明金属导体的电结构特点和导体首先说明金属导体的电结构特点和导体的的静电平衡条件静电平衡条件，然后以此为前提，以静电场的普遍规，然后以此为前提，以静电场的普遍规律律高斯定理和环路定理为根据，讨论导体高斯定理和环路定理为根据，讨

3、论导体（包括空腔导（包括空腔导体和导体组）的静电性质体和导体组）的静电性质（导体在静电平衡时电荷分布（导体在静电平衡时电荷分布场强分布和场强分布和电势分布电势分布等特点）等特点） 。教材从导体组静电性质。教材从导体组静电性质的角度讨论了电容器的构造，的角度讨论了电容器的构造，电容的定义和计算电容的定义和计算以及电容以及电容器的器的联接联接等问题。等问题。电容器的主要功能是充放电电容器的主要功能是充放电，其规律在，其规律在后面讨论。后面讨论。二、本章的基本要求二、本章的基本要求1.1.了解金属导体电结构的基本特点，理解静电感应现象，了解金属导体电结构的基本特点，理解静电感应现象，了解静电平衡建立

4、的过程；了解静电平衡建立的过程；2.2.掌握导体的静电性质，能从静电平衡条件出发，根据静掌握导体的静电性质，能从静电平衡条件出发，根据静电场的基本规律分析论证导体在静电平衡时的电场的基本规律分析论证导体在静电平衡时的电势分布电势分布、电荷分布、场强分布等特点；电荷分布、场强分布等特点；3.3.理解并初步掌握用电场线的性质讨论导体静电平衡问题理解并初步掌握用电场线的性质讨论导体静电平衡问题的基本方法；的基本方法；4.4.掌握空腔导体静电平衡时腔内表面电荷分布的特点及其掌握空腔导体静电平衡时腔内表面电荷分布的特点及其论证方法，理解静电屏蔽的原理，了解静电屏蔽的应用；论证方法，理解静电屏蔽的原理，了

5、解静电屏蔽的应用；5.5.掌握电容的概念及电容器的串、并联公式，会求几种典掌握电容的概念及电容器的串、并联公式，会求几种典型电容器（平行板、球形、圆柱形）的电容；型电容器（平行板、球形、圆柱形）的电容；6.6.掌握点电荷组掌握点电荷组电容器的能量表示式。电容器的能量表示式。三、几个术语三、几个术语带电导体：总电量不为零的导体；带电导体：总电量不为零的导体；中性导体：总电量为零的导体；中性导体：总电量为零的导体；孤立导体：不受其它电荷影响的导体；孤立导体：不受其它电荷影响的导体； 2.1 静电场中的导体(conductor in electrostatic field)2.1.1 静电平衡静电平

6、衡 带电体系中的电荷静止不动，电场的分布不随时间带电体系中的电荷静止不动，电场的分布不随时间而改变的状态，称为而改变的状态，称为静电平衡状态静电平衡状态。 导体的静电平衡的必要条件导体的静电平衡的必要条件就是就是其体内的场强处处为其体内的场强处处为零零。反证法可以说明：如果导体内的电场不是处处为零，。反证法可以说明：如果导体内的电场不是处处为零，则在则在 E 不为零的地方自由电荷就要受到电场力的作用发不为零的地方自由电荷就要受到电场力的作用发生移动，这样就不是静电平衡。生移动，这样就不是静电平衡。 这里说的这里说的“场强场强”是所有电荷共同激发的总场强，是所有电荷共同激发的总场强，是一个合贡献

7、。是一个合贡献。“内部处处场强为零内部处处场强为零”中的中的“处处处处”，也即也即“点点点点”，这个点指导体内宏观的点，这个点指导体内宏观的点,即即物理无限小物理无限小体元体元。 下面来看导体下面来看导体从非平衡态趋于平衡态的过程从非平衡态趋于平衡态的过程： 考虑一个不带电的导体，在其周围没有带电体考虑一个不带电的导体，在其周围没有带电体时，它的内部以及表面上电荷处处为零，导体内时，它的内部以及表面上电荷处处为零，导体内部各点场强为零，从而导体内部各点场强为零，部各点场强为零，从而导体内部各点场强为零，这是个最简单的静电平衡状态这是个最简单的静电平衡状态。 当当把一个不带电的导体放在外场把一个

8、不带电的导体放在外场 中，在导中，在导体所占据的那部分空间里本来是有电场体所占据的那部分空间里本来是有电场 存在的，存在的，各处的各处的电势不同电势不同。0E0E+-+-0EE0E+ABVV2、导体内部没有净电荷，电荷只能分布导体内部没有净电荷，电荷只能分布在导体表面在导体表面。 证明：设有一带电导体，在导体内任取证明：设有一带电导体，在导体内任取一点一点 P，围绕，围绕P 点作一很小的闭合曲面，点作一很小的闭合曲面，运用运用Gauss定理，定理，P 0qSdES00qE故由于 另外采用反证法：如果导体内有电荷存在，另外采用反证法：如果导体内有电荷存在，它将在周围激发电场，有电场线，沿着电场它

9、将在周围激发电场，有电场线，沿着电场线的方向将有线的方向将有电势降落电势降落，这与，这与等势体相等势体相矛盾。矛盾。3、在导体外，紧靠导体表面的点的场强方向与在导体外，紧靠导体表面的点的场强方向与导体表面垂直，场强大小与导体表面对应点的导体表面垂直，场强大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比电荷面密度成正比。 证明：导体表面带电，场强在带电面上有证明：导体表面带电，场强在带电面上有突变所以一般不谈导体表面的场强而谈导体外突变所以一般不谈导体表面的场强而谈导体外紧靠导体表面的各点的场强，即谈紧靠导体表面的各点的场强，即谈“导体表面导体表面附近点的场强附近点的场强”； 由于电场线处处与由于电场线处

