04第四节函数的单调性、凹凸性与极值

1、第四节函数单调性、凹凸性与极值我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的性质， 但这些方 法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性 .本节将以导数为 工具，介绍判断函数单调性和凹凸性的简便且具有一般性的方法 分布图示单调性的判别法例1单调区间的求法例2】k例3例4例5例6】丸例7例8曲线凹凸的概念例9】k例10曲线的拐点及其求法例111k例12例13函数极值的定义函数极值的求法例14例151k例16第二充分条件下例171k例18例19内容小结课堂练习习题3-4返回内容要点一、函数的单调性：设函数y = f(x)在a, b上连续，在(a, b)内可导.

2、 若在(a, b)内f'(x)>0,则函数y = f(x)在a, b上单调增加；(2)若在(a, b)内f'(x) <0 ,则函数y = f(x)在a, b上单调减少.二、曲线的凹凸性：设f(x)在a, b上连续，在(a, b)内具有一阶和二阶导数，则若在(a, b)内，f “(x) >0,则f(x)在a, b上的图形是凹的；(2)若在(a, b)内，f "(x) <0,则f(x)在a, b上的图形是凸的.三、连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为：(1)求函数的二阶导数f "(x);(2

3、)令f 7x)=0,解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点；(3)对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧 f"(x)的符号，确定曲线的 凹凸区间和拐点.四、函数的极值极值的概念；极值的必要条件；第一充分条件与第二充分条件；求函数的极值点和极值的步骤：(1)(2)(3)确定函数f(x)的定义域，并求其导数f'(x);解方程f'(x) =0求出f (x)的全部驻点与不可导点；讨论f(x)在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值(4)求出各极值点的函数值，就得到函数f(x)的全部极值例题选讲函数单调性的判断例1 (E01)讨论函数y =

4、ex -x -1的单调性.解 丁 y=ex _1.又D :(g,F).在(3,0)内，y'<0, ,.函数单调减少；在(0,n)内，y'>0,二函数单调增力口 .注：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性例2 (E02)讨论函数y =3；/的单调区间.2.斛 V D ： (-oC,-Hc). y (x=0),当 x =0 时，导数不存在.33 x当 g<x<0时，y'<0,:在(-«,0上单调减少；当0<x< 依c时，y r>0,一在0,

5、yc yk单调增加；单调区间为(P0, 0,2).注意：区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.例如，y=x3, y'xm =0,但是(q, -He)上单调增加.注：从上述两例可见， 对函数y= f(x)单调性的讨论，应先求出使导数等于零的点或使 导数不存在的点，并用这些点将函数的定义域划分为若干个子区间，然后逐个判断函数的导数f (x)在各子区间的符号，从而确定出函数y= f(x)在各子区间上的单调性，每个使得f '(x)的符号保持不变的子区间都是函数y = f (x)的单调区间.求单调区间例3 (E03)确定函数f(x) =2x3 9x2+12x3的单调区间.解 D :(-

6、：, ：).f (x) =6x2 18x12x =6(x -1)(x-2),解方程 f (x) =0 得 x1 =1, x2 =2.当-°o<x<1时，f (x) >0,二f (x)在(一叫1】上单调增加；当1<x<2时，f (x) <0, j. f(x) 1,2】上单调减少；当2<x< 七时，f'(x)>0,二f(x)在2,y)上单调增加；单调区间为(-二,1, 1,2, 2,；).例4求函数y'=#(2xa)(a x)2 (a >0)的单调区间2 2a -3x3 3 (2x-a)2(a-x)2. av y

7、 =0,斛付 为=a,在 X2 =, X3 =a处 y 不存在.32在(fa :内，y1>0,函数单调增加 ,2在|2a,a曲，y20,函数单调减少3在 巴,_2 a :内，yf0,函数单调增加2 3在(a,-He)内，y、0,函数单调增加例5当x>0时， 试证x >ln(1+x)成立.证 设 f (x) =x_ln(1+x)，则 f (x)=一.1 x丁 f(x)在0,+对上连续，且在(0,收)内可导，f'(x)0,二f(x)在0,收上单调增加，丁 f(0)=0, .当 x>0时，x -ln(1 +x) >0, gp x>ln(1 +x).证毕.应

8、用单调性证明1 C例 6 (E04)试证明：当 x >0 时，ln(1+x) >x x2 .2证 作辅助函数f (x)=ln(1+x)_x+1x2,21x2因为f (x)在0, +与上连续，在(0,土均内可导，且f (x) =1 +x =,1 x1 x当 x>0 时，f'(x) >0,又 f(0) =0.故当 x>0 时，f(x)>f(0)=0,所以 ln(1 x) x - 1x2.例7 (E05)证明方程x5+x+1=0在区间(一1,0)内有且只有一个实根.证 令 f(x)=x5 +x+1，因 f(x)在闭区间1,0延续，且 f(-1) =1 &l

