高中数学奥赛系列辅导资料：函数奥赛竞赛练习

1、函数奥赛竞赛练习一、选择题1（2000年北京市中学生数学竞赛）已知函数y=f(x)有反函数，现将y=f(2x-1)的图象向左平移2个单位，所得图形表示的函数的反函数是（ ）-3+f-1(x)Ay= 2-3-f-1(x)By= 23+f-1(x)Cy= 23-f-1(x)Dy= 2二、填空题2（2001年全国高中数学联赛）函数y=x+3（2001年全国高中数学联赛）不等式|x2-3x+2的值域为_。 13+2|的解集为_。 log1x224（2001年北京市中学生数学竞赛）函数f(x)对于任意非负实数x、y都满足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2，且f(x)0，f(1)0，则f(2+3)=_

2、。三、解答题5（2000年北京市中学生数学竞赛）f(x)是定义在R上的函数，对任意的xR，都有f(x+3) f(x)+3和f(x+2) f(x)+2，设g(x)=f(x)-x，（1）求证g(x)是周期函数；（2）如果f(998)=1002，求f(2000)的值。6（2000年全国高中数学联赛）若函数f(x)=-为2a，最大值为2b，求区间a，b。7（第一届“希望杯”全国邀请赛试题）求函数 1213x+在区间a，b上的最小值22x4+4x3+17x2+26x+106f(x)=在区间-1，1上的值域。 x2+2x+78（第九届“希望杯”全国邀请赛试题）若实数x满足不等式x4-2x3-7x2+8x+

3、120。试求函数f(x)=|x+4|的最大值。 x9（2000年莫斯科师范大学数学奥林匹克竞赛）作函数y=|2-2|+2的图象。10（2000年莫斯科师范大学数学奥林匹克竞赛）函数f(x)=lg(x+数还是奇函数？11（第五届北京高中数学知识应用竞赛）中国青年报2001年3月19日报道：中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个：“套餐”的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法。xxx2-1)是偶函原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟付0.4元，请问：（1）“套餐”中第4种收费方式的月话费y与月通话量t（月通话量是指一个月

4、内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，如某次通话时间为3分20秒，按4分钟计通话用时）的函数关系式；（2）取第4种收费方式，通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱；（3）据中国移动2000年公布的中期业绩，每户通话平均为每月320分钟，若一个用户的通话量恰好是这个平均值，那么选择哪种收费方式更合算，并说明理由。参考答案1A 由于“抽象”没有具体的函数表达式，使题目显得有些难，化难为易的方法因而也就是化抽象为具体，不妨设f(x)=x+1（这样符合原题“f(x)有反函数”的规定）。于是以下种种全具体化了。反函数是f-1(x)=x-1，f(2x-1)=2x，向左平移2个单位所得-1图形

5、表示的函数f1(x)=2(x+2)=2x+4。这个函数的反函数f1(x)=选择来对照。 x-2，再与4个2-3+f-1(x)-3+x-1xA项y=是y=-2符合， 222-3-f-1(x)-3-x+1xB项y=是y=-1不合， 2223+f-1(x)3+x-1xC项y=是y=+1不合， 2223-f-1(x)3-x+1xD项y=是y=-+2不合。故选A。 22221,) 2,+) 32y=x+x2-3x+2x2-3x+2=y-x0y2-23两边平方得(2y-3)x=y-2，从而y且x=。 2y-322y2-2y2-3y+23001y或y2。 由y-x=y-2y-32y-32y2-22任取y2，

6、由x=，易知x2，于是x-3x+20。 2y-3y2-23任取1y等价于+2或-或+2-。即log1x2log1x2log1xlog1x22222217-。 log1x22此时，log1x0或-222log1x4或0x1或1x2。 即解集为(0,1) (1,2) (4,+)。41+2727 2这题f(x)不容易具体化，但是它的值则是可以具体化的。例如设x=0，y=0。 则由f(x+y)=f(x)+2f(y)，得f(0)=f(0)+2f(0)，2f(0)=0，f(0)=0。再设x=0，y=1。得f(1)=f(0)+2f(1)，以f（0）=0代入2f(1)=f(1)，已知f(1) 0， f(1)=