10、处与等势面等势面正交，所以导体正交，所以导体外的场强必与它的表面垂直；外的场强必与它的表面垂直； 场强大小与面电荷密度成正比，可由场强大小与面电荷密度成正比，可由Gauss定理求得：定理求得： 导体表面S2S1neP在导体外紧靠表面任取一在导体外紧靠表面任取一点点P ，该点的场强，该点的场强 ，在，在P点附近的点附近的导体表面上取一面元导体表面上取一面元S1，这面元取得充分小，使得这面元取得充分小，使得其上的电荷面密度其上的电荷面密度可认可认为是均匀的，以为是均匀的，以 为轴，为轴， S1为底作一为底作一Gauss面，面，使园柱侧面与使园柱侧面与S1垂直，垂直，园柱的上底通过园柱的上底通过 P

11、，下底，下底在导体内部，两底都与在导体内部，两底都与S1平行，并无限靠近，平行，并无限靠近，因此通过因此通过Gauss面的电通面的电通量为量为nnEE eneSSdE上底SdE下底SdE侧面SdE上底dSEcos下底dSEcos侧面dSEcos1cos , 2 , 0 , SEdSESdEEnS上底因此侧面上下底在导体内在在Gauss面内所包围的电荷为面内所包围的电荷为 ，因，因而得到而得到1Sq0nE0nEe即：即：由此得到由此得到结论结论： 导体表面电荷密度大的地方场强大，面导体表面电荷密度大的地方场强大，面电荷密度小的地方场强小。电荷密度小的地方场强小。0nEe2.1.2带电导体所受的静

12、电力带电导体所受的静电力 从从理解理解上上式式 出发：出发：a、电荷面密度、电荷面密度是是s上面的，而上面的，而E是所有电荷产是所有电荷产生的总场强；生的总场强；b、此式应与无限大带电平面的场强公式、此式应与无限大带电平面的场强公式 区别区别开来；开来；c、s上面的电荷在其极附近处产生的场强上面的电荷在其极附近处产生的场强为为 ，而其余电荷在同一点产生的场强为而其余电荷在同一点产生的场强为 ，叠加后，叠加后为为 ；d、场强、场强 不受公式形式的影响，但不受公式形式的影响，但E和和随时受随时受外界电荷的影响（外界电荷通过影响外界电荷的影响（外界电荷通过影响而影响导体而影响导体界面附近的界面附近的

13、E）；）； 020202000/nEe e、s上面的电荷受其余的电荷产生的电场的上面的电荷受其余的电荷产生的电场的作用力为作用力为则则单位面积的电荷受的力（力密度）为单位面积的电荷受的力（力密度）为0(/ 2)FEss2012nfE e201 2nFse即2.1.3孤立导体孤立导体的形状对电荷分布的影响的形状对电荷分布的影响 在一个孤立导体上面电荷密度的大小与在一个孤立导体上面电荷密度的大小与表面曲率有关，对于表面曲率有关，对于形状比较简单的孤立导体形状比较简单的孤立导体，在表面向外突的地方（曲率为正）电荷较密；在表面向外突的地方（曲率为正）电荷较密；表面较平坦的地方，电荷较疏；表面向内凹的表

14、面较平坦的地方，电荷较疏；表面向内凹的地方（曲率为负）电荷更疏地方（曲率为负）电荷更疏。有。有 关系（见关系（见P49中的中的(2-6)式）。式）。 如如图：图：+R1 对于形状比较复杂的孤立导体，一般来说，对于形状比较复杂的孤立导体，一般来说，面电荷密度与导体表面曲率半径面电荷密度与导体表面曲率半径R之间没有之间没有 的关系的关系，如图：，如图：R1+ABCCBACBA但三点曲率相等. 尖端放电尖端放电 孤立带电导体表面凸出的地方孤立带电导体表面凸出的地方 大，附近的场大，附近的场强强E大，当达到一定程度时产生尖端放电现象，大，当达到一定程度时产生尖端放电现象，在尖端附近的强大电场作用下，空

15、气中本来就有在尖端附近的强大电场作用下，空气中本来就有的离子（由于大气电现象，宇宙射线和辐射源的的离子（由于大气电现象，宇宙射线和辐射源的辐照等原因引起的）会发生激烈的运动，在激烈辐照等原因引起的）会发生激烈的运动，在激烈运动过程中，离子和空气分子相碰撞，使空气分运动过程中，离子和空气分子相碰撞，使空气分子电离，从而产生大量的新离子，使空气变得易子电离，从而产生大量的新离子，使空气变得易于导电。与尖端上电荷异号的离子受到吸引，最于导电。与尖端上电荷异号的离子受到吸引，最后与尖端上的电荷中和；与尖端上电荷同号的离后与尖端上的电荷中和；与尖端上电荷同号的离子受到排斥而飞离导体，形成子受到排斥而飞离

16、导体，形成“电风电风”。 在我们生活实际中，上述现象应用比较广泛在我们生活实际中，上述现象应用比较广泛。避雷针避雷针利用了导体尖端放电效应；而高压线表利用了导体尖端放电效应；而高压线表面则应该光滑，半径也不宜过小，高压设备中面则应该光滑，半径也不宜过小，高压设备中的电极都是球面状的，都是为了避免尖端放电的电极都是球面状的，都是为了避免尖端放电带来有害的后果。带来有害的后果。2.1.4 导体导体静电平衡时的讨论方法静电平衡时的讨论方法 一般来说，讨论导体的静电平衡问题困难校大，因为一般来说，讨论导体的静电平衡问题困难校大，因为静电场中的导体，由于静电感应要产生感应电荷，感应静电场中的导体，由于静