9、t;0, f(0) =1>0.根据零点定理f(x)在(_1,0)内有一个零点.另一方面，对于任意实数x,有f'(x) =5x4+1 A0, 所以f (x)在(-i,土砌内单调增加，因此曲线y = f (x)与x轴至多只有一个交点.综上所述可知，方程 x5 +x +1=0在区间(-1,0)内有且只有一个实根.x.一例8证明万程lnx=-1在区间(0,上)内有两个实根.ex证令f(x) =ln x - +1,欲证题设结论等价于证f (x)在(0,上)内有两个零点.e,11令 f (x)=0 = x =e.因 f(e)=1,lim f (x) =-°0,故 f (x)在(0,

10、e)内有一夺点.x ex >°又因在(0,e)内f'(x)>0,故f(x)在(0,e)内单调增加，这零点唯一.因此，f(x)在(0,依)内有且仅有两个零点，证毕.例9 (E06)判定 y =x ln(1 +x)的凹凸性.解因为-11y 1, y 21 x (1 x)2所以，题设函数在其定义域(,y)内是凹的.例10 (E07)判断曲线y = x3的凹凸性.解 : y'=3x2, y*=6x,当 x <0时，y“<0,二曲线在(g,0为凸的；当x >0时，y">0,二曲线在0,上c)为凹的；注意到点(0,0)是曲线由凸变凹的

11、分界点例11 (E08)求曲线y =3x4 -4x3 +1的拐点及凹、凸区间解 易见函数的定义域为(_oQ, 士均，y： =12x3 -12x2, y"： =36x x -2 .,32v y =0,倚 x1 =0, x2=.3x(-°0,0)0(0,2/3)2/3(2/3,一)f *(x)+0一0+f(x)凹的拐点(0,1)凸的拐点(2/3,11/27)凹的所以，曲线的凹区间为 (g,0 ,2/3,F)凸区间为0,2/3拐点为(0,1)和(2/3,11/27).例 12 求曲线 y =sin x+cosx(x w (0,2n)的拐点.解 y = c o x - si nx,

12、 y = s i nx - c o % y = c o x s i nx.令 y"=0,得 x1=史，x2=7.44f = 2 =0, f =-.2 =0,44.在0,2码内曲线有拐点为三,0, C,0.44注：若 f ”(Xo)不存在，点(x0 , f (x0)也可能是连续曲线 y f (x)的拐点.曲线凹凸性判断二293 (x -b)5例13 (E09)求函数y =a2 -3/x二b的凹凸区间及拐点解 y' = - ' j 13 3(x-b)2函数y在x=b处不可导，但x<b时，y"<0,曲线是凸的，xb时，y">0,曲线是凹

13、的故点(b,a2)为曲线y =a2 Vx二b的拐点例14(E10)求出函数f (x) =x3 3x2 9x+5的极值.解 f (x) =3x2 6x 9=3(x+1)(x3)，令 f'(x)=0，得驻点 x =1,X2 =3.列表讨论如下：x(-°0, -1)-1(-1,3)3(3, 十8)f (x)十0一0十f(x)T极大值J极小值T所以，极大值f (-1) =10,极小值f (3) =N2.fy；例 15(E11)求函数 f(x) =(x4)；/(x+1)2 的极值.解 (1)函数f (x)在(-,+*)内连续，除x = _1外处处可导，且令f (x) =0,得驻点x =

14、1; x =1为f(x)的不可导点；(3)列表讨论如下：x(-00,-1)-1(-1,1)1(1,+8)f (x)十不存在一0十f(x)T极大值J极小值(4)极大值为f(T)=0,极小彳t为f(1) = 43/4.3 2/3 例16求函数 f (x )=x- x 3的单调增减区间和极值.2解 求导数f (x)=1x/3,当x=1时f'(0)=0，而x=0时f'(x)不存在因此，函数只可能在这两点取得极值.列表如下：x(-°0,0)0(0,1)1(1, +°0)f (x)十不存在一0十f(x)极大值0，一一 1极小值一-2由上表可见：函数 f (x)在区间(g

15、,0),(1，kC)单调增加，在区间(0,1)单调减少.在点1 , x=0处有极大值，在点x=1处有极小值 1)=-一，如图.232例17 (E12)求出函数f(x)=x +3x 24x 20的极值.解 f (x) =3x2 +6x24 =3(x+4)(x2),令 f'(x)=0，得驻点 x1 = -4, x2 = 2.又 f "(x) =6x+6, 1 f "(T) =18 <0,故极大值 f (T) =60, f "(2)=18 >0, 故极小值f (2) - -48.注意：1.f“(Xo)=0时，f(x)在点X0处不一定取极值,仍用第一充

16、分条件进行判断2.函数的不可导点，也可能是函数的极值点.例 18(E13)求函数 f(x) =(x2 1)3 +1 的极值.解 由 f (X)=6x(x2 1)2 =0,得驻点 X1 =1, x2 =0,x3 =1. f "(x)=6(x2 1)(5x2 -1).因f(x)=6>0,故f(x)在x=0处取得极小值，极小值为f (0)=0.因f “(1)= f“(1)= 0,故用定理3无法判别.考察一阶导数 (x)在驻点x1 =-1及x3 =1左右邻近的符号：当x取1左侧邻近的值时，f'(x)<0;当x取-1右侧邻近的值时，f'(x)<0;因f'(x)的符号没有改变，故 f (x)在x = _1处没有极值.同理，f (x)在x = 1处也没有极值.如图所示.例19求出