第十四章《三角形》单元教学研究

1、第十四章三角形单元教学研究吕雪松一、本单元教学总目标：1.知道三角形的有关概念及其三角形的分类，初步体会分类思想；2.掌握三角形的任意两边之和大于第三边的性质，会画三角形的高、中线、角平分线；3.掌握三角形内角和的性质；4.掌握全等三角形的概念和性质；掌握全等三角形的判定方法，5.掌握等腰三角形、等边三角形的性质和判定6.参与知识形成和运用所学知识解决问题的活动中，增强推理意识，丰富几何语言，体会几何演绎思想和逻辑推理方法，了解逻辑推理的叙述方式和表达要求二、本单元知识结构框架：邻补角对顶角垂直对的基本性质斜角相交直线 点到直线的距离垂直线段的垂直平分线两条直线被第三条直线所截同位角、内错角、

2、同旁内角同一平面内的两条不同直线平行线的基本性质判定方法与性质平行直线平行线的距离三、本单元教学重点：1.明确三角形的概念和符号表示，让学生掌握三角形三边之间的关系，会画这些基本线段。2.引导学生复习和巩固全等三角形的性质和判定方法，通过综合要求的说理，培养逻辑思维能力，体验推理表达的过程。3.引导学生利用推导等腰三角形性质的经验，探索等腰三角形的判定方法并加以证实，初步掌握等腰三角形的判定方法的运用四、本单元教学难点：1.教学中不能忽视运用线段基本性质进行说理。2.让学生通过说理初步体会直观感与理性思考的联系与区别。3.要让学生明确：判定三角形全等三角形全等时的说理，必须依据哪两个三角形，列

3、出所具备的条件及其依据，作出两个三角形全等的判断并说明所依据的判定的方法。4.体会“数学概念、数学规律有很多是相通的，联系的观点看问题，把所学知识融会贯通五、突破难点的方法：学生的学习是对知识主动建构的过程，同时学生要主动构建对外部信息的解释交流，所以在教学中注重营造学生自主参与、师生互动合作、探究创新为主线的教学模式，从学生已有的知识结构入手，逐渐发现和提出新问题，在解决问题的过程中学会思考，在探究中掌握知识。在教学中还要注重引导学生进行反思，在探究问题的过程中引导学生思考运用了哪些数学思想。1. 展现概念的形成过程。比如引入三角形的内角和时，要让学生通过一些具体的问题展开讨论，体会三角形内

4、角和的意义，以及引申到外角的性质和外交和，再进行归纳和慨括。2. 组织学生开展探索与交流。要重视问题的提出和活动的开展，提供条件让学生进行探索和交流。3. 注意类比方法的运用。从性质到判定，可通过类比分析，引导学生把握两者的关系。4.要帮助学生从本质上理解所学知识，并提高解决问题的能力，真正使教学过程起到“授之以渔”的作用。 5.重视学生逻辑思维的发展。重视文字语言、符号语言、图形语言的相互转化；关注学生对逻辑推理叙述方式的感知。六、本单元课时安排：第 14 页 共 14 页 14.1 三角形的有关概念 14.2三角形的内角和 14.3全等三角形的概念与性质 14.4全等三角形的判定

5、14.5 等腰三角形的性质 14.6等腰三角形的判定14.7等边三角形 2课时 3课时 2课时 6课时 1课时 2课时 1课时本章小结 3课时七、知识点学习要求：学习内容能力要求典型例题备注14.1 三角形的有关概念通过观察和比较三角形的边角特征，理解三角形的分类，初步体会分类思想理解运用例1如图直角三角形ABC可以表示为RtABC 指出图中RtABC的直角边和斜边.教师设问：三角形除了用角分类外是否还有其它分类方式？在研究三角形的分类的过程中，让学生通过观察，思考，讨论自主的探索并掌握，教师在学习过程发挥的是组织作用、引导作用，培养学生主动学习和探索的习惯.14.2三角形的内角和 1、理解和

6、掌握三角形的内角和性质；2、通过经历操作、归纳、猜测、说理证实的数学研究过程，初步体验感受数学探索、发现的科学历程；3、体会直观感知与理性思考的联系和区别，懂得直观结论需要说理证实的意义.理解掌握运用例1在ABC中，已知B=35°，C=55°，求A的度数，并判断ABC的类型.例2、在ABC中，已知A：B：C=1：2：3，求A、B、C的度数.最后引导学生对学习过程进行总结和反思，让学生更好地感受学习过程，进一步提高探索问题，解决问题的能力.14.3全等三角形的概念与性质 1、知道全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；

7、能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边；2、通过感受全等三角形的对应美激发热爱科学、勇于探索的热情，通过自主学习、合作讨论增强独立思考与团队合作的意识.理解运用例1 已知ABCDEF，A = 60°，B = 70°，AB= 2cm求DE、D、F的值 .主要加强学生的识图能力，同时，找准全等三角形的对应边、对应角，是以后学好几何的关键.14.4全等三角形的判定1、熟练掌握“边角边”判定的内容，并能应用边角边判定说明两个三角形全等,通过观察几何图形，增强识图能力；2、通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，初步形成勇于创新的精神.理解运用例1 BD、A C交于O，如果OA

