工程图学基础：第2章 点、直线和平面的投影

1、第2章 点、直线和平面的投影2.1 2.1 投影法概述投影法概述 2.2 2.2 点的投影点的投影2.3 2.3 直线的投影直线的投影2.4 2.4 平面的投影平面的投影2.5 2.5 直线与平面直线与平面 及两平面的相对位置及两平面的相对位置2.1 2.1 投影法概述投影法概述 2.1.1 2.1.1 中心投影法中心投影法 2.1.2 2.1.2 平行投影法平行投影法 2.1.3 2.1.3 正投影法的主要投影特性正投影法的主要投影特性 2.1.4 2.1.4 工程上常用的投影图工程上常用的投影图投影法的概念投影法的概念投影面投影面Pa 投影投影投射线投射线bS 投射中心投射中心A 空间点空

2、间点B 将光线通过物体向选定的平面投射，并在该平面将光线通过物体向选定的平面投射，并在该平面上得到物体影子的方法称为上得到物体影子的方法称为投影法投影法。重放重放投影法的分类投影法的分类 1. 1. 中心投影法中心投影法 投射线汇交于一点。投射线汇交于一点。 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。投影的大小有影响。度量性较差度量性较差 2. 2. 平行投影法平行投影法 投射线互相平行。投射线互相平行。 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量度量性较好性较好 （1 1）斜投影斜投影 投射线与

3、投影面倾斜的平行投影投射线与投影面倾斜的平行投影。 （2 2）正投影正投影 投射线与投影面垂直的平行投影。投射线与投影面垂直的平行投影。中心投影法中心投影法中心投影法中心投影法 : : 投射线汇交一点的投影法投射线汇交一点的投影法投射中心投射中心投射线投射线平面图形平面图形投影面投影面投影投影重放重放2.1.2 平行投影法平行投影法平行投影法 : : 投射线相互平行的投影法投射线相互平行的投影法 （投射中心（投射中心位于无限远处）位于无限远处）平行投影法平行投影法斜投影法斜投影法正投影法正投影法 工程图样工程图样（零件图和装配图）（零件图和装配图）多面投影图多面投影图 单面投影图单面投影图 单

4、面投影图单面投影图 辅助图样辅助图样（正等轴测图）（正等轴测图） 辅助图样辅助图样 （斜二轴测图）（斜二轴测图）平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法正投影法：正投影法：投射线与投影面相垂直的平行投影法。投射线与投影面相垂直的平行投影法。斜投影法：斜投影法：投射线与投影面相倾斜的平行投影法。投射线与投影面相倾斜的平行投影法。重放重放2.1.3 正投影法的主要投影特性 1.1. 实形性实形性 当线段或平面平行于投影面时，当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。其投影反映实长或实形。 2.2. 积聚性积聚性 当线段或平面垂直于投影面时，当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚

5、为点或线段。其投影积聚为点或线段。 3.3. 类似性类似性 当线段或平面倾斜于投影面时，当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。其投影变短或变小。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录实形性实形性CDEBAPabedc当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。重放重放积聚性积聚性edca（b）CDEBAP当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。重放重放类似性类似性CDEedcBAabP当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或

6、变小。重放重放2.1.4 工程上常用的投影图1.1.正投影图（多面）正投影图（多面） 2.2.轴测图（单面）轴测图（单面） 3.3.透视图（单面）透视图（单面） 4.4.标高投影图（单面）标高投影图（单面） 2.2 2.2 点的投影点的投影 2.2.1 2.2.1 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影 2.2.22.2.2 两点之间的相对位置关系两点之间的相对位置关系 2.2.1 2.2.1 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影 1. 1. 三投影面体系的建立三投影面体系的建立 2. 2. 点的投影点的投影 3. 3. 点的投影规律点的投影规律 4. 4. 点的投影与直

7、角坐标的关系点的投影与直角坐标的关系 5. 5. 特殊位置点的投影特殊位置点的投影 6. 6. 点在其他分角中的投影点在其他分角中的投影 点的两个投影能唯一确定该点的空间位置点的两个投影能唯一确定该点的空间位置HVOXa aA1. 1. 三投影面体系的建立三投影面体系的建立HVXOZYW 三投影面体系由三投影面体系由V、H、W三个投影面构成。三个投影面构成。 H、V、W面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。 2. 2. 点的投影点的投影H

