2.3.2向量数量积的运算律

1、平面向量专题复习平面向量专题复习 突破数量积运算问题突破数量积运算问题东莞实验中学东莞实验中学 罗晓莹罗晓莹一轮复习中存在的问题一轮复习中存在的问题复习回顾复习回顾 例题讲解例题讲解 变式训练变式训练 总结归纳总结归纳1 1、对向量符号掌握不理想（箭头、字体加粗）、对向量符号掌握不理想（箭头、字体加粗）2 2、很难主动想到用向量方法去解题（向量、很难主动想到用向量方法去解题（向量“工具工具”）3 3、在将几何问题向量化、将向量问题几何化的过程中存在困难、在将几何问题向量化、将向量问题几何化的过程中存在困难4 4、没有建系的意识、没有建系的意识 向量的地位向量的地位 向量既是几何研究对象，也是代

2、数研究对象，是沟通向量既是几何研究对象，也是代数研究对象，是沟通几何几何与代数与代数的桥梁；向量理论是描述直线、曲线、平面、曲面以及的桥梁；向量理论是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本高维空间数学问题的基本工具工具。复习回顾复习回顾 例题讲解例题讲解 变式训练变式训练 总结归纳总结归纳_610,3_2, 1, 260,2_,1的的值值为为，则则，满满足足）设设向向量量（则则，的的夹夹角角为为）已已知知向向量量（的的夹夹角角为为与与，则则满满足足）设设非非零零向向量量（bababababababababbababa23)(,cos33223)(22222222222222baa

3、baabaaabaabababaabaabaaabababababababa，ACBDabbaba复习回顾复习回顾 例题讲解例题讲解 变式训练变式训练 总结归纳总结归纳ACBDab2ba2_610,3_2, 1, 260,2_,1的的值值为为，则则，满满足足）设设向向量量（则则，的的夹夹角角为为）已已知知向向量量（的的夹夹角角为为与与，则则满满足足）设设非非零零向向量量（bababababababababbababa复习回顾复习回顾 例题讲解例题讲解 变式训练变式训练 总结归纳总结归纳144)2()1 ()2(62)1 (102222222babababababababa得得：ACBDab_6

4、10,3_2, 1, 260,2_,1的的值值为为，则则，满满足足）设设向向量量（则则，的的夹夹角角为为）已已知知向向量量（的的夹夹角角为为与与，则则满满足足）设设非非零零向向量量（bababababababababbababa复习回顾复习回顾 例题讲解例题讲解 变式训练变式训练 总结归纳总结归纳复习回顾复习回顾 例题讲解例题讲解 变式训练变式训练 总结归纳总结归纳平面向量基本定理平面向量基本定理在加法平行四边形法则的基础上，将待求向量（或题中在加法平行四边形法则的基础上，将待求向量（或题中涉及到的向量）分解成与基底分别共线的两个向量的和涉及到的向量）分解成与基底分别共线的两个向量的和平面向量

5、基本定理平面向量基本定理几何法几何法代数法代数法解决向量问题的基本方法解决向量问题的基本方法在加法平行四边形法则的基础上，将待求向量（或题中在加法平行四边形法则的基础上，将待求向量（或题中涉及到的向量）分解成与基底分别共线的两个向量的和涉及到的向量）分解成与基底分别共线的两个向量的和向量法向量法复习回顾复习回顾 例题讲解例题讲解 变式训练变式训练 总结归纳总结归纳_,的的值值为为，则则，满满足足）设设向向量量（babababa6103复习回顾复习回顾 例题讲解例题讲解 变式训练变式训练 总结归纳总结归纳1 1bababababababababababa42122122222222222)()(

6、)()()()()()(得得：22)()(41bababa极化恒等式极化恒等式 几何意义：向量的数量积表示以这组向量为邻边的平行四边形的几何意义：向量的数量积表示以这组向量为邻边的平行四边形的“和对和对角线角线”与与“差对角线差对角线”平方差的平方差的1/4. 1/4. 即：即：（平平行行四四边边形形模模式式）2241DBACADAB 思考：在上图的三角形思考：在上图的三角形ABDABD中（中（M M为为BDBD的中点），此恒等式如何表示？的中点），此恒等式如何表示？（三三角角形形模模式式）2241DBAMADAB复习回顾复习回顾 例题讲解例题讲解 变式训练变式训练 总结归纳总结归纳ACBDa

7、bM2241)()(bababa极化恒等式极化恒等式基本题型突破基本题型突破数量积运算数量积运算思路思路1 1：通过平面向量基本定理将两个向量用基向量表示通过平面向量基本定理将两个向量用基向量表示思路思路2 2：采用坐标法（坐标法实际是平面向量基本定理的特殊应采用坐标法（坐标法实际是平面向量基本定理的特殊应用）用）思路思路3 3：利用中线基本性质极化恒等式等工具进行（基底）向利用中线基本性质极化恒等式等工具进行（基底）向量转化量转化基底法坐标法复习回顾复习回顾 例题讲解例题讲解 变式训练变式训练 总结归纳总结归纳331232332323212012120210212301),(),(),(),

