随机变量与分布函数

1、第二章第二章随机变量及其分布随机变量及其分布第一节第一节随机事件的数量描述随机事件的数量描述 一、随机变量概念的产生一、随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念量来表示，由此就产生了随机变量的概念. 1、有些试验结果本身与数值有关（本身、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）就是一个数）. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 七月份福州的最高温度；七月份福州的最高温度；每天从福州下火车的人数；每天从福州下火车的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；2、在有些试验中，试验结果看

2、来与数值无、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果种结果.也就是说，把试验结果数值化也就是说，把试验结果数值化. 正如裁判员在运动正如裁判员在运动场上不叫运动员的场上不叫运动员的名字而叫号码一样，名字而叫号码一样，二者建立了一种对二者建立了一种对应关系应关系. 这种对应关系在数学上理解为定义了一种这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数实值函数.w.X(w)R这种实值函数与在高等数学中大家接触到这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？的函数一样吗？（1）它随试验结果的不同而取不同的值，）它随试验结果的不

3、同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值而不能预先肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率定范围内的值也有一定的概率. 称这种定义在样本空间上的实值函数为称这种定义在样本空间上的实值函数为随机变量随机变量简记为简记为 r.v. 二二.随机变量随机变量 而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等等.随机变量随机变量通常用大写字

4、母通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示 例如，从某一学校随机选一例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高学生，测量他的身高. 我们可以把可能的我们可以把可能的身高看作随机变量身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于然后我们可以提出关于X的各种问题的各种问题. 如如 P(X1.7)=？ P(X1.5)=?P(1.5XxX x四四.分布函数定义分布函数定义： 设设 X 是一个是一个 r.v，称称)()(xXPxF)(x为为 X 的的分布函数分布函数. 记作记作 X F(x) 或或 FX(x). 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数那

5、么分布函数 F(x) 的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间,(x的概率的概率. 问：问： 在上在上 式中，式中，X, x 皆为变量皆为变量. 二者有什二者有什么区别？么区别？ x 起什么作用？起什么作用？ F(x) 是不是概率？是不是概率？X是随机变量是随机变量, x是参变量是参变量.F(x) 是是r.v X取值不大于取值不大于 x 的概率的概率.xxXPxF),()( 由定义，对任意实数由定义，对任意实数 x1x2，随机点落随机点落在区间（在区间（ x1 , x2 的概率为：的概率为：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变

6、量因此，只要知道了随机变量X的分布函的分布函数，数， 它的统计特性就可以得到全面的描述它的统计特性就可以得到全面的描述.xxXPxF),()(已知已知X的分布函数为的分布函数为 F(x)，下列各下列各事件概率用事件概率用F(x) 如何表示？如何表示？1-F(x)F(x2)-F(x1)P(Xx)P(x1X=x2)P(x1Xx2)P(x1=X=x2)F(x)-F(x-0)F(x-0)F(x2-0)-F(x1)F(x2)-F(x1-0) 分布函数是一个普通的函数，正是分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来通过它，我们可以用数学分析的工具来研究研究 随机变量随机变量.xxXPxF),()(五、分布函数的性质五、分布函数的性质 如果一个函数具有上述性质，则一定是某如果一个函数具有上述性质，则一定是某个个r.v X 的分布函数的分布函数. 也就是说，性质也就是说，性质(1)-(3)是是鉴别一个函数是否是某鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的的分布函数的充分充分必要条件必要条件.)()(,. 1bFaFba则若1)()(lim, 0)()(lim),( , 1)(0. 2FxFFxFxxFxx且3. F(x+0)=F(x)单调不减单调不减非负有