随机变量及其分布节

1、2022-3-151一、随机变量的概念二、离散随机变量(超几何分布、二项分布 泊松分布)三、连续随机变量(均匀分布、指数分布)四、随机变量的分布函数第二章第二章随机变量及其分布随机变量及其分布基本内容：2022-3-152第二章第二章许多随机试验的样本空间，., 2 , 1 , 0可用数量直接表示.引例：(1) 投掷一颗骰子.(2) 某电话总机在1分钟内收到的呼叫次数. 第一节第一节随机变量的概念随机变量的概念.6, 5, 4, 3, 2, 12022-3-153但是有些随机试验的样本空间并不是数量化的,;21正面，反面，而是表现为某种属性.(3) 投掷一枚质量均匀的硬币. )(XR这种对应关

2、系在数学上理解为定义一种实值函数.2022-3-154引例(1). 掷骰子试验, .6, 5, 4, 3, 2, 1令X (i)=i, (i=1,2,3,4,5,6)则X为定义在上的单值实函数.引例(3). 投硬币试验, ,21正面，反面，令反面正面210, 1)(，Y则Y为定义在上的单值实函数.通常称定义在上的单值实函数X，Y为随机变量.“骰子的点数不超过3”这一事件“出现正面朝上”这一事件可用X3来表示;可用Y=1表示.2022-3-155定义定义. .设随机试验E的样本空间为,若对于每一个样本点,变量X 都有确定实数值与之对应,则X是定义在上的实值函数,即),(XX 我们称这样的变量X为

3、随机变量随机变量. 常用大写字母X, Y, Z等或希腊字母,等表示, 而表示随机变量所取的值时, 通常采用小写字母x, y, z等.注：注：(1) 随机变量是定义在样本空间上的单值实函数;这种对应关系可以为一对一或多对一的关系.2022-3-156(2) 随机变量的取值依赖于样本点, 因而随机变量取随机变量 X 的分类：1.离散随机变量:取值只有有限个或可列无穷多个值2.连续随机变量: 取值是在某个实数区间(有界或无界)(3) 引入随机变量后，随机事件的发生可以用随机变引例中, P(X2)=1/3, P(Y=1)=1/2.各个值都有一定的概率. 它与普通函数不同,区别在于它具有随机性.量的取值

4、表示. 因此随机事件概率的研究就转化为随机变量取值概率的研究.2022-3-157可列无穷多个数值若随机变量X只能取得有限个数值第二节 离散随机变量nxxx,21,21nxxx第二章第二章（discrete random variable）则称X为离散随机离散随机变量变量.一、离散随机变量的定义或例如:X : “掷一颗骰子所出现的点数”（有限）Y : “某电话总机在1分钟内收到的呼唤次数”(可列)Z :“灯泡寿命试验中的灯泡寿命”), 0 Z2022-3-158二、离散随机变量的概率分布(分布律)引例: 一射手进行打靶练习(如图), 规定射入区域e1得2分, 射入区域e2得1分, 射入区域e3

5、得0分.射击一次所得分数X是一离散随机变量,它的可能取值为0，1，2. e3e2 e1 X 0 1 2 P 0 0.2 0.8尽管在射击前X取什么值是不知道的,但取各个值的概率是确定的(由射手的射击水平确定）如: 甲射手取各个值的概率如下表2022-3-159如：乙射手取各个值的概率如下表 X 0 1 2 P 0.6 0.3 0.1由实践可知, 对于不同的选手, 随机变量X的所有可能取值仍为0, 1, 2, 但由于射手射击水平不同取这些值的概率也就不一样.因此我们要完整地了解离散随机变量, 不仅要知道它的所有可能取值, 还需要知道它的所有可能取值相应的概率, 为此我们引入概率分布(分布律).2

6、022-3-1510定义定义. .Xip1x1p2x2pipixnxnp或记为概率分布pi 的性质:;, 2, 1, 0) 1 (ipi.1)2(iip设X为离散随机变量, ), 2 , 1()(ipxXPii则称pi (i=1,2,)为X的概率分布概率分布或概率函数概率函数 (分布律分布律).其所有可能取值为,21nxxx且2022-3-1511并且击中1环、2环、4环的概率例例1.1.,4 , 2 , 1; 4 , 2 , 1|jiijjiXXij)(某人参加射击游戏， 射击的靶如图.射击不会发生脱靶，设每次分别与各环的面积成正比， 求此人两次独立射击所得环数的乘积的概率分布.2d124d