17、电感应要产生感应电荷，感应电荷也要产生电场，从而使空间的电场发生变化。此外，电荷也要产生电场，从而使空间的电场发生变化。此外，如果原来的电场是由另外导体上的电荷产生的，那么，如果原来的电场是由另外导体上的电荷产生的，那么，由于感应电荷的存在，还将引起原来电荷分布的变化，由于感应电荷的存在，还将引起原来电荷分布的变化，所以感应电荷的出现与分布在这两个意义上改变了原来所以感应电荷的出现与分布在这两个意义上改变了原来空间的电场分布，而电场分布的变化返过来又将引起电空间的电场分布，而电场分布的变化返过来又将引起电荷分布的变化，电场和电荷相互作用荷分布的变化，电场和电荷相互作用相互影响，最后相互影响，最

18、后达到两者的平衡分布。困难在于一般情况下难以确定导达到两者的平衡分布。困难在于一般情况下难以确定导体上的电荷分布及导体外电场的分布。解决这类问题原体上的电荷分布及导体外电场的分布。解决这类问题原则上是可能的，在电动力学中把它归结为：则上是可能的，在电动力学中把它归结为：已知导体的已知导体的形状形状相对位置及导体所带的电荷或相对位置及导体所带的电荷或电势，电势，根据静电场根据静电场方程求解。方程求解。 我们知道，电场线的性质形象地反映了我们知道，电场线的性质形象地反映了静电场的两个规律，静电场的两个规律，用电场线的性质去用电场线的性质去定性地讨论一些问题，能够得到一些令定性地讨论一些问题，能够得

19、到一些令人满意的结果。人满意的结果。 静电平衡静电平衡时的电场分布、电荷分布时的电场分布、电荷分布情况情况例例1：如图所示带电系统。：如图所示带电系统。A+B+-1、电场线能不能由导体、电场线能不能由导体B的一端正电荷发出的一端正电荷发出而终止于另一端的负电荷而终止于另一端的负电荷? 不能。因为电力线总是从不能。因为电力线总是从电势高电势高的地方的地方指向指向电势低电势低的地方，而导体的地方，而导体B是一个是一个等势体等势体。 2、带正电的导体、带正电的导体A接近不带电的导体接近不带电的导体B，则在则在B上离上离A的远端必有电场线发出而终止的远端必有电场线发出而终止于无穷远。于无穷远。为什么为

20、什么?B+-A+S可以作一个闭合曲面可以作一个闭合曲面S包围包围B的右端。因的右端。因S面内有正电荷，由面内有正电荷，由Gauss 定理可知，闭合定理可知，闭合面上必有正通量，即有电力线穿出，由面上必有正通量，即有电力线穿出，由（1）可知，电场线不能终止于）可知，电场线不能终止于B的左端，的左端，也不能终止于也不能终止于A上的正电荷，所以只能终上的正电荷，所以只能终止于无穷远处。止于无穷远处。3、带正电体、带正电体A接近不带电的导体接近不带电的导体B，B的的电势将电势将升高。升高。为什么为什么? 在在A未接近未接近B时，时，B与无穷远间没有电场线与无穷远间没有电场线联系，联系，B的的电势与电势

21、与无穷远相同。当无穷远相同。当A接近接近B时，时，B的右端必有正感应电荷发出电场线到无穷远，的右端必有正感应电荷发出电场线到无穷远，所以所以B的的电势必然电势必然高于无穷远的高于无穷远的电势。电势。因此因此B的的电势是电势是升高了。升高了。 与此类似，可证明带负电的物体接近与此类似，可证明带负电的物体接近B时，时，B的的电势将电势将降低。降低。4、施感电荷的电量必大于或等于感应电、施感电荷的电量必大于或等于感应电荷的电量。荷的电量。B+-A+S1S2B上左端的负感应电荷必有电场线终止于其上，上左端的负感应电荷必有电场线终止于其上，但这些电场线既不能是由但这些电场线既不能是由B上右端的正电荷发出

22、，上右端的正电荷发出，又不能由无穷远发出，否则与（又不能由无穷远发出，否则与（3）结论矛盾。所）结论矛盾。所以电场线只能由以电场线只能由A发出。另一方面，发出。另一方面，A还可以向无还可以向无穷远发出电场线，从穷远发出电场线，从Gauss面面S1和和 S2来看，来看， S1的正通量必大于（或等于）的正通量必大于（或等于） S2的负通量的数值，的负通量的数值，再由再由Gauss定理可知，定理可知， S1所包围正电荷的数值必所包围正电荷的数值必大于（或等于）大于（或等于） S2面所包围负电荷的数值。面所包围负电荷的数值。5、不带电导体、不带电导体B左端接地，左端接地，B上不存在正上不存在正电荷电荷

23、B-A+无穷远 若将若将B右端接地，则右端的正电荷就沿接右端接地，则右端的正电荷就沿接地线流入大地，地线流入大地，B上不存在正电荷了（实际上是上不存在正电荷了（实际上是电荷重新分布达到新的平衡的结果）。电荷重新分布达到新的平衡的结果）。 若将若将B的左端接地，同样是正电荷的左端接地，同样是正电荷“跑跑掉掉”。这是静电平衡导体的基本性质所决定的。这是静电平衡导体的基本性质所决定的电荷重新分布的结果。假若电荷重新分布的结果。假若B上有正电荷存在，上有正电荷存在，那么那么B右端一定要发出电场线，但这些电场线一右端一定要发出电场线，但这些电场线一不能终止于不能终止于B上负电荷，二不能终止于上负电荷，二

