2013高考数学全国卷1答案与解析

1、2021 年理科数学全国卷 I 答案与解析12 小题.每题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目考点：集合的运算解析：A=(-cc,0)U(2,+oc),AUB=R.答案：B2.假设复数z满足34iz|43i1那么z的虚部为44A.4B.5C,4D.5考点：复数的运算解析：由题知 zJ4+加加=加加+3“3+也=-i,故 z 的虚部为-.3-473-4/3+41555答案：D3 .为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取局部学生进行调查,事先已了解到该地区小学.初中,高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的

2、抽样方法中,最合理的抽样方法是A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C 按学段分层抽样 D.系统抽样考点：抽样的方法解析：因该地区小学.初中,高中三个学段学生的视力情况有较大差异,故最合理的抽样方法是按学段分层抽样.答案：C/yr行4 .双曲线 C：=l口0 力0的离心率为,那么 C 的渐近线方程为a-b-21y-xA一；-JB,1=*C.2D.考点：双曲线的性质要求的一项.A1.集合2_x|x2x0,Bx|5x一5.r1,那么()A.AAB=B.AUB=RC.B?AD.A?B、选择题共解析：由题知,=1,即=!=伫.生=1,.=L 的渐近线方程为尸工口 24Ja74a2,2答案：C5 .运行

3、如下程序框图,如果输入的那么输出 s 属于A.3,4B.5,2C.4,3D.2,5考点：程序框图解析：有题意知,当时,s=3/w-3,3,当FW1,3时,3=4/一产曰 3.4,输出 s 属于卜 3,4.答案：A6 .如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,那么球的体积为考点：等差数列5003cmA.38663cmB.313723cmC.3D.20483cm3考点：球的体积的求法解析：设球的半径为 R,那么由题知球被正方体上面截得圆的半径为4,球心到截面圆的距离为 R-2,那么f

4、lqJ北之三友一2+4解得 R=5,球的体积为-,315003cm3答案：A7.设等差数列an的前 n 项和为Sn,Sm12sm01smi3,那么mA.38.4C.5D.6y191D.183/12尸公差 d=%4j34i=-2+mm=5.答案：C8.某几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积为考点：三视图解析：由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2 长方体,故其体积为一开 x2,x444 乂 2 乂 2=16+8/T.2答案：A9.设m为正整数,+展开式的二项式系数的最大值为大值为力,假设13a7b,那么m解析：有题意知$=幽%2=0,?二&r(S-Si)=-2,AT-JA.

5、168B.88C1616D.816A.5B.6C.7D.8考点:二项式的展开式解析:由题知口“二,八 o也叫=73+1)!,解得切=6.mm答案:10.椭圆2E：:2a2b21(a0)的右焦点为F(3,O),过点F的直线交椭圆于A,B两点.假设AB的中点坐标为(1,1)E的方程为2_y_A.4536B.36272xC.272_y_182x2 高为 4,上边放一个长为 4 宽为 2 高为口,住十尸时展开式的二项式系数的最4/12考点：椭圆的概念与性质解析:设月 a,那么工+马=2,M+jq=2,)*LKa-b2J=18,椭圆方程为土+匕=L189答案：DC. S2n-1 为递增数列,S2n为递减

6、数列D. S2n-1 为递减数列, S2n为递增数列考点：Sn的求法11.函数f(x)-x2+2XTA,ax,ln(x+)tx0那么a的取值范围是A.(-00,0B3,l|C.2,1D,2,0考点：解不等式组,对数函数x-2x,x0ln(jc+1)axx-2,排除 A,B,x-2xax当1a=1 时,易证 In工+lc 工对工口恒成立,故口=1 不适合,排除 C.答案:12.设AnBnCn的三边长分别为an,bn,Cn,AnBnCn的面积为Snn1,2,3,1,假设biC1,b1,Cnan0anaon-cn1an,bn1.,cn1.c181,22,那么()A.S为递减数列B.Sn为递增数列/用

7、+招b2,-一,又人0+1I31312 2, ,=L,又9=c-=CF-b2,解得a22二 9,三十矿b-5/12解析：略答案：B6/12二.填空题：本大题共四小题,每题 5 分.13 .两个单位向量 a,b 的夹角为 60,c=ta+(1t)b,假设 bc=0,那么 t=.考点：向量的数量积解析：=；,-；=1-/=0,解得=2.答案：二二14 .假设数列q的前 n 项和为Si=crt+,那么数列4的通项公式是=_=.考点：等比数列一八21解析：当阳=1 时,|=工=+,解得 q=i,212|22当拧2时,口一邑一44十一(；4TI彳尸彳口“一彳%,即见=-24_1fcl/fc.ikAihJ