8、VXZYWOA 点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定V面不面不动，动，H面向下旋转面向下旋转90 ，W面向右旋转面向右旋转90 。aaaHa a VWXOZYWYHaa a XOZYWYHa3. 3. 点的投影规律点的投影规律HVXZYWOayaxazxyzaaaHa aa VWXOZYWYHaxayazay点的点的V面投影与面投影与H面投影之间的连线垂直面投影之间的连线垂直OX轴，轴，aaOX ；点的点的V面投影与面投影与W面投影之间的连

9、线垂直面投影之间的连线垂直OZ轴，轴，a a OZ；点的点的H面投影到面投影到OX轴的距离及点的轴的距离及点的W面投影到面投影到OZ 轴的距离两轴的距离两者相等，反映点到者相等，反映点到V面的距离。面的距离。 长对正长对正 高平齐高平齐 宽相等宽相等A例例1 已知点已知点A的正面与侧面投影，求点的正面与侧面投影，求点A的水平投影。的水平投影。ZYHXYWOa a aHaa VWXOZYWYHaxayazay4. 4. 点的投影与直角坐标的关系点的投影与直角坐标的关系 点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。在着对应关系。yA

10、xAzAHVXZYWOAayaxazxyzaaaa yA 已知点已知点B的坐标为（的坐标为（25,20,30)，求作点，求作点B的三面投影。的三面投影。XYWYHZO（1）在）在OX轴上截取坐标长度轴上截取坐标长度25，过截点作垂直线。，过截点作垂直线。（2）在）在OZ轴上截取坐标长度轴上截取坐标长度30，过截点作水平线，作出投，过截点作水平线，作出投影影b。（3）在）在OY轴上截取坐标长度轴上截取坐标长度20，作出投影作出投影b、b。bbb302520重放重放a aa XOZYWaxayayb c c b b c 特殊位置点的投影特殊位置点的投影投影面上的点投影面上的点 一个投影与投影面重合

11、，另两个投影投影轴上。一个投影与投影面重合，另两个投影投影轴上。投影轴上的点投影轴上的点 两个投影与投影轴重合，另一个投影在原点上。两个投影与投影轴重合，另一个投影在原点上。与原点重合的点与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。 HVXZYWAaa a Bb Cc c c Ob 重放重放6. 6. 点在其他分角中的投影点在其他分角中的投影投影特点：投影特点： (1) (1) 第二分角中的第二分角中的B B点点, , 其其V V面投影面投影b b 和和H H面投影面投影b b都在都在X X轴上方。轴上方。 (2) (2) 第三分角中的第三分

12、角中的C C点点, , 其其V V面投影面投影c c 在在X X轴下方轴下方, H, H面投影面投影c c在在X X轴的上方。轴的上方。 (3) (3) 第四分角中的第四分角中的D D点点, , 其其V V面投影面投影d d 和和H H面投影面投影d d都在都在X X轴下方。轴下方。2.2.22.2.2 两点之间的相对位置关系两点之间的相对位置关系1.1. 两点相对位置的确定两点相对位置的确定 2. 2. 重影点重影点 XOZY两点相对位置的确定两点相对位置的确定a a ab b bBA 两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）

13、来确定的。（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；坐标值大的点在左；Y坐标值坐标值大的点在前；大的点在前；Z坐标值大的点在上。坐标值大的点在上。 XZYWYHOaa ab bb 重放重放2. 2. 重影点重影点Dc(d)a(b)abAB 若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。cdCOX重影点可见性判别重影点可见性判别XYHZYWOc(d )ba(b)acda b c d 判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面判断重影点的可

14、见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。见点的投影加括号表示。例例3 3 已知已知A A点在点在B B点的右点的右1010毫米、前毫米、前6 6毫米、上毫米、上1212毫米，求毫米，求A A点的投影。点的投影。a a aXZYWYHOb bb 121062.3 2.3 直线的投影直线的投影2.3.2 2.3.2 直线对投影面的相对位置及投影特性直线对投影面的相对位置及投影特性2.3.3 2.3.3 直线上的点直线上的点 2.3.1 2.3.1 直线的三面投影图直线的三面投影图2.3.4