24、不能终止于A上正电上正电荷，三不能终止于地（因为荷，三不能终止于地（因为B接地后已和地构成接地后已和地构成一个一个等势体等势体），电场线既然无处可去，），电场线既然无处可去，B上就不上就不可能有正电荷存在，这与接地线在何处无关。可能有正电荷存在，这与接地线在何处无关。例例2 中性封闭金属壳内有一个电量为中性封闭金属壳内有一个电量为q的的正电荷，求壳内，外壁感应电荷的数量。正电荷，求壳内，外壁感应电荷的数量。+qSolution: 在金属壳内作一在金属壳内作一Gauss面，且有面，且有SqsdE00E导体内所以所以00内壁而qqqq , , qq内壁所以所以又根据电荷守恒定律，已知壳为中性，现知

25、又根据电荷守恒定律，已知壳为中性，现知内壁所带的电荷量为内壁所带的电荷量为-q，那么外壁必有，那么外壁必有+q。例例3如图所示，求感应电荷如图所示，求感应电荷q。oRlqSolution: 选无限远为选无限远为电势参考点电势参考点，通常认为大地与，通常认为大地与无限远等无限远等电势，电势，因此导体球各点的因此导体球各点的电势为电势为零，零，球心当然不例外，球心的球心当然不例外，球心的电势电势V0是由点电荷是由点电荷q及球面上感应电荷及球面上感应电荷q共同产生的，前者的贡献共同产生的，前者的贡献为为0104qVlq后者的贡献为后者的贡献为0204SdsVRSdsR041Rq04是感应电荷面密度是

26、感应电荷面密度,是随点而异是随点而异的。的。球心的球心的电势：电势：00102VVVRqlq00440Rlqq所以所以上述结果说明感应电荷的绝对值小于施感电荷的绝对上述结果说明感应电荷的绝对值小于施感电荷的绝对值，与前面定性讨论结果一致。当值，与前面定性讨论结果一致。当 这相当于点电荷置于无限大导体平面前的情况。这相当于点电荷置于无限大导体平面前的情况。.,qqRl2.1.5 平行板导体例题平行板导体例题例例1：长长宽相等的宽相等的金属平板金属平板A和和B在真空中对齐平行放置，板在真空中对齐平行放置，板间距比长宽小得多，分别让每板带间距比长宽小得多，分别让每板带qA及及qB的的电荷，求每板表面

27、电荷，求每板表面的电荷密度的电荷密度。解：可以把板看成是无限大，两板四壁的电荷均匀分解：可以把板看成是无限大，两板四壁的电荷均匀分布，布，在在A、B板内分别取点板内分别取点M和和N， M1234() (1)() (2)ABSqSq31240000312400000 (3)22220 (4)2222MNEE1 2 3 4导体板导体板A 导体板导体板BNne12341234001423 , 123412/ABqSqS1423()/(2 )()/(2 )ABABqqSqqS 讨论：如果qB=- qA，则qA-qA14230/AqS 1 2 3 4导体板导体板A 导体板导体板BNneM作业：作业：P7

28、9 2.1.1、2.1.2。2.2 封闭导体壳内外的场封闭导体壳内外的场 (field of confining conductor shell)已知已知:把导体（那怕是中性导体）引进静电场把导体（那怕是中性导体）引进静电场中，就会因电荷重新分布而使电场发生改变。中，就会因电荷重新分布而使电场发生改变。利用这个事实，可以根据需要人为地选择导利用这个事实，可以根据需要人为地选择导体的形状来改造电场。这种改造应用很广，体的形状来改造电场。这种改造应用很广，本节讨论空腔导体的性质。本节讨论空腔导体的性质。一、壳内空间的场一、壳内空间的场 分两类情况：一类空腔内无带电体，另一分两类情况：一类空腔内无带

29、电体，另一类空腔内有带电体，它们的静电性质有所不同。类空腔内有带电体，它们的静电性质有所不同。1、空腔内、空腔内无带电体无带电体基本性质基本性质：不论壳外带电体情况如何，在静电：不论壳外带电体情况如何，在静电平衡状态下，导体壳的平衡状态下，导体壳的内内表面上处处电荷为零，表面上处处电荷为零，电荷只能分布在电荷只能分布在外外表面上，空腔内各点场强为表面上，空腔内各点场强为零，或者空腔内的零，或者空腔内的电势处处电势处处相等相等。证明：证明：壳内表面各点电荷密度为零。壳内表面各点电荷密度为零。空腔在导体壳内在导体壳内外表面之间任取外表面之间任取一一Gauss面，由于该面完全处在面，由于该面完全处在

30、导体内部，根据静电平衡条件，导体内部，根据静电平衡条件，则有则有SqsdE00q如果导体壳带电量，那么这些电荷只能分如果导体壳带电量，那么这些电荷只能分布在导体的外表面上。布在导体的外表面上。在导体壳的内表面上不仅在导体壳的内表面上不仅 ，而且各，而且各处的电荷面密度处的电荷面密度 也为零。也为零。0q0q000nEe00nE0nE000反证法反证法：假定内表面上：假定内表面上 并不处处为零，由并不处处为零，由于于 ，必然有些地方，必然有些地方 。有些地方。有些地方 ，根据静电平衡时的第三个推论，根据静电平衡时的第三个推论 ， 的地方的地方 ， 的地方的地方 ，又由于电场线从正电荷发出，终止于

31、负，又由于电场线从正电荷发出，终止于负电荷，因此如图所示，如果电荷，因此如图所示，如果A点点 ，B点点 ,则腔内有电场线存在，并且则腔内有电场线存在，并且+-AB即即 ，这与静电平衡时的推论，这与静电平衡时的推论一相违背，故不可能有一相违背，故不可能有 存在。存在。0BABAVVE dlABVV 壳内空间各点场强为零壳内空间各点场强为零根据以上得到结论，既然内表面处处根据以上得到结论，既然内表面处处 ，故没有故没有 的存在，并且因电场线既不可起、止的存在，并且因电场线既不可起、止于内表面，又不能在空腔内有端点或形成闭合于内表面，又不能在空腔内有端点或形成闭合线，所以腔内不可能有电场线和电场，故

