2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国Ⅱ卷)

1、2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国II卷）注意事项:1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，务必%各答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.A43.A一次、34.D-5+5*yeZ，则A中元素的个数为A2 .已知集合人=（们y）,+）*3,xeZ,3 .函数f（x）=的图像大致为B-VDA4已知向量。3满足Bl=l,ab=_1,贝.（&一。）=5 双曲线书弘*。）的离心率为打，则其渐嬷方程为（ABy=

2、/3xr.72Cy=a-匕D书D2/56 在A48C中，cos=3,BC=tAC=5，贝AB=A25A.4/27.为计算s=T+!Y+.+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入BD/=z+48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是【C】9在长方体A8CQ-A鸟G0中，AB=BC=1.曲2,则异面直线与应伸斤成角的余弦值为CA1A.510若/(x)=cosA-sinx在|f“是减函数，则。的最大值是A71a.彳3瓦c-T11.已知

3、尸。)是定义域为g+8)的奇函数,满足/(l-x)=/(l+x).若六1)=2，则/(1)+/(2)+/+/(50)=CA.-507 F12.已知K，人是椭圆C：m+，=l(A0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点尹在过A且斜率为笠的直线上，必；为等腰三角形，”；=120。，则C的6离心率为D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线)，=21n(x+l)在点(0,0)处的切线方程为.x+2y-50,14.若x，V满足约束条件x-2y+30,贝ljz=x+y的最大值为9x-515 .已矢口siiia+cosy9=l,cosa+sin/?=0,贝ljsin(a+)=16 .已知圆锥

4、的顶点为S,母线SA,S8所成角的余弦值为;，SA与圆锥底面所成角为45。,若的面积为5序,则该圆锥的侧面积为40国兀.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分。17. (12分)记，为等差数列着的前项和，已知6=-7,5-15(1)求0的通项公式;(2)求S并求死的最小值.解：（1）设%的公差为d,由题意得3+3=-15.由=-7得小=2.所以外的通项公式为劣=2-9.（2）由（1）得&=/_凯=（一4尸-16.所以当=4时，S“取得最小值，最小值为-16.18.

5、 （12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额）（单位：亿元）的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量，的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量/的值依次为1，2，17）建立模型：=-30.4+13.5/;根据2010年至2016年的数据（时间变量，的值依次为1，2,“，7）建立模型：y=99+17.5/.（1）分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.解：（1）利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=-30.4+13.5x

6、19=226.1（亿元）.利用模型，该地区2018年的环境象出设施投资额的预测值为顶=99+17.5x9=256.5（亿元）.（2）利用模型到的预测值更可靠.理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5rT.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型，=

7、99+175可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠.（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19. （12分）设抛物线GV=4x的焦点为，过F且斜率为化化0）的直线/与C交于A,B两点，1恤1=8.（1）求/的方程;(2)求过点A,3且与C的准线相切的圆的方程.解:(1)由题意得F(1,O),/的方程为)，=#1)(SO).设A(x,

8、ylB(x2.y2),由py1),得2一(2妃+4口+亍=0.顷=4x一?k2+4=16妃+160，故玉+易=失二.k4-4所以AB=AFBF1=(%,+l)+(x2+1)=.kAL2+4由题设知一=8，解得#=一1(舍去)，k=k-因此/的方程为y=x-l.(2)由(1)得础的中点坐标为(3,2),所以如的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即)，=一工+5.设所求圆的圆心业标为(如光)，则=-吒+5,3,|=11,(玉=虻严*.解得=2或L-6.因此所求圆的方程为3-3)2+(y-2)2=16或(x-11)?+(),+务=144.20. (12分)如图，在三棱锥尸一*中，AB=BC=2,

9、PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点(1)证明：POL平面ABC；(2)若点M在棱8C上，且二面角PA-C为30,求与平面曲所成角的正弦值解:(1)因AP=CP=AC=4,。为AC的中点，所以OP1AC，且OP=2后.连结破.因为AB=BC=#AC，所以ABC为等腰直角三角形，且OH_LAC,OB=-AC=2.2由OP2+OB2=PB2知PO_LQg.由OPA.OB,OPLAC知PO_L平面ABC.(2)如图，以。为坐标原点，OB的方向为*轴正方向.建立空间直角坐标系由已知得0(0,0,0),8(2,0,0),A(0-290),C(0,2,0),P(0,0,2国AP=(0,2,2用),取

10、平面PAC的法向量08=(2,0,0)设M(2-0)(0tz/3)，所以cos(p2)=手.所以PC与平面哑所成角的正弦值为卓.421 .(12分)已知函数f(x)=e-ax 若/(2)0.即ov%./?(x)在(0,2)没有零点；.(1)若=1,证明：当x20时，/(a)1;(2)若/Xx)在(O.+oo)只有一个零点，求0.解：当。=1时,/(x)21等价于(+时-10设函U(x)=(x2+l)e-v-l，则？(x)=-(亍-2工+贝-=-(Al)%-.当El时，g(x)vO，所以g(x)在(0,+s)单调递减.而8(。)=。，故当xZO时，v)l.(2)设函数/心)=1一技e-x.fM在

11、(，2)只有一个零点当且仅当(X)在(。，2)只有一个零点.(i) 当。0时，h(x)0,方(对没有零点;(ii) 当0时，伯)=心(工-2)。-、.当xe(0,2)时，h(x)0.所以衍x)在(。，2)单调递减，在(2,+s)单调递增.4“故力(2)=1-=是/(X)在0,+oo)的最小值.e 部（2）=。皿=/也）在（。，8只有f零点; 若/7（2）vO,即。三，由于方（0）=1，所以人在（0,2）有一个零点,由（1）知，当工0时，evx2,所以1t=10.(e2fl)2(2)4。故力在（2,物）有一个零点，因此*3）在（0,g）有两个零点.综上，/在（0，用）只有一个零点时，=.4（-）

12、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22 .选修4-4:坐标系与参数方程（10分）.1=2cos8在直角坐标系xQv中，曲线c的参数方程为HinJ（。为参数），直线/的参数方程为x=l+rcosay=2+rsina（1）求C和/的直角坐标方程;（2）若曲线C截直线/所得线段的中点坐标为（1,2）,求/的斜率.2?厂三+匕=1解：（1）曲线C的直角坐标方程为416.当cos。0时，/的直角坐标方程为=tanox+2-tana,当COSQ=。时，/的直角坐标方程为X=1（2）将/的参数方程代入c的直角坐标方程，整理得关于，的方程(l+3cos2a)r+4(2coscr+sinz)r-8=0.因为曲线c截直线/所得线段的中点（1,2）在C内，所以有两个解，设为4,G,又由净LW辨2，故2海。+蛔=。，于线/的斜率23 .选修4-5：不等式选讲（10分）设函数f(x)=