15、 2.3.4 一般位置线段的实长及对投影面的倾角一般位置线段的实长及对投影面的倾角 2.3.5 2.3.5 两直线的相对位置两直线的相对位置 2.3.6 2.3.6 垂直两直线的投影（垂直两直线的投影（直角投影定理）直角投影定理） OXZY直线的三面投影图直线的三面投影图ABbbabaaZXOYHYW 空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某一投影面的投影可由该直线上某两点的一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影同面投影所确定。所确定。a a ab bb 重放重放2.3.2 2.3.2 直线对投影面的相对位置及投影特性直线对投影面的相

16、对位置及投影特性1.1.一般位置直线一般位置直线 2.2.投影面平行线投影面平行线 平行于一个投影面，与其它两个投影面倾斜的直线。平行于一个投影面，与其它两个投影面倾斜的直线。 正平线正平线: : V，对，对H、W面倾斜面倾斜 水平线水平线: : H，对，对V、W倾斜倾斜 侧平线侧平线: : W对对H、V倾斜倾斜3.3.投影面垂直线投影面垂直线 垂直于一个投影面，与其它两个投影面平行的直线。垂直于一个投影面，与其它两个投影面平行的直线。 铅垂线铅垂线：H面，面，V，W 正垂线：正垂线：V面，面，H，W 侧垂线：侧垂线：W面，面，H，V 与三投影面既不平行也不垂直，与三投影面既不平行也不垂直，而

17、是倾斜的直线。而是倾斜的直线。统称特殊位置直线统称特殊位置直线XZYO1.1.投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性Xabab baOZYHYWAB 投影特性：投影特性： 1. ab OX ; a b OZ 2. a b =AB 3. 反映反映 、 角的真实大小角的真实大小aababb水平线水平线XZYOaababb a b ab baAB投影特性：投影特性：1、a b OX ; a b OYW 2、ab=AB 3、反映反映 、 角的真实大小角的真实大小XOYHYWZXZYO侧平线侧平线XZOYHYWa b babaAB投影特性：投影特性： 1、a b OZ ; ab OYH 2、a b

18、 =AB 3 、反映反映 、 角的真实大小角的真实大小aa b a bb投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性1.1.直线在所平行的投影面上的投影直线在所平行的投影面上的投影, ,反映其实长和与其它两个投影面的倾角（具有实形性）。反映其实长和与其它两个投影面的倾角（具有实形性）。2.2.直线在其它两个投影面上的投影分别平行直线所平行投影面包含的两个投影轴直线在其它两个投影面上的投影分别平行直线所平行投影面包含的两个投影轴, ,且小于实长且小于实长。 正平线正平线 水平线水平线 侧侧 平线平线2. 2. 投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性OXZY投影特性投影特性： 1、 a b

19、积聚积聚 成一点成一点 2 、 ab OX ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABABzX(a)b baOYHYWabb(a)babaOXZYZb Xa b a(b)OYHYWa 投影特性：投影特性：1、a b 积聚积聚 成一点成一点 2、 a bOX ; a b OY 3、 a b = a b = AB铅垂线铅垂线 垂直于水平投影面的直线垂直于水平投影面的直线ABb a(b)a ab侧垂线侧垂线 垂直于侧面投影面的直线垂直于侧面投影面的直线OXZYAB投影特性：投影特性：1、a b 积聚积聚 成一点成一点 2 、 ab OYH ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABb

20、aa(b)abZXa(b)baOYHYWab投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性 正垂线正垂线铅垂线铅垂线侧垂线侧垂线1.1.直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点（具有积聚性）。直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点（具有积聚性）。2.2.直线在其它两个投影面上的投影分别垂直于所垂直投影面包含的两个投影轴直线在其它两个投影面上的投影分别垂直于所垂直投影面包含的两个投影轴, ,且反映其实长且反映其实长。 OXZY3. 3. 一般位置直线投影特性一般位置直线投影特性ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：投影特性：1. ab、 a b 、a b 均小于实长均小于实长 2. a

21、b、a b 、a b 均倾斜于投影轴均倾斜于投影轴 3. 不反映不反映 、 、 实角实角直线上的点具有两个特性：直线上的点具有两个特性： 1.1.从属性从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。 2.2.定比性定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b 直线上的点直线上的点Cc