32、空腔线，所以腔内不可能有电场线和电场，故空腔内各点内各点电势相等电势相等。0E+-导体壳对上述结论不应产生误解，若壳外有一个正点对上述结论不应产生误解，若壳外有一个正点电荷电荷q，是否由于壳的存在，是否由于壳的存在，q 就不在壳内空就不在壳内空间激发场呢？当然不是！根据场的迭加原理，间激发场呢？当然不是！根据场的迭加原理，任何点电荷都要按点电荷场强公式在空间任何任何点电荷都要按点电荷场强公式在空间任何点激发电场，不论周围有什么存在。壳内空间点激发电场，不论周围有什么存在。壳内空间场强之所以为零，只是由于壳的外壁感应出异场强之所以为零，只是由于壳的外壁感应出异号电荷，它们与号电荷，它们与q在壳内

33、空间任一点激发的合在壳内空间任一点激发的合场强为零，可见，所谓壳外电荷在壳内无电场，场强为零，可见，所谓壳外电荷在壳内无电场，这这“壳外电荷壳外电荷”是包括壳的外壁电荷在内的。是包括壳的外壁电荷在内的。空腔空腔2、空腔内有带电体、空腔内有带电体基本性质基本性质：导体壳腔内有其它带电体时，在：导体壳腔内有其它带电体时，在静电平衡状态下，导体壳的内表面所带电荷静电平衡状态下，导体壳的内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为零，壳外电荷对壳内与腔内电荷的代数和为零，壳外电荷对壳内电场无影响。电场无影响。在导体壳内在导体壳内外表面之间作一外表面之间作一Gauss面，得到面，得到 qSSqsdE00q这说明：

34、如果导体壳内物体带电为这说明：如果导体壳内物体带电为q，内表面，内表面一定感应出一定感应出-q；如果导体壳内物体带电为；如果导体壳内物体带电为-q，内表面一定感应与内表面一定感应与+q。 壳外电荷和导体壳外表面的电荷对空腔内激壳外电荷和导体壳外表面的电荷对空腔内激发的合场强同样是相抵消的。发的合场强同样是相抵消的。二、壳外空间的场二、壳外空间的场也分两类情况：即壳外空间无带电体和有带也分两类情况：即壳外空间无带电体和有带电体。电体。1、壳外空间无带电体、壳外空间无带电体基本性质基本性质：壳外空间无带电体时仍然可能有电：壳外空间无带电体时仍然可能有电场存在。场存在。证明：设导体壳为中性。壳内有一

35、正点电荷证明：设导体壳为中性。壳内有一正点电荷q，根据根据Gauss定理和电荷守恒定律，定理和电荷守恒定律， q可得到壳内、外表面的感应可得到壳内、外表面的感应电荷分别为电荷分别为-q和和+q。显然，。显然，外表面的电荷将发出电场线，外表面的电荷将发出电场线，因此壳外存在电场，这个场因此壳外存在电场，这个场是壳内电荷是壳内电荷q通过在壳外感通过在壳外感应出等量电荷间接引起的。应出等量电荷间接引起的。所谓壳内带电体所谓壳内带电体q只在壳外间接引起电场，并不只在壳外间接引起电场，并不是说是说q本身不在壳外激发电场（根据迭加原理，本身不在壳外激发电场（根据迭加原理，q肯定要在壳外激发电场），而是指肯

36、定要在壳外激发电场），而是指q以及由它以及由它在壳内表面感应的等量负电荷在壳外空间激发在壳内表面感应的等量负电荷在壳外空间激发的合场强为零。的合场强为零。将导体壳外表面与大地相接，就可消除壳外空将导体壳外表面与大地相接，就可消除壳外空间的场。间的场。 q当外表面接地后，外表面的电荷通过接地线当外表面接地后，外表面的电荷通过接地线流入大地，因此不再在壳外激发电场。流入大地，因此不再在壳外激发电场。也可用也可用反证法反证法解释：假若外表面还存在感应解释：假若外表面还存在感应正电荷，那么它一定有电力线发出，这电力正电荷，那么它一定有电力线发出，这电力线不能终于于外表面，也不能终止于无穷远线不能终于于

37、外表面，也不能终止于无穷远（此时外表面与大地接通，构成了（此时外表面与大地接通，构成了等势体等势体），），往哪里去！故可见外表面无电荷存在。往哪里去！故可见外表面无电荷存在。2、壳外空间有带电体、壳外空间有带电体基本性质基本性质：当壳外空间有带电体时，接地壳外：当壳外空间有带电体时，接地壳外表面仍然可能有电荷存在。表面仍然可能有电荷存在。反证法：假定导体壳外表面各点电荷面密度反证法：假定导体壳外表面各点电荷面密度为零，并且空间除点电荷为零，并且空间除点电荷q外无别的电荷存在，外无别的电荷存在，那么导体壳体内（指金属内部）场强就不会那么导体壳体内（指金属内部）场强就不会为零，这与静电平衡条件矛盾