7、3d解：随机试验的样本空间设随机变量X表示此人两次射击所得环数的乘积,则)16, 8, 4, 2, 1(2022-3-1512分别为每次射击“击中4环”、“击中2环”，“击中1环”的概率4p4/94/22dd,912p4/94/322dd,931p4/94/522dd.95由于两次射击是独立的，有9595) 1(XP)(11P11pp,8125,8130)2(XP)(2112 P)()(2112PP1221pppp95939395959193939195)4(XP)(412214 P)()()(412214PPP142241pppppp,81192022-3-1513,816.811随机变量X

8、的概率分布Xip181252813081198168114816)8(XP)(4224 P)()(4224PP2442pppp93919193)16(XP)(44P44pp91912022-3-1514随机变量X的所有可能取值为例例2.2.盒中装有5只注射针头,)(kXP25223CCCkk现从盒中任取2只,其中3只新的, 2只旧的,以X表示取到的新针头数, 求X的概率分布.解：( k=0, 1, 2)那么随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 p 0.1 0.6 0.30，1，2.2022-3-1515超几何分布超几何分布 二项分布二项分布 泊松分布泊松分布第二章第二章第三节第三节2022-

9、3-1516 (1)在不放回抽样的方式下, 设随机变量X表示取出的次品数(X=0,1,2,n), 那么X的概率分布为 设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，则)(mYPnNmnMNmMCCC)(mXP (2)在放回抽样的方式下, 设随机变量Y表示取出的次品数(Y=0,1,2,n), 那么Y的概率分布为), 2 , 1 , 0(nm), 2 , 1 , 0(nmmnmmnNMNMC)1 ()(2022-3-1517定义定义. .设随机变量X的概率分布为;, 2 , 1 , 0,)(nxCCCxpnNxnMNxM随机变量X服从超几何分布超几何分布,其中n, M, N是分布

10、的参数.1.超几何分布 (Hypergeometric distribution)其中n, M, N 都是正整数，且n N, MN;则称记作XH (n, M, N),2022-3-1518例例3.3.已知20个产品中有5个一等品，若从中随机取出8个，(2) 其中一等品数X不多于3个的概率.求：(1) 其中一等品数X的概率分布；一等品数X服从超几何分布，解: 随机变量X的可能取值为据题意即)20, 5, 8( HX(1)0(XP82081505CCC,0511. 0) 1(XP82071515CCC,2554. 0)2(XP82061525CCC,3973. 0)3(XP82051535CCC,

11、2384. 00, 1, 2, 3, 4, 5,2022-3-1519.0036. 0)4(XP82041545CCC,0542. 0)5(XP82031555CCC所以一等品数X的概率分布：X)(xp00511. 012554. 023973. 032384. 040542. 050036. 0(2) 按概率可加性得所求概率为)3(XP30)(kkXP.9422. 02384. 03973. 02554. 00511. 02022-3-1520定义定义. . 设随机变量X的概率分布为则称随机变量X服nxqpCxPxnxxnn, 2 , 1 , 0,)(; 1, 10qpp其中n,p为分布的参

12、数.二项分布B(1,p)称为“0- -1”分布分布.随机变量只可能取两个数值X=0,1, . 1 , 0,)(1xqpxpxx2.二项分布（Binomial distribution）其中n为正整数，从二项分布二项分布， 记作XB (n, p),当n=1时,此时,且概率函数为2022-3-1521例例4.4.从甲地飞往乙地， 有两种飞机可供选择，一种是有两个发动机的， 另一种是有四个发动机的.设每个发动机出故障的概率都等于p, 且各发动机是否出故障是相互独立的，无论哪种飞机都必须至少有半数或半数以上的发动机在正常工作才能保证飞机从甲地安全到达乙地. 为了您的安全， 您将选择哪一种飞机从甲地飞往

13、乙地？解： 设随机变量X表示正常工作的发动机数,二项分布.它服从2022-3-1522;12p) 1(2XP2122)1 (kkkkppC2002)1 (1ppC对于有四个发动机的飞机来说, 安全飞行的概率为.34143pp )2(4XP4244)1 (kkkkppC31144004)1 ()1 (1ppCppC对于有两个发动机的飞机来说， 安全飞行的概率为2022-3-1523),2(4XP) 1(2XP比较与取决于p 值.当),2() 1(42XPXP选择有四个发动机的飞机,3411432ppp即. 0) 1)(13(2ppp则有解得.31p2022-3-1524所以当p1/3时, 我们应