22、c c重放重放b Xa abcc 例例4 已知线段已知线段AB的投影图，试将的投影图，试将AB分成分成1：2两段，求分点两段，求分点C的的投影。投影。Oka b ba已知点已知点K在线段在线段AB上，求点上，求点K的正面投影。的正面投影。aa b ba b k kk k 利用第三投影利用第三投影利用定比性利用定比性重放重放2.3.4 2.3.4 一般位置线段的实长及对投影面的倾角一般位置线段的实长及对投影面的倾角 ABbbaaCXO|zA-zB| 过过A作作ACab得直角三角形得直角三角形ABC，其中，其中AC=ab，BC=Bb-Aa=zB-zA，斜边，斜边AB即为实长，即为实长，AB与与AC

23、的夹角即为的夹角即为AB对对H面面的倾角的倾角，这种方法称为直角三角形法。，这种方法称为直角三角形法。ABXaabbO作图要领作图要领 用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。ABbbaaXOABXaabbOYWZYH abZY直角三角形直角三角形的四个要素的四个要素 四个要

24、素包括：四个要素包括：实长、投影长、坐标差及直线对投影面实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。ABab|zA-zB|斜边直角边（投影）直角边（坐标差）夹角（投影与斜边）实长 水平投影水平投影 Z 正面投影正面投影Y 侧面投影侧面投影X 例例6 已知线段的实长已知线段的实长AB以及以及ab和和a，求线段的正面投影，求线段的正面投影ab。aXa bAOBb0Ab0Ab0bb 若空间两直线互相平行，其各组同面投影必平行。反之，若空间两直线互相平行，其各组同面投影必平行。反之，若两直线的各组同面投影都互相平

25、行，则空间两直线必平行。若两直线的各组同面投影都互相平行，则空间两直线必平行。 1.1.平行两直线平行两直线XbaabdcdcXbaadbbccABCD2.3.5 2.3.5 两直线的相对位置两直线的相对位置例例7 判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直线，只要对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。间两直线就平行。ABAB与与CDCD平行。平行。FEFE与与GHGH不平行。不平行。 对于特殊位置直线，只对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。空间直线不一定平行。a

26、b c d ehgff h g e h f e g abcdc a b d 2.2.相交两直线相交两直线 两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点符合两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点符合点的投影规律。点的投影规律。 反之，若两直线在同一投影面上的投影相反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点符合点交，且交点符合点 的投影规律，则该两直线相交。的投影规律，则该两直线相交。OXBDACKbbaaccddkkObXaabkcddck3.3.交叉两直线交叉两直线 凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。 XOBDACbb aa c cd

27、d 211 (2 )21b Xa abc d dc11 (2 )2OdacboYWYHZXaacddcbb例例8 8 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置bbcddcXaa3(4)34122(1)例例9 9 判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性O 判断重影点的判断重影点的可见性时，需要看可见性时，需要看重影点在另一投影重影点在另一投影面上的投影，坐标面上的投影，坐标值大的点投影可见，值大的点投影可见，反之不可见，不可反之不可见，不可见点的投影加括号见点的投影加括号2.3.6 2.3.6 垂直两直线的投影（直角投影定理）垂直两直线的投影（直角投影定理）AHBCacbcXbacba

28、 互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相垂直。平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相垂直。 反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直。中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直。O1.1.垂直相交的两直线的投影垂直相交的两直线的投影BHACbcacXabcab已知：已知：ABH面，面，ABBC，求证：，求证：abc=90证明：证明： ABH面面 ABBb 又又ABBC AB平面平面BbcC

29、又又ABab ab平面平面BbcC abbc， 即即:abc=ABC=90 2.2.交叉垂直的两直线的投影交叉垂直的两直线的投影BHACcbaMNnmXbabamnnmAB AC, 且且ABH面面, 则有则有ab acbbaaOfeefX例例10 过点过点A 作作EF 线段的垂线线段的垂线AB。例例11 求点求点E 到水平线到水平线AB 的距离。的距离。XOababeeddyD-yE所求距离所求距离例例12 作三角形作三角形ABC， ABC为直角，使为直角，使BC在在MN上，且上，且BC AB=2 3。bbcABab|yA-yB|bc=BCnmaaXmnOc2.4 2.4 平面的投影平面的投影

