导数的概念及导数的几何意义

1、<<高等数学>>教案课型：讲授章节 第二章 导数与微分 第一节 导数及其运算 1·导数的概念及导数的几何意义教学目的：1、理解导数定义，能够运用定义求解简单函数的导数 2、了解导数的几何意义，会求曲线在某点的切线和法线方程 3、掌握可导与连续的关系，判别函数在某点的可导性与连续性教学重点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义 2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学难点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义 2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学过程：1、简介微积分的组成，微分与积分的区别 2、引入导数

2、概念 3、给出导数定义 （1）函数在某点导数的定义 （2）函数在某区间导数的定义 （3）单侧导数的定义 4、求导数举例 5、导数的几何意义 6、求切线和法线方程举例 7、可导与连续的关系 8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性 9、课堂小结 10、布置作业§1 导数及其运算一、 导数的概念1、导数的引入设一质点在坐标轴上作非匀速运动,时刻t质点的坐标为s,s是t的函数: s=f(t),求动点在时刻t0的速度.考虑比值, 这个比值可认为是动点在时间间隔t-t0内的平均速度.如果时间间隔选较短,这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度.但这样做是不精确的,更确地应当这样:令t-

3、t0®0,取比值的极限,如果这个极限存在,设为v,即,这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度.2、导数的定义从上面所讨论的两个问题看出,非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:.令Dx=x-x0,则Dy=f(x0+Dx)-f(x0)= f(x)-f(x0),x®x0相当于Dx®0,于是成为或.导数的定义设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义,当自变量x在x0处取得增量Dx时,相应地函数y取得增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)，如果当Dx®0时，的极限存在,则称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数,记作,即,也可记作,或.函

4、数f(x)在点x0处有导数（即极限存在），有时也说成f(x)在点x0可导.如果极限不存在,就说函数y=f(x)在点x0处不可导.如果不可导的原因是由于Dx®0时,®也往往说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大.导数的定义式也可取不同的形式,常见的有,.在实际中,需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题,在数学上就是所谓函数的变化率问题.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.如果函数y=f(x)在开区间（a，b）内的每一点都可导,就称函数y=f(x)在开区间（a，b）内可导,这时,对于开区间（a，b）内的任一点x,都对应着一个确定的导数.这样就构成了一个以（a

5、，b）为定义域的新函数,这个新函数叫做原来函数f(x)的导函数,简称导数，记作,或.即=或 f¢(x0)与f¢(x)之间的关系:函数f(x)在点x0处的导数f¢(x)就是导函数f ¢(x)在点x=x0处的函数值,即.导函数f ¢(x)简称导数,而f¢(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f¢(x)在x0处的值.左右导数: 所列极限存在, 则定义f(x)在的左导数:=;f(x)在的右导数:=.左导数和右导数统称为单侧导数.导数与左右导数的关系: 函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f¢-(x0) 和

6、右导数f¢+(x0)都存在且相等.如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导,且右导数f¢+(a) 和左导数f¢-(b)都存在,就说f(x)有闭区间a, b上可导.3、求导数举例例1求函数f(x)=C（C为常数）的导数.解:.即 (C ) ¢=0.例2.求的导数.解: .例3.求的导数.解:.例2求函数f(x)=xn(n为正整数)在x=a处的导数.解:f¢(a)(xn-1+axn-2+ ××× +an-1)=nan-1.把以上结果中的a换成x得f¢(x)=nxn-1,即 (xn)¢=nxn-1.

7、(C)¢=0,.更一般地,有(xm)¢=mxm-1,其中m为常数.例3求函数f(x)=sin x的导数.解:f¢(x) .即 (sin x)¢=cos x.用类似的方法,可求得 (cos x )¢=-sin x.例4求函数f(x)= a x(a>0,a¹1) 的导数.解:f¢(x).特别地有(ex)=ex.例5求函数f(x)=logax (a>0,a¹1) 的导数.解: .解:.即 .:特殊地., .例6求函数f(x)=|x|在x=0处的导数.解:, 因为f¢-(0)¹ f¢

8、;+(0),所以函数f(x)=|x|在x=0处不可导.二、导数的几何意义设有曲线C及C上的一点M,在点M外另取C上一点N,作割线MN.当点N沿曲线C趋于点M时,如果割线绕点旋转而趋于极限位置MT,直线就称为曲线有点处的切线.设曲线C就是函数y=f(x)的图形.现在要确定曲线在点M(x0, y0)(y0=f(x0)处的切线,只要定出切线的斜率就行了.为此,在点M外另取C上一点N(x, y),于是割线MN的斜率为,其中j为割线MN的倾角.当点N沿曲线C趋于点M时,x®x0.如果当x® 0时,上式的极限存在,设为k,即存在,则此极限k是割线斜率的极限,也就是切线的斜率.这里k=t

9、an a, 其中a是切线MT的倾角.于是,通过点M(x0, f(x0)且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线.函数y=f(x)在点x0处的导数f¢(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0)处的切线的斜率,即 f¢(x 0)=tan a,其中a是切线的倾角.如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大,这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置,即曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0)处具有垂直于x轴的切线x=x0.:由直线的点斜式方程,可知曲线y=f(x)在点M(x0, y0)处的切线方程为 y-y0=f¢(x0)(

10、x-x0).过切点M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线如果f¢(x0)¹0,法线的斜率为,从而法线方程为.例8.求等边双曲线在点处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.解:,所求切线及法线的斜率分别为,.所求切线方程为,即4x+y-4=0.所求法线方程为,即2x-8y+15=0.例9 求曲线的通过点(0,-4)的切线方程.解设切点的横坐标为x0, 则切线的斜率为.于是所求切线的方程可设为.根据题目要求,点(0,-4)在切线上,因此,解之得x0=4.于是所求切线的方程为, 即3x-y-4=0.三、函数的可导性与连续性的关系定理1 如果函数y=f(x)