8、(),(),(),(),(),(BMAMyxyxCACBCMyxMCBA则则，得得由由，设设，：如如图图建建系系解解法法复习回顾复习回顾 例题讲解例题讲解 变式训练变式训练 总结归纳总结归纳_,.的的值值为为则则满满足足，点点的的边边长长为为若若等等边边例例BMAMCACBCMMABC211CBAxyCBA复习回顾复习回顾 例题讲解例题讲解 变式训练变式训练 总结归纳总结归纳_,.的的值值为为则则满满足足，点点的的边边长长为为若若等等边边例例BMAMCACBCMMABC211MEMEMBEMEABMEMBMABMAMEAB中中利利用用余余弦弦定定理理求求在在中中点点：取取解解法法4141222

9、2|. ._.的的取取值值范范围围是是上上的的一一个个动动点点，则则是是圆圆点点，于于圆圆的的等等边边三三角角形形，且且内内接接是是边边长长为为已已知知例例PBPAOPOABC22BACPDO2 ,32的的取取值值范范围围是是所所以以PBPAxysin3432sin3431sin341cos3422PBPA)sin33233,cos3321 ()sin33233,cos3321(PBPA则则复习回顾复习回顾 例题讲解例题讲解 变式训练变式训练 总结归纳总结归纳)sin,cos(),(),(3323323313311PBAO，设设动动点点易易得得平平面面直直角角坐坐标标系系，为为原原点点建建立立

10、如如图图所所示示的的：以以解解法法_.的的取取值值范范围围是是上上的的一一个个动动点点，则则是是圆圆点点，于于圆圆的的等等边边三三角角形形，且且内内接接是是边边长长为为已已知知例例PBPAOPOABC22BACPDO2 ,32的的取取值值范范围围是是所所以以PBPA141222PDABPDPBPA3maxPDCPOP处处时时，在在点点上上，所所以以当当在在圆圆因因为为333332minPDOCOP的的交交点点处处时时，的的延延长长线线与与圆圆在在当当复习回顾复习回顾 例题讲解例题讲解 变式训练变式训练 总结归纳总结归纳33232ODCDCDOABCOABCCDDAB，上上，在在的的重重心心，为

11、为三三角角形形所所以以为为正正三三角角形形，因因为为三三角角形形，连连结结的的中中点点：取取解解法法_)(.的的最最小小值值为为则则内内一一点点，为为平平面面的的等等边边三三角角形形，是是边边长长为为已已知知变变PCPBPAABCPABC21DBACxy)()()(232112yyxx)()(434341222yx复习回顾复习回顾 例题讲解例题讲解 变式训练变式训练 总结归纳总结归纳_)(.的的最最小小值值为为则则内内一一点点，为为平平面面的的等等边边三三角角形形，是是边边长长为为已已知知变变PCPBPAABCPABC21DBACPE复习回顾复习回顾 例题讲解例题讲解 变式训练变式训练 总结归

12、纳总结归纳复习回顾复习回顾 例题讲解例题讲解 变式训练变式训练 总结归纳总结归纳._|,|,.的的取取值值范范围围为为，则则若若上上，且且均均位位于于同同一一单单位位圆圆已已知知点点变变PCPBPAPCPBABBCBAOCBA322是是直直径径上上，因因此此均均位位于于圆圆又又点点BCOCBAAABABCBCABABCBCBABCBA,|cos|cos|902xBACOy复习回顾复习回顾 例题讲解例题讲解 变式训练变式训练 总结归纳总结归纳._|,|,.的的取取值值范范围围为为，则则若若上上，且且均均位位于于同同一一单单位位圆圆已已知知点点变变PCPBPAPCPBABBCBAOCBA322P4

13、311112222yxyxyxyxPCPByxP),(),(),(则则设设：如如图图建建系系解解法法)()()(|),(),(00202000006373333yyxxyyxxPCPBPAyyxxPCPBPAyxA则则设设AOPOPOAyyxxcos200复习回顾复习回顾 例题讲解例题讲解 变式训练变式训练 总结归纳总结归纳._|,|,.的的取取值值范范围围为为，则则若若上上，且且均均位位于于同同一一单单位位圆圆已已知知点点变变PCPBPAPCPBABBCBAOCBA322xBACOyP|3|-|POOAPOOPOAPOPAPCPBPA222：解解法法51237123反反向向时时，取取最最小小值值与与当当同同向向时时，取