8、.u是首项为 1,公比为2 的等比数列,.=(-2V-.fl打答案：=:_15 .设当X时,函数f(x)sinx28sx取得最大值,那么COS考点：求三角函数的最值解析：/(x)=sin.r-2eosA=V5(-sinxcos.v)令 8 好=且,曲叱一独,那么/=cos.r)=75sin(x+,jr中,k 三时,/取最大值,此时0=2k4+-(p.kGz,八7K,2 出:第货,V=&OSC,Y伊=1=25JT275答案：=r：、L：.；二：一厂)=力广.：,=516 .假设函数/(工)=11一丁)住+於+6)的图像关于直线x2对称,那么/(力的最大值是考点：图像的性质当x+g=2kj

9、T+kE 二,即 x=2A：/r+,jb7/12解析：由/(口图像关于直线X=-2对称,那么0=/(-1)=/(-3)=1-(-3)2取-3尸-初+40=1)=/(-5)=1-(-5)力(-5-5.+川,解得口=8,=15,.=I-5；=_：；一.,；,一之二:,+7 一 2；=(：.Ji.-2-.1、：,当 xe(-8,_2_屈 U(_2,_2+后)时,/50,当 XC(-2-75,-2)u(2+后,+8)时,rV0,八目在(一 OO,2石)单调递增,在(2-亚,2)单调递减,在(2,2+JJ)单调递增,在(2+JM,+00)单调递减,故当 x=2和?=一 2+J5 时取极大值,/(-2-7

10、5)=%；=16.答案：16三.解做题：解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.17.(本小题总分值 12 分)如图,在ABC,/ABC=90,AB=/3,BC=1,P 为AB一点,/BPC=901(1)假设 PB=2,求 PA;(2)假设/APB=150,求 tan/PBA考点：余弦定理,正弦定理1r73+2xV3x00530=,PA=解析：(I)由得,/PBC=OPBA=30,在PBA 中,由余弦定理得=8/12424(n)设/PBA,由得,PB=in,在PBA 中,由正弦定理得,sinasin150L疝130口一次9/12化简得,75cos=4sin,tan=,tan=PBA=4418.

11、(本小题总分值 12 分)如图,三棱柱 ABC-ABiCi中,CA=CBAB=AA,/BAAi=60.(I)证实 ABAiC；(n)假设平面 ABC 平面 AAiBiB,AB=CB=2 求直线 AiC 与平面 BBiCiC 所成角的正弦值.解析：(I)取 A 冲点 E,连结 CE,4E,-AB=J4,/比 14=M,AR44 是正三角形,4ELAB,CA=CB.CELAB,.C4 月=E,.AB,面CEAt,.AB1；(n)由(I)知 ECAB,EAXLAB,又面 ABCL 面/RE/,面 AB6 面 44=AE5,.EC：Xm,EC14,.EA,EC,E4 两两相互垂直,以 E 为坐标原点,

12、EA的方向为工轴正方向,IE/|为单位长度,建立如下图空间直角坐标系 0-卞,有题设知 A(i,0,0),4(0,V3,0),C(0,0,/3),B(1,0,0),那么 8C=(i,0,J3),丹=44=(1,0,75),4.=(0,一行,.),9 分设灯=(工乂力是平面CBBC的法向量,N+石 N=0-_,可取=(,1,-1x+括尸=0)LLUIUIkHC=0mr,即?nBB-0考点：线与线垂直证实,线与面所成角的求法10/12ULMr-AXJ10Ml4cl5直线 AC 与平面 BBCC 所成角的正弦值为19.(本小题总分值 12 分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是：先从这批产品中任取

13、 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 no如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,假设都为优质品,那么这批产品通过检验；如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,假设为优质品,那么这批产品通过检验；其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位：元),求 X 的分布列及数学期望.考点：求事件发生的概率、期望解析：设第一次取出的 4 件产品中恰有

14、 3 件优质品为事件 A,第一次取出的 4 件产品中全为优质品为事件 B,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 C,第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 D,这批产品通过检验为事件 E,根据题意有E=(AB)U(CD),且 AB 与 CD 互斥,cccEI2】IIa】3P(E 尸 P(AB)+P(CD 尸 P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C 尸二+：:.=2222264(n)X 的可能取值为 400,500,800,并且P(X=400)=1-：(：)=匚,P(X=500)=工,P(X=800)=G(S=二 12221616224X 的分布列为X400500800pn16J1I+50