38、。为零，这与静电平衡条件矛盾。见下图见下图壳内无电荷- q q- q壳内有电荷由此可见，由此可见，在导体壳接地时，壳外电场由在导体壳接地时，壳外电场由壳外电荷决定，与壳内电荷无关壳外电荷决定，与壳内电荷无关。综上所述，封闭导体壳（不论接地与否）内综上所述，封闭导体壳（不论接地与否）内部电场不受壳外电荷的影响，这称为部电场不受壳外电荷的影响，这称为外屏蔽外屏蔽；接地封闭导体外部电场不受壳内电荷的影响，接地封闭导体外部电场不受壳内电荷的影响，称之称之全屏蔽全屏蔽。作业：作业：P80 2.2.1、2.2.2、2.2.3.4 电容器及其电容电容器及其电容（capacitor and capacity）

39、一、孤立导体的电容一、孤立导体的电容所谓所谓“孤立孤立”导体，就是说在这导导体，就是说在这导体的附近没有其它导体和带电体。体的附近没有其它导体和带电体。设想一个孤立导体带电量为设想一个孤立导体带电量为q ，它将具有一定，它将具有一定的的电势电势V，理论与实验表明：随着理论与实验表明：随着q 的增加的增加，V 将按将按比例地增加，关系式比例地增加，关系式UqconstantqCV式中式中C 与导体的形状和尺寸有关，与与导体的形状和尺寸有关，与q 和和V无关无关，称之为称之为孤立导体的电容孤立导体的电容。孤立导体电容的物理意义为：孤立导体电容的物理意义为：使导体每升高使导体每升高单单位电势所位电势

40、所需的电量需的电量。电容的单位：在国际单位制中，电容的单位电容的单位：在国际单位制中，电容的单位为法拉。为法拉。pF10F1011126VCF为了理解电容的意义，可比喻为：我们向几为了理解电容的意义，可比喻为：我们向几个不同容器灌水时，为了使它们的水面都增个不同容器灌水时，为了使它们的水面都增加一个单位的高度，需要灌入的水量是不相加一个单位的高度，需要灌入的水量是不相同的。这是由容器本身的性质（即它的截面同的。这是由容器本身的性质（即它的截面积）所决定的。积）所决定的。例题例题 求一个半径为求一个半径为R 的孤立导体球的电容。的孤立导体球的电容。使它带电使它带电q, 则其则其电势为电势为：04

41、qVR04qCRVF4101 . 7因此因此由此可见，电容由此可见，电容C决定于导体的几何因素。决定于导体的几何因素。地球可看成一个导体球，它的半径约地球可看成一个导体球，它的半径约6400千米，它的电容千米，它的电容C约为约为二、电容器及其电容二、电容器及其电容 孤立导体作为提供电容的器件，是没有孤立导体作为提供电容的器件，是没有实际意义的。这是因为，首先它的电容受周围实际意义的。这是因为，首先它的电容受周围导体的影响。导体的影响。 如果在一个带电导体如果在一个带电导体A的近旁有其它导体，的近旁有其它导体，则这个导体的则这个导体的电势电势VA不仅与它自己所带电量不仅与它自己所带电量qA的多少

42、有关，还取决于其他导体的位置和的多少有关，还取决于其他导体的位置和形状，这是由于电荷形状，这是由于电荷qA使邻近导体表面产生使邻近导体表面产生感应电荷，它们将影响着空间的感应电荷，它们将影响着空间的电势分布电势分布和每和每个导体的个导体的电势。电势。此时，此时，“电容电容” 就会就会发生变化，电容的概念也就失去意义；发生变化，电容的概念也就失去意义；AAqCV 其次，它的电容很小，地球的其次，它的电容很小，地球的 ，而目前某些电子线路中要用到几千微法的电容，而目前某些电子线路中要用到几千微法的电容，显然是不可能做到的。因此在实际中，需要设显然是不可能做到的。因此在实际中，需要设计这样一个导体组

43、，一方面它的电容应不受或计这样一个导体组，一方面它的电容应不受或基本不受周围导体的影响，另一方面它应有不基本不受周围导体的影响，另一方面它应有不大的体积而具有较大的电容。我们自然就想到大的体积而具有较大的电容。我们自然就想到静电屏蔽的方法。静电屏蔽的方法。FC4101 . 7 用一个封闭的导体壳用一个封闭的导体壳B把导体把导体A包围起来，包围起来，并将并将B接地，接地，使得使得VB= 0，这样一来，壳外的，这样一来，壳外的导体导体C、D 等就不会影响等就不会影响A的的电势了电势了。+ +AqABCD- 若使导体若使导体A带电带电qA，导体壳，导体壳B的内表的内表面将带电面将带电-qA . 随着

44、随着qA的增加的增加.VA将按比将按比例增加例增加,仍可定义它的电容为仍可定义它的电容为AABAqCV 当然这时当然这时CAB已与导体壳已与导体壳B有关了有关了,(此时之所此时之所以用孤立导体的电容来定义带电体以用孤立导体的电容来定义带电体A的电容的电容,是是因为因为B接地接地,屏蔽了外来场的干扰屏蔽了外来场的干扰,A在此仍可看在此仍可看成一个孤立的带电导体成一个孤立的带电导体). 其实其实,导体壳导体壳B也可不接地也可不接地,则它的则它的电势电势VB 0, 虽然虽然这时这时VA，VB都与外界的导体有关，但都与外界的导体有关，但电势差电势差：BABABAE dlVVVAABABABqqCVVV

45、仍不受外界的影响，且正比于仍不受外界的影响，且正比于qA，比值不变。，比值不变。这种这种由导体壳由导体壳B和其腔内的导体和其腔内的导体A组成的导体组成的导体系，叫做电容器系，叫做电容器。比值叫做它的电容。比值叫做它的电容。 电容器的电容与两导体的尺寸电容器的电容与两导体的尺寸形状和相对形状和相对位置有关，与位置有关，与qA和和VAB无关。无关。组成电容器的两组成电容器的两个导体个导体A，B叫做电容器的极板叫做电容器的极板 孤立导体也可以看成是一个电容器，不过孤立导体也可以看成是一个电容器，不过它的另一极板在无限远处。这两个极板的它的另一极板在无限远处。这两个极板的电电势差势差，即等于孤立导体的

