多元函数微分学1

1、多元函数微分学多元函数的极限1. 求函数的定义域.解 二元函数的定义域.由二次根式, 得且. 2. 设, 求.解1 复合函数.改写, 得. 于是.解2 令. 代入化简, 得. 即.习题 (a)已知, 求.(b)设,求.3. 计算极限.解用一元函数极限的法则与定理. 因为, 所以. 这是型未定式. 因为, 所以. 根据极限存在准则1, . 再由函数连续性有= 1.4. 求证: 极限不存在.证选择不同路径(相当于数列或一元函数的子列), 证明极限不存在. 一种常用的(不是万能的!)路径是沿直线趋向于点. 在这里是沿直线趋向于坐标原点.=因为极限值与有关, 即沿不同直线趋向于坐标原点时, 有不同极限

2、值, 所以原极限不存在. 5. 求证: 极限不存在.证选择不同路径, 证明极限不存在. 例5中的直线路径在这里无效. 需要寻找曲线路径. 当动点沿抛物线趋向于坐标原点时, 有=极限值与有关, 原极限不存在.6. 研究函数的连续性.解用定义判定连续. 根据初等函数的连续性, 当时, 函数连续. 因为, 所以函数在坐标原点也连续. 当沿着与轴平行的直线趋向于轴上其它的点时, 极限不存在. 于是这些点是函数的间断点.7. 设函数关于自变量连续, 又存在常数, 使得对于任意两点, 有, 则函数连续.证 用定义判定连续. 任意取点. 对于任意给定的, 由于对于取定的的值, 函数关于自变量连续, 存在,

3、使得当时, 有.取, 则当, 时, 有偏导数与全微分1. 设函数 , 计算.解用定义求偏导数. 当时, 用导数公式得, .当时, 用偏导数定义, 得. 同理有.2. 设函数, 则它在坐标原点连续, 但没有偏导数. 解用定义证连续，求偏导数因为，函数在所以坐标原点连续。当时, 用偏导数定义, 得不存在. 同理有不存在.3. 设函数, 计算混合偏导数, 其中是自然数.解用乘积导数公式和.= +4. 设函数满足不等式, 则在坐标原点可微.证用定义判定可微.将坐标原点代入不等式, 得. 因为根据极限存在准则1, 有. 同理. 记. 因为所以. 即在坐标原点可微.5. 记, 则在坐标原点连续, 且有偏导

4、数, 但是在原点不可微.证用定义判定不可微.易见=. 即在坐标原点连续. =同理. 最后考虑极限因为沿直线, 此极限等于, 所以函数原点不可微.复合函数导数公式1. 设函数有连续的偏导数, , 则函数满足偏微分方程.证证明复合函数满足给定方程. 用复合函数导数公式.将这三个等式代入问题中方程的左端即可.2. 设函数有连续的偏导数, , 求.解 复合函数的二阶导数. 对求导, 得. 再对求导, 得评述 复合函数的偏导数仍然是复合函数.3. 设函数有连续的偏导数, 求函数所满足的偏微分方程. 解 求复合函数所满足的方程. 将函数分别对, 和求导, 得和. 代入, 得.4. 设, 求.解 曲面的参数

5、方程.以原自变量为中间变量, 为自变量, 用复合函数导数公式.解方程组, 得, 得. 5. 设函数由方程确定, 其中函数有连续的偏导数, 且, 则函数满足偏微分方程.证隐函数求导.将问题中方程的两端同时对求导, 注意是的函数, 得即. 同样对和求导, 将三式相加, 消去即可.6. 设函数有连续的偏导数, 且满足函数方程, 则称此函数为次齐次函数, 求证: 次齐次函数满足偏微分方程.证隐函数求导. 将函数方程的两端同时对求导, 得 在此式中取即为所求.切线与切平面1. 在曲线上求一点, 使得曲线在此点处的切线平行于平面.解 参数方程给定的曲线的切线.求导, 得,. 根据直线与平面平行条件, 有.

6、 解方程, 得, . 得二点, 和.2. 求证: 螺旋线的切线与轴的夹角等于定角.证参数方程给定的曲线. 螺旋线的切线的方向向量为, 轴正向的方向向量为. 它们夹角的方向余弦为是一个常数, 于是夹角等于定角.3. 求曲线在点处的切线.解1 一般方程给定的曲线. 切线的对称式方程. 记, , 对变量求导, 得, 将点代入, 得, . 则切线方程. 即.解2 切线的一般方程.分别求两个曲面在该点的切平面, 则其交线就是所求切线.即.4. 在曲面上求一点, 使得曲面在该点处的切平面与平行.解 曲面的切平面. 曲面上点处的法向量为, 与平面的法向量比较, 得. 于是, . 切平面方程. 5. 求过直线

7、, 且与曲面相切的平面的方程.解 求曲面的切平面. 过直线的平面束的方程为曲面上点处的切平面的方程为.于是应有其中. 解这个方程组可得两个平面和.6. 求证: 曲面的切平面与坐标平面围成的四面体的体积等于常数.证研究切平面的性质. 记, 则在曲面上点处的切平面的方程为. 于是, 四面体的体积为. 7. 设函数可导, 且, 则曲面在任意一点处的法线与z轴相交.证 特殊类型的曲面的切平面.曲面在点处的法线的参数方程为取即可.8. 设函数有连续的偏导数, 则由方程确定的曲面在任意一点处的切平面平行于一条定直线.证 特殊类型的曲面的切平面. 将方程的左端分别对,和求导, 得曲面的一个法向量, 它与定向

8、量垂直.9. 设函数可导, 则曲面在任意一点处的切平面过坐标原点.证特殊类型的曲面的切平面. 曲面在点处的切平面方程为取, 则得.10. 求曲面与在点处的夹角. 解 曲面在交点处的夹角. 曲面之间的夹角为切平面之间的夹角. 求偏导数, 得法向量, . 于是, .多元函数的极值1. 计算函数, 的极值.解显函数的极值. 分别对和求导, 用极值必要条件, 有; 解三角方程组, 得唯一驻点. 求二阶偏导数, 有; ; 将驻点代入, 得. 因为, 根据极值充分条件, 是极大值点, 极大值等于.2. 函数由方程确定, 计算的极值. 解隐函数的极值. 将方程分别对和求导, 用极值必要条件, 得解得驻点和.

9、 求二阶偏导数, 将驻点代入, 用极值充分条件可知: 是极大值点, 极大值等于2; 是极小值点, 极小值等于-2. 3. 计算函数的满足条件, 的极值.解条件极值问题.代入消元法. 代入消去, 可得.分别对变量和求导, 得驻点. 再求二阶偏导数, 根据极值充分条件, 此点为极大值点. 于是原问题在点取极大值.4. 计算函数在球面上的最大最小值.解条件极值问题.拉格朗日乘数法.令, 分别对和z求导, 得, , 用表示和z, 得. 代入球面方程, 得. 得到两点根据问题的几何意义, 前者是最大值; 后者是最小值. 5. 在椭球面位于第一卦限的部分上求一点, 使得在该点处的切平面与坐标平面围成的四面体的体积最小.解几何应用.设所求点为，则切平面方程为令, 分别对和求导, 得, ，;解方程组，得唯一点. 所以，切平面与坐标平面围成的四面体的体积的最小值为.6. 求原点到曲面的最短距离.解 最短距离. 设曲面上任意一点, 该点到坐标原点的距离为. 令. 求导, 得, , 消去, 得, . 代入曲面方程, 得 . 共有四个极小值点, ,