江西省吉安县高中数学第2章解三角形2.1.1正弦定理课件北师大版必修5

1、2.1.1 正弦定理正弦定理1.在ABC中，三个角A，B，C的对边分别为a，b，c：(1)角的关系为_；(2)边的关系为_；(3)边角关系为_.ABCabc，abc大角对大边2.在RtABC中的有关定理或结论在RtABC中，若C90，则有：(1)AB ，0A90，0B90；(2)a2b2c2(勾股定理)；90ccc一般三角形是否仍成立？一般三角形是否仍成立？ACBDab在锐角三角形中：作在锐角三角形中：作AB边上的高边上的高CDsinCDaB sinCDbA sinsinaBbA 所以所以即即sinsinabAB 同理同理sinsinacAC ACBDab在钝角三角形中：作在钝角三角形中：作A

2、B边上的高边上的高CDsinCDAb sinsin(B)sinCDBDBCa 即即sinsinabAB sinsinCDaBbA所以所以sinsinsinabcABC外接圆法外接圆法ABCDBD 作作ABC外接圆的直径外接圆的直径CDabc2sinsin2bbbRbBDR 同理有同理有2,2sinsinacRRAC 即即2sinsinsinabcRABC 面积法面积法.Oyx解解:如图建立直角如图建立直角坐标系坐标系.过过C点作点作CD AB于于D.D则点则点C的坐标的坐标(bcosA,bsinA)(bcosA,bsinA)于是于是ABC的面积的面积 S=Abcsin21同样可得同样可得S=B

3、acsin21ABCbacCabsin211sin2bcA 1sin2acB 1sin2abC同除以同除以 ， 12abc得得sinsinsinABCabcsinsinsinabcABC即即【例 1】已知在ABC 中，c10，A45，C30，求 a，b 和 B.c10，A45，C30，B180(AC)105.由asinAcsinC，得 acsinAsinC10sin45sin3010 2.由bsinBcsinC，得 bcsinBsinC10sin105sin3020sin75206 245 65 2.解解 已知两角及一边解三角形已知两角及一边解三角形 正弦定理正弦定理 探究一探究一 正弦定理在

4、解三角形中的应用正弦定理在解三角形中的应用解析 B 角最小，b 边为最短边， 由正弦定理csinCbsinB， 得 bcsinBsinCsin45sin6063， 最短边长为63. 已知两边及一边的对角解三角形已知两边及一边的对角解三角形【例【例2 2】已知下列各三角形的两边及其一边的对角，解】已知下列各三角形的两边及其一边的对角，解 三角形三角形. . (1)b10，c5 6，C60；解 b10，c5 6 sinBbsinCc10sin605 622.又bcBC即 B45，A180(BC)75.absinAsinB10sin75sin45106 24225( 31)一个解一个解(2)a2 3

5、，b6，A30；解解a2 3， b6 A30 sinBbsinAa6sin302 332.又 ab B60或 120，当 B60时，C90，casinCsinA2 3sin90sin304 3，当 B120时，C30A.两个解两个解(3)a10，b20，A80.无解无解解a10，b20，A80Sin BbsinAa20sin802sin80110oo本题无解正弦定理可实现三角形中边角的相互转化：正弦定理可实现三角形中边角的相互转化：(1)(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角已知两角和任一边，求其它两边和一角(2)(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角已知两边和其中一边的对角，求另一

6、边和两角【例 3】在ABC 中，sinAcosA22，AC2，AB3，求ABC 的面积sin Acos A 2cos(A45)22，cos(A45)12又 0A180，A4560，A105.sin Asin105sin(4560)sin45cos60cos45sin602 64.SABC12ACABsin A12232 6434( 2 6)解解111sinsinsin222SabCacBbcA三角形面积公式：三角形面积公式：探究二探究二 用正弦定理求有关三角形的面积问题用正弦定理求有关三角形的面积问题【变式 2】已知三角形面积为14，外接圆面积为，则这个三角形的三边之积为()A 1B2C12D

7、4设三角形外接圆半径为 R，则由R2，R1，由 S12ab sin Cabc4Rabc414，abc1.解：解：【例 4】在ABC 中，若 sin A2sin B cos C，且 sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC 的形状在ABC 中，根据正弦定理：asin Absin Bcsin C2R(R 为ABC 外接圆的半径)sin2Asin2Bsin2C，(a2R)2(b2R)2(c2R)2，即 a2b2c2. A90，BC90.由 sin A2sin B cos C，得 sin 902sin B cos(90B)，sin2B12.B 是锐角，sin B22，B45，C45. ABC 是等腰直角三角形解解探究三探究三 用正弦定理判断三角形的形状用正弦定理判断三角形的形状【变式】在ABC中，若acosAbcosBccosC，则ABC为_三角形由正弦定理，得 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，ac