46、，即等于孤立导体的电势，电势，所以得到：所以得到：ABAqqCVV 若使若使A的外表面和的外表面和B的内表面之间的距离减的内表面之间的距离减小，则在小，则在A带同样电量的情况下，带同样电量的情况下，A，B之间之间的的电势差电势差减小，即电容增大。减小，即电容增大。三、电容器的电容的计算三、电容器的电容的计算简单讨论三种几何形状规则的带电导体组的电简单讨论三种几何形状规则的带电导体组的电容计算问题。容计算问题。1、平行板电容器、平行板电容器A A、B B 两板的面积均为两板的面积均为S S，A A板带正电（板带正电（+ +）B B板带负电（板带负电（- -），两板间的距离为），两板间的距离为d

47、d( (d d 较两板较两板的线度小得多），求电容的线度小得多），求电容C CAB+-由对称性，运用由对称性，运用GaussGauss定理已求得两定理已求得两板之间的电场板之间的电场为为均均匀匀场场 ，其值为，其值为0E两板之间的两板之间的电势差电势差为：为：BABAVVE dlddl00d0ABqCVdS0dS0按电容的定义式，即有按电容的定义式，即有由此可见，加大电容器的电容量的途径有二：由此可见，加大电容器的电容量的途径有二：缩小板间的距离缩小板间的距离d d；增大板上的面积。增大板上的面积。2 2、球形电容器、球形电容器RARBBqA 一个半径为一个半径为R RA A的金属球与一个和它

48、同心的的金属球与一个和它同心的半径为半径为R RB B的金属球壳组成一个球形电容器，假的金属球壳组成一个球形电容器，假设金属球带正电设金属球带正电q q，求其电容。，求其电容。由对称性，运用由对称性，运用GaussGauss定理已求出金属球外，定理已求出金属球外，金属壳内空间的电场为：金属壳内空间的电场为：204rqEerBABAVE dl204BARrRqedlr所以所以BARRrdrq204)11(40BARRq按电容按电容C C的定义式，得的定义式，得ABqCVBARRqq1140ABBARRRR04讨论：讨论：假若假若R RA A和和R RB B都很大时，且两球壳间的距离都很大时，且两

49、球壳间的距离d=Rd=RB B- R- RA A很小，因而近似地有很小，因而近似地有 此此时球形电容器的电容为时球形电容器的电容为dRCA204RRRABA224AR dSC0以球面积以球面积 代入，即代入，即相当于平行板电容器的电容相当于平行板电容器的电容假若RARB，则RB- RA RB，则ABBARRRRC0044即为半径为即为半径为RA的孤立导体球的电容。的孤立导体球的电容。3、圆柱形电容器、圆柱形电容器 假有同轴柱形导体假有同轴柱形导体A、B，其半径分另，其半径分另RA和和RB（ RA RB- RA时，时，圆柱两端的边缘效应可忽略不计（即圆柱可圆柱两端的边缘效应可忽略不计（即圆柱可近

50、似地看作无限长）。设半径为近似地看作无限长）。设半径为RA的圆柱的圆柱上单位长度上带电上单位长度上带电 ，求其电容，求其电容由对称性，运用由对称性，运用Gauss定理求得定理求得RArRB区间区间的场的场 强为：强为：02rEer所以柱形面壁的两点所以柱形面壁的两点电势差电势差：BABAVE dl02BARnRedlrBARRrdr02ABRRn02而圆柱形上的总电量为而圆柱形上的总电量为 ，故按电容定义式，故按电容定义式LqABqCVABRRnL04ABRRnL02综上所述，计算电容的步骤为：设电容器两综上所述，计算电容的步骤为：设电容器两极上分别带电荷极上分别带电荷q，计算电容两极间的场强

51、，计算电容两极间的场强分布，从而计算出两极板间的分布，从而计算出两极板间的电势差电势差VAB；所得所得的的VAB必然与必然与q成正比，利用电容的定义式成正比，利用电容的定义式 求出电容求出电容C，它一定与，它一定与q无关，完全由电容器本无关，完全由电容器本身的性质（几何形状，尺寸）决定。身的性质（几何形状，尺寸）决定。ABUqC 常用的电容器四、电容器的联接四、电容器的联接 在实际应用中，单个电容器是不能满足要在实际应用中，单个电容器是不能满足要求的，因而为了保证电容器的耐压能力和电求的，因而为了保证电容器的耐压能力和电容量，往往按一定规律将几个电容器联接起容量，往往按一定规律将几个电容器联接

52、起来使用，联接的基本方法有串联和并联两种。来使用，联接的基本方法有串联和并联两种。+ -+ -C1C2+ -CnAB1、并联（、并联（parallel connection) 每个电容器有一个极板接到每个电容器有一个极板接到共同点共同点A ，而另一个极板则接到，而另一个极板则接到另一个共同点另一个共同点B，这种接法称为，这种接法称为并联并联。基本特点：基本特点：nABUUUU21 a)a)nqqqq21 b)b)ABUqC c)c)ABnUqqq21niiC1dSC0结论：结论： 并联电容器时，总电容等于每个电容器的并联电容器时，总电容等于每个电容器的电容之和，并联后总电容增大了。其原因是：电