30、2.4.1 2.4.1 平面的表示法平面的表示法2.4.2 2.4.2 平面对投影面的相对位置平面对投影面的相对位置及投影特性及投影特性2.4.3 2.4.3 平面上的点和直线平面上的点和直线2.4.1 2.4.1 平面的表示法平面的表示法用几何元素表示平面用几何元素表示平面aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd（1 1）不在一直线上的三个点；）不在一直线上的三个点；（2 2）一直线和直线外一点；）一直线和直线外一点；（3 3）相交两直线；）相交两直线；（4 4）平行两直线；）平行两直线；（5 5）任意平面图形。）任意平面图形。2.4.2 2.4.2 平面对投影面的相

31、对位置及投影特性平面对投影面的相对位置及投影特性投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般一般位置位置平面平面特殊特殊位置位置平面平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面1.1.投影面垂直面投影面垂直面c c 为什么？为什么？是什么位置的平是什么位置的平面？面？abca b b a 类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影面垂直面投影特性投影面垂

32、直面投影特性正垂面正垂面铅垂面铅垂面侧垂面侧垂面1.1. 平面在所垂平面在所垂 直的投影面上的投影积聚成倾斜于投影轴的直线并反映直的投影面上的投影积聚成倾斜于投影轴的直线并反映该平面对其它两个投影面的倾角。该平面对其它两个投影面的倾角。2.2. 平面的其它两个投影都是小于原图形的类似形。平面的其它两个投影都是小于原图形的类似形。 2.2.投影面平行面投影面平行面投影特性：投影特性： （1） abc 、 a b c 积聚为直线（具有积聚性）。积聚为直线（具有积聚性）。 （2） 正平面投影正平面投影a b c 反映反映 ABC实形（具有实形性）。实形（具有实形性）。 cabbacbcaVWHbac

33、abcbcaCBA投影面平行面投影特性投影面平行面投影特性正平面正平面水平面水平面侧平面侧平面1.1.在所平行的投影面上，平面的投影反映实形。在所平行的投影面上，平面的投影反映实形。2.2.在其它两个投影面上，平面的投影积聚成直线并平行于该平面在其它两个投影面上，平面的投影积聚成直线并平行于该平面所平行投影面包含的两个投影轴。所平行投影面包含的两个投影轴。 3.3.一般位置平面一般位置平面投影特性：投影特性： （1 ）abc 、 a b c 、 a b c 均为均为 ABC的类似形。的类似形。 （2 ）不直接反映）不直接反映 、 、 。 abbaccbacabcbacabCAB例例13 正垂面

34、正垂面ABC与与H面的夹角为面的夹角为45，已知其水平投影及顶，已知其水平投影及顶点点B的正面投影，求的正面投影，求ABC的正面投影及侧面的正面投影及侧面 投影。投影。a c b c a abcb 思考：思考：此题有几个解？此题有几个解？451. 1. 点和直线在平面上的几何条件点和直线在平面上的几何条件（1 1）点在平面上的几何条件：）点在平面上的几何条件：点在平面内的某一直线上。点在平面内的某一直线上。（2 2）直线在平面上的几何条件：）直线在平面上的几何条件： 通过平面上的两点；通过平面上的两点； 通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。 2.

35、4.3 平面上的点和直线MNABMABCNM例例14 已知平面由直线已知平面由直线AB、AC所确定，在平面内任作一条直线。所确定，在平面内任作一条直线。abcb c a d d解法一解法一解法二解法二有多少解？有多少解？有无数解！有无数解！n m nmabcb c a 例例15 已知平面已知平面 ABC ，（，（1）判断点）判断点K是否在平面是否在平面 ABC 上上。（2）已知该平面上一点）已知该平面上一点E的正面投影的正面投影e作出水平投影。作出水平投影。k kabcabcddee11XO例例16 已知已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。的水平投影。b

36、ckada d b c ada d b c k bc解法一解法一解法二解法二2.2.平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线VHPPVPH平面上投影面平行线平面上投影面平行线既在平面上又平行于投影面的直线。既在平面上又平行于投影面的直线。 在一个平面上对在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。平面投影面分别有三组投影面平行线。平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关系。保持从属关系。水平线正平线XO例例17 已知点已知点E 在在 ABC平面上，且点平面上，且点E距离距离H面面15，距离，距离