7、2222221。 2设x=1，y=1，得f(2)=f(1)+2f(1)， 即f(2)=211+2=1。 24设x=2，y=1，得f(3)=f(2)+2f(1)， 213=。 4232设x=0，y=3，得=2f()， 2f(3)=1+2f(3)=设x=0，y=。 2， 2得f(3)=f(0)+2f(3)，即3=2f()2，f()2=。 24至此可求f(2+3)，f(2+)=f(2)+2f()2=1+2。 =1+425解：本例的难度显然又有增加，主要是难以具体化。只能在抽象的层面来解决问题（1）g(x)=f(x)-x，可得g(x+2)=f(x+2)-x-2，g(x+3)=f(x+3)-x-3，再以

8、f(x+3) f(x)+3和f(x+2) f(x)+2代换，可得g(x+2)f(x)+2-x-2=f(x)-x，g(x+3)f(x)+3-x-3=f(x)-x，由可得g(x+4) f(x+2)-x-2f(x)+2-x-2=f(x)-x，g(x+6) f(x+2)-x-2f(x)-x。由可得g(x+6) f(x+3)-x-3f(x)-x，由、知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。g(x)是周期函数获证（6是它的一个周期）（2）2000-998=1002是6的整数倍，所以g(2000)=g(998)，即f(2000)-2000=f(998)-998f(2000)=f(998)+1002=1002

9、+1002=2004。本题的不同之处在于没有“具体化”，而是利用f(x+3)与f(x+2)的反复操作以求g(x+6)与f(x)的关系，进而得到g(x+6)=g(x)，以达到证明的目的。6解f(x)的最大值只能是f(0)=13，或f(a)，或f(b)，f(x)的最小值只能是f(a)或f(b)2其中之一，令ymin=2a，且ymax=2b，即可得关于a、b的方程组，解出a、b的值。当a值由负值增大到正值时，区间a，b在x轴上自左向右移动，因此在求f(x)的最值时，须按区间a，b的位置分类求解。f(x)图象顶点坐标为(0,13) 2113113f(a)=-a2+，f(b)=-b2+。 2222（1）

10、当ab0时，由f(x)在a，b上单调递增得，f(a)=2a，且f(b)=2b 1213-a+=2a,22即-1b2+13=2b.22于是a、b是二次方程b不存在（2）当a0b时，f(x)在a，0上单调递增，在0，b上单调递减，因而f(x)在x=0处取得最大值，在区间端点x=a或x=b处取得最小值， 1213x+2x-=0的两个负根，但此方程两根异号，故区间a，221313f(0)=2b即b=即24 f(a)或f(b)=2aa0时由f(x)在a，b上单调递减得，f(a)=2b，且f(b)=2a， 13。 41213-a+=2b,22即 113-b2+=2a.22解得a=1a=3或（舍去）b=3b

11、=1即得区间1，3。综上所述，所求区间为1，3或-2-,7解：f(x)=x2+2x+7+43213 4642。值域为15,15。 -123x+2x+78解：x-2x-7x+8x+12=(x-3)(x-2)(x+1)(x+2)。fmax=5。9解：研究2种情况。2-20，即x1。于是 xy=2x-2+2x=22x-2。2-20，即x0，由此f(x)的定义域为R。 2研究和f(-x)+f(x)=lg(x+1-x)+lg(x+1+x)=lg(x2+1-x)(x2+1+x)=lg1=0。因此，对任何xR，f(-x)=-f(x)，这表明f(x)是奇函数。11解：（1）y=268 0t600 268+0.45(t-600) t600（2）当0t600时，解不等式50+0.4t268，得545t600（tN），当t600时，解不等式50+0.4t268+0.45(t-600)，得600t1040(tN)，综上，545t1040时（tN），第4种收费方式比原收费方式的月通话费省钱。（3）因为按照原来的收费方式，320分钟收费178元（即50+0.4320），所以，不会选择月租费多于1