14、选择有两个发动机的飞机.2022-3-1525出正确判断的概率均为p， 求陪审团作出正确判断例例5.5.)(率为假设被告的确有罪的概),12(pBX某陪审团的审判由12名审判员参加.为宣判被告有罪, 必须其中至少8名陪审员投他有罪的票.假设陪审员的判断是相互独立的,且每位陪审员作的概率.解：设X为陪审团中作出正确判断的陪审员人数,则事件A表示陪审团作出正确判断,事件B表示被告的确有罪.如果被告的确有罪,陪审团作出正确判断的概率是2022-31 ()(kkkkppC)8(XP则由全概率公式, 陪审团作出正确判断的概率是1281212)1 ()(kkkkppC如果被告无罪

15、,1251212)1 ()(kkkkppC陪审团作出正确判断的概率是)4(XP)|(BAP)|(BAP)(AP)|()()|()(BAPBPBAPBP1251212)1 ()()1 (kkkkppC2022-3-1527函数近似等于二项分布B(n,p)的概率函数，即nNxnMNxMCCC.1,NMqNMp其中结论：数量n远小于N%),10(Nn当N充分大时， 超几何分布H (n, M, N)的概率,xnxxnqpC因此, 当一批产品的总量N很大，则不放回抽样与放回抽样而抽取样品的没有多大差异.2022-3-1528放回地抽取10件样品共有基本事件数设随机变量X1表示“取出的10件样品中的次品数

16、m”,求取出的10件样本中恰有2件次品的概率.例例8.8.10100N10822101100955)2(CXP设一批产品共100件, 其中共有95件正品和5件次品, 按放回抽样的方式从这批产品中抽取10件样本,解：.0746. 0X1=m (m=1, 2,n)回顾第一章的例子2022-3-1529基本事件的相当于从100件样品中取10件作组合,求取出的10件样本中恰有2件次品的概率.例例9.9.10100CN 10100258952)2(CCCXP上题按不放回抽样方式从这批产品中抽取10件样品,解：解：从这批产品中不放回抽样抽取10件样品总数为设随机变量X2表示“取出的10件样品中的次品数”,

17、.0702. 0X1=m (m=1, 2,n)2022-3-1530是单位时间内随机事件的平均发生率(次数).其中是分布的参数.3.泊松分布 (Poissons distribution)0(;, 2, 1, 0,!)(其中xexxpx),(PX定义定义. 设随机变量X的概率分布为则称随机变量X服从泊松分布，记作泊松分布是由法国数学家S.D.Poisson(1983)提出.它适合于描述单位时间内随机事件发生的次数,而参数2022-3-1531泊松分布在生物、医学、工业及公共事业等领域例如：2. 汽车站台一天的侯客人数；4. 某公路段上一天中出事故的次数；3. 某电话交换台在1分钟内收到的呼唤次

18、数；1. 某服务设施在一定时间内到达的人数；5.自然灾害发生的次数.有着广泛的应用.2022-3-1532 当n充分大, p很小即np比较适中时，B( n, p)的概率函数近似等于泊松分布)(P的概率 二项分布npexqpCxxnxxn其中,!泊松分布)(P可以看作是二项分布B (n, p)当)(nnp时的极限分布.即函数,2022-3-1533例例6.6.).001. 0,5000( BX即)2(XP50002)(kkXP已知某地区的人群中患某种病的概率为0.001,试求在检查5000人中至少有两人患此病的概率.设随机变量X表示患此病的人数, 解:X服从二项分布,kkkkC500050002

19、5000999. 0001. 0由于n=5000较大,而p=0.001较小,np=5,病的人数近似服从泊松分布P(5),所以患此95965. 0)2(XP) 1()0(1XPXP5551ee检查5000人中至少2人患病的概率为2022-3-1534) 1()0(1)2(XPXPXP如果直接根据二项分布求解，得150005000)999. 0(001. 05000999. 0195964. 0所求结果与泊松分布结果近似相等.150001150005000005000)999. 0(001. 0999. 0001. 01CC2022-3-1535例例7.7.)(1xXP若抽样方式是：(1)不放回抽样；(2)放回抽样.设一批产品共2000个，其中40个次品.随机抽取100个样品,求样品中次品数X的概率分布,解:超几何分布H(100,40,2000), 其概率函数：由于这批产品总量N=2000很大, n=100比N较小(n/N=5%),因此可近似等于二项分布样品中的次品数X1服从(1)不放回抽样时,.40, 2 , 1 , 0,1002000100196040 xCCCxx而抽取的样品量2022-3-1536(2)放回抽样时,样品中的次品数X2服从二项分布,02. 0200040p可近似服从泊松分布, 2)