15、0X+800X-=506.2516420.(本小题总分值 12 分)圆 M:=1,圆 W:(工一以+1 二 9,动圆尸与 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 F 的轨迹为曲线 C.I求 C 的方程；1IL6EX=400X11/12n/是与圆尸,圆 M 都相切的一条直线,/与曲线 C 交于A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|.考点：椭圆的概念,直线与椭圆位置关系解析：由得圆材的圆心为M-1,0,半径 0=1,圆 H 的圆心为N1,0,半径匕=3.设动圆尸的圆心为尸H,y,半径为 R.I.圆产与圆,沙外切且与圆 N 内切,.|PM|+|PN|=R+G+m-R=4+r,=4,由椭圆的定义可

16、知,曲线 B 以 M,N 为左右焦点,场半轴长为 2,短半轴长为石的椭圆左顶点除外,Ij其方程为43n对于曲线 C 上任意一点 p戈,由于|PM|-|PN|=2H2W2,.RW2,当且仅当圆 P 的圆心为2,0时,R=2.当圆 P 的半径最长时,其方程为x-2=+./=4,当/的倾斜角为 90时,那么/与轴重合,可得|AB|=.当的倾斜角不为 90时,由W 初/不平行 H 轴,设,与 N 轴的交点为 Q,那么殴=4,可求得 a-4,1M40,设/：y=Ax+4,由于圆咖切得1p 川=1,解得*二土也.TiTF4r2v2当 A=*时,将歹=?工+近代入二+一二 1工工一 2并整理得 7./+&a

17、mp;x8=0,解得“,=44432-4+6拒/T,18,1AB尸、I+上|X-AI=-./jX当小二二时,由图形的对称性可知|AB|=,41综上,|AB|=或|AB|=2G.21 .本小题总分值共 12 分函数,g.=e%jc+d,假设曲线下二/,和曲线 F=都过点 P0,2,且在点 P 处有相同的切线 j=4x+2I求口,b,0,d的值；n假设*2 时,/工产也天,求仁的取值范围.考点：求函数的导数、解不等式12/12解析：(i)由得/(0)=2.g0=2,r(0)=4g(0)=4,而/*)=2M+力,g3=-3+d+e)Q=4b=2,c=2,d=2；4 分(n)由(i)知,设函数尸(：)

18、=羯(JT)一/(1)=2 加%JT+1)-x-4#一 2(K22),()=.：?Jr-=：一二Aii：有题设可得/(0)0,即#之 1,令/工=.得,阳=-hih 此=2,1假设 1 工 A,那么一 2V 苟 W0,当不-2,七时,尸工0,当工 E,+8时,尸.0,即/工在一 2,单调递减,在工+8单调递增,故尸工在x=x1 取最小值广芮,而,二 2 百+2-工：-4 马-2=曲+20, 当：T2 时,Fx0,即/XW 相.恒成立,2假设 A=/,贝 UF,幻=2/#+2/-/, 当/.2 时,产,./在2,+8单调递增,而尸-2=0, .当 2 时,/住0,即工w 屈口恒成立,假设左/,那

19、么 F-2=-2 如 2+2=-2r 二#一/v0,.当,2 时,fx?底工不可能恒成立,综上所述,A 的取值范围为1,/.22 .本小题总分值 10 分选修 41:几何证实选讲如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C在圆上,/ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 D.I证实：DB=DQn设圆的半径为 1,BC=,延长 CE 交 AB 于点 F,求BCF 外接圆的半径.考点：弦切定理,三角形的性质,三角形与外接圆的关系等解析：I连结 DE 交 BCf 点 G.由弦切角定理得,/ABF=ZBCE/ABE=/CBE,/CBE=/BCEBE=CE又 DBLBE,口提直径,/DCE=0,由勾股定理可得 DB=DC.13/12n由I知,/CDEWBDEBD=DC 故 D 提 BC 勺中垂线,BG=设 D 冲点为 O,连结 BQ 那么/BOG=0,/ABE=/BCE=ZCBE=.,.CHBF,RtABC 吊勺外接圆半彳 5 等于虫.223.本小题 10 分选修 44:坐标系与参数方程曲线