53、容之和，并联后总电容增大了。其原因是：从公式来看从公式来看 假如两个电容器的假如两个电容器的d是相同，是相同，并联后相当于增大了面积并联后相当于增大了面积S。2、串联、串联(Series Connection)+ -+ -+ -ABC1C2Cn每个电容器的一个极板每个电容器的一个极板只与另一个电容器的一只与另一个电容器的一个极板联接，把电源接个极板联接，把电源接到这个电容器组合的两到这个电容器组合的两端上，这种接法称为端上，这种接法称为串串联联。基本特点：基本特点：nABUUUU21 a)a)nqqqq21 b)b)qUCAB1 1 c)c)qUUUn21niiC11 1结论：结论：串联电容器

54、时，总电容的倒数等于每个电容器串联电容器时，总电容的倒数等于每个电容器的电容的倒数之和，串联后总电容比电容器的的电容的倒数之和，串联后总电容比电容器的最小电容还要小。其原因是；从公式来最小电容还要小。其原因是；从公式来看看 ，如果每个电容器的面积，如果每个电容器的面积S相等，串相等，串联后等于把联后等于把d增大了。增大了。dSC0综上所述：为在实际中应用时增大电容，综上所述：为在实际中应用时增大电容，就将电容器并联；为了增大电容器的耐就将电容器并联；为了增大电容器的耐压能力，就采用电容器串联方法。压能力，就采用电容器串联方法。五五平行板导体组问题的处理平行板导体组问题的处理平行板导体组问题的解

55、题技巧及其物理思想是：平行板导体组问题的解题技巧及其物理思想是：根据静电平衡条件，导体内根据静电平衡条件，导体内 ，求出各极，求出各极板左右面的电荷分布；板左右面的电荷分布；0E根据无穷大平板的场强公式，求出电容器内根据无穷大平板的场强公式，求出电容器内的电场强度的电场强度 ；EBAABl dEUABUqC 根据根据电势差电势差的定义式的定义式 ，求出两，求出两板的板的电势差电势差；根据电容器的电容的定义式根据电容器的电容的定义式 ，求出，求出电容电容C。例例1 空间有两块平行放置的金属平板空间有两块平行放置的金属平板A和和B，两板长宽相等且都比板间距离大得多，板外无两板长宽相等且都比板间距离

56、大得多，板外无带电体及导体，分别令每板带上带电体及导体，分别令每板带上qA及及qB的电量，的电量，求每板表面的电荷密度。求每板表面的电荷密度。ABP1P22314P1Solution: 由于板的长宽比板由于板的长宽比板间的距离大得多，所以间的距离大得多，所以近似地把板看成无限大，近似地把板看成无限大，由对称性可知两板四壁由对称性可知两板四壁的电荷均匀分布，其电的电荷均匀分布，其电荷面密度依次设为荷面密度依次设为1、2、 3、4。在在A板内取一点板内取一点p1，设，设 是向右的单位矢，根是向右的单位矢，根据无限大带电平面所产生的场强公式，得到四据无限大带电平面所产生的场强公式，得到四个无限大带电

57、平面在个无限大带电平面在p1点的合场强为：点的合场强为：1312400002222pnnnnEeeee0E由于静电平衡时由于静电平衡时 ，即有，即有(1) 04321(2) 04321再在再在B板内取一点板内取一点p2，同理得到，同理得到ne联立（联立（1）、（）、（2）两式，求得）两式，求得3241(4) (3) 4321SSqSSqBA欲求欲求1至至4还需再列两个方程，已知每板电还需再列两个方程，已知每板电量为量为qA及及qB，设每壁的面积为，设每壁的面积为S，有，有SqqSqqBABA223241解得解得: :讨论：讨论： （1）设）设qA=-qB（用电池给平行板电容器（用电池给平行板电

58、容器充电就是这种情况），则有充电就是这种情况），则有SqA3241003241SqA这说明电荷只分布在两板内壁。这说明电荷只分布在两板内壁。（2）设）设qA=qB，,则有则有这说明电荷只分布在两板外壁。这说明电荷只分布在两板外壁。（3）如果）如果qAqB，此时四壁都有电荷分布。，此时四壁都有电荷分布。 导体导体的静电平衡可以由于外部条件的变化的静电平衡可以由于外部条件的变化而变化，在不同外部条件下，电荷分布和导体而变化，在不同外部条件下，电荷分布和导体外的电场分布是不同的，但静电平衡条件始终外的电场分布是不同的，但静电平衡条件始终不变。分析导体静电平衡的各种具体问题，归不变。分析导体静电平衡的

59、各种具体问题，归根结底是以导体内部场强处处为零这个不变的根结底是以导体内部场强处处为零这个不变的条件去分析电荷分布和导体外电场分布如何随条件去分析电荷分布和导体外电场分布如何随具体条件不同而变化的问题具体条件不同而变化的问题。作业：作业：P81 2.3.2P81 2.3.2、 2.3.3 2.3.3、 2.3.5 2.3.5、 2.3.6 2.3.6。5 带电体系的静电能带电体系的静电能(charged bodies electrostatic energy)一、带电体系的静电能一、带电体系的静电能 物体物体的势能应是物体与地球这个系统的的势能应是物体与地球这个系统的;静电能的概念属于带电静电

60、能的概念属于带电体系体系。 静电能本身的数值是相对的，要讨论一个静电能本身的数值是相对的，要讨论一个带电体系所包含的全部静电能有多少，必须说带电体系所包含的全部静电能有多少，必须说明相对与何种状态而言。明相对与何种状态而言。设想 带电体系中的电荷可以无限分割为许多小带电体系中的电荷可以无限分割为许多小部分，这些部分最初都分散在彼此相距很远部分，这些部分最初都分散在彼此相距很远（无限远）的位置上。通常规定，处于这种（无限远）的位置上。通常规定，处于这种状态下的静电能为状态下的静电能为0。与同重力势能的值通常。与同重力势能的值通常是相对地面为零势面而言的。是相对地面为零势面而言的。 设带电体系由若