37、V 面面10，试求点，试求点E的投影。的投影。Xabcbacmnm n rsrs1015eeO2.5 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置下一页下一页返回目录返回目录2.5.1 平行问题平行问题2.5.2 相交问题相交问题2.5.3 垂直问题垂直问题2.5.3 综合举例综合举例2.5.1 2.5.1 平行问题平行问题 若一直线平行于平面上的一直线，则该直线与平面平若一直线平行于平面上的一直线，则该直线与平面平行。反之，若平面上不存在与此直线平行的直线，则可行。反之，若平面上不存在与此直线平行的直线，则可断定直线与平面不平行。断定直线与平面不平行。 PBDCA

38、1.1.直线与平面平行直线与平面平行例例1 1 过点作水平线平行于平面过点作水平线平行于平面ABCABCm d mdkk b a abc cXO 分析：分析：ABC上的水平线有无数条，但其方向是确定上的水平线有无数条，但其方向是确定的，因此过的，因此过K点作平行于点作平行于ABC的水平线也是唯一的。的水平线也是唯一的。 作图步骤作图步骤 先在先在ABC内任作水平内任作水平线线AD； 再过点再过点K作作KMAD即即kmad，k m a d，则直线则直线KM为一水平线且平为一水平线且平行于已知平面行于已知平面ABC。 2. 2. 平面与平面平行平面与平面平行 若一平面上的两相交直线对应地平行于另一

39、平面上的若一平面上的两相交直线对应地平行于另一平面上的两相交直线，则这两个平面平行。两相交直线，则这两个平面平行。ACBDFEPQf e d edfc a acb bm n mnr rss 结论：两平面平行结论：两平面平行XO例例2 2 试判断两平面是否平行。试判断两平面是否平行。例例3 已知平面由平行两直线已知平面由平行两直线AB和和CD给定。试过点给定。试过点K作一平面作一平面平行于已知平面平行于已知平面 。emnmnfefsrsrddcaacbbkkXO2.5.2 2.5.2 相交问题相交问题 直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相

40、交有平面相交有交点交点，交点既在直线上又在平面上，因而交，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的点是直线与平面的共有点。两平面的交线交线是直线，它是是直线，它是两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求是求共有点、共有线共有点、共有线的投影。的投影。 PABKDBCALKEF作图方法积聚性法 当直线或平面的投影具有积聚性时，可利用积聚性当直线或平面的投影具有积聚性时，可利用积聚性的特性直接做出交点或交线的一个投影，然后再利用在的特性直接做出交点或交线的一个投影，然后再利用在直线或平面上取点的方法求出另一投影。直

41、线或平面上取点的方法求出另一投影。 VHPHPACacNMkbBK1. 1. 投影面倾斜线与特殊位置平面相交投影面倾斜线与特殊位置平面相交bbaaccmmnnkkXOVHPHPACacNMkbBK 当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。个投影可在直线的另一个投影上找到。直线可见性的判别bbaaccmmnkkn 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能够特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能够直接判别直线的可

42、见性直接判别直线的可见性-观察法观察法，由水平投影可知，由水平投影可知KM段在平面前，故正面投影上段在平面前，故正面投影上k m 为可见为可见。 XOVHPHPACacNMkbBK2. 2. 投影面垂直线与投影面倾斜面相交投影面垂直线与投影面倾斜面相交 XOa a(b)b c d cefdf kk 分析：分析：直线直线AB是是铅垂线，铅垂线，H投影有积聚投影有积聚性，故交点的性，故交点的H投影投影k必和必和a（b）重合。又重合。又因交点因交点K是是CDE上的上的点，因此可用求面上点，因此可用求面上取点的方法，求出取点的方法，求出K点点的的V面面投影投影k。 e 可见性判别可见性判别-重影点法重影点法点点位于位于AB上在前。点上在前。点 位于平面上在后；故位于平面上在后；故k 1 为可见为可见。1 （2 ）213. 3. 投影面倾斜面与特殊位置平面相交投影面倾斜面与特殊位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点共有点的问题的问题, ,由于由于特殊位置特殊位置平面的某些投影有积聚性，交