8、= OD，OB = OC那么AOB与DOC全等吗？BCAEFD例2 如图，已知AF = CE，ADBC，AD = CB，那么AFD与CEB全等吗？例题的讲解方法是采用让学生先思考，各抒己见，教师引导，最后一起完成规范的书写的形式，这样为学生创造了较为广阔的思考空间，有利于学生数学思维能力的训练，而师生共同完成书写，则进一步体现了数学的严谨性，规范性.ABCDEF14.5等腰三角形的性质1、正确理解等腰三角形的有关概念;2、经历观察、实验、操作等活动，发现、归纳等腰三角形“等边对等角”、“等腰三角形三线合一”的重要性质;3、会用演绎法对等腰三角形的性质进行说理;4、会运用等腰三角形的性质，提高计

9、算和推理能力.理解运用掌握例1：已知在ABC中，AB=AC，B=70º，求C和A的度数.例2：等腰三角形一个角是70º，求其余的两个角.已知角是70º，可以是顶角，也可以是底角，所以需要分两种情况进行讨论：当已知角70º为顶角时，这时需求出两个底角.当已知角是底角时，这时需求出一个顶角和另一个底角.14.6等腰三角形的判定1经历实验操作的探索活动，发现并归纳：等角对等边；2经历对等腰三角形判定方法的形式化说理过程，体会直观感知与理性思考的联系，“实验归纳猜想论证”的数学研究方法；3通过题组练习及对“三线合一”逆命题的质疑，掌握“等角对等边”，并能规范表达

10、相关的几何说理，进一步体会“逆向思维”的方法.理解运用掌握例1：指出各图中有哪几个等腰三角形，为什么？在ABC中，已知A=36°，ABC=72°，BE平分ABC.（l）如图4，若CD平分ACB.（2）如图5，若BD=BC.（3）如图6，若DE平分BDC，EF平分DEC.以上三小题根据教学实际情况选用或改用，在一题多变的题组练习中，帮助学生逐渐熟悉“等角对等边”，并渗透分类讨论思想.14.7等边三角形1、理解等边三角形是特殊的等腰三角形，是轴对称性图形；2、掌握等边三角形的性质，能够较熟练地利用“等边对等角”及有关特征解相关问题；3、经历等边三角形判定方法的讨论、发现、归纳、

11、说理过程，初步感悟分类讨论的思想.理解运用掌握例1、如图，在等边三角形ABC的边BC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE.联结AD,BE，试说明BE=AD.本节课内容较多，重点较分散，教学中要注意把握好教学进度；相对于等腰三角形，本节课主要是让学生初步感受等边三角形的性质与判定，还要注意把握好教学的深度.2、学生已具备初步推理的能力，因此在教学例题时采用学生“说”，教师“写”的过程，教师可随时发现并及时纠正学生说理过程中出现的问题.（一）14.1 三角形的有关概念知识点：通过观察和比较三角形的边角特征，理解三角形的分类，初步体会分类思想典型例题：例1如图直角三角形ABC可以表示为Rt

12、ABC 指出图中RtABC的直角边和斜边.教师设问：三角形除了用角分类外是否还有其它分类方式？（二）14.2三角形的内角和-3课时知识点：1、理解和掌握三角形的内角和性质；2、通过经历操作、归纳、猜测、说理证实的数学研究过程，初步体验感受数学探索、发现的科学历程；3、体会直观感知与理性思考的联系和区别，懂得直观结论需要说理证实的意义.4、知道三角形的外角及外角的含义；5、理解和掌握三角形的外角的性质；知道三角形外角和；典型例题：例1在ABC中，已知B=35°，C=55°，求A的度数，并判断ABC的类型.例2、在ABC中，已知A：B：C=1：2：3，求A、B、C的度数.例3

13、已知三角形ABC中，A=30°，C=50°，求分别与B、C相邻的一个外角的度数.补充例题：例1、在ABC中，已知角平分线BD、CE相交于点F，如果A=35°，求DEF的度数例2、如图，已知BAC=70°，D是ABC的边BC上的一点，且CAD=C，ADB=80°，求:C的度数，B的度数. （三） 14.3全等三角形的概念与性质-2课时 知识点：1、知道全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边；2、通过感受全等三角形的对应美激发热爱科学、勇于探索的热情

14、，通过自主学习、合作讨论增强独立思考与团队合作的意识.BCAEFD典型例题：例1 已知ABCDEF，A = 60°，B = 70°，AB= 2cm求DE、D、F的值 .例2、画ABC,使BC=2cm，ABC=60°,ACB=70°.例3、画ABC，使AB=3cm，AC=2cm，A=60°.例4、画ABC，使AB=4cm,BC=2cm,AC=3cm.补充例题：例1. 问题：指出下列各组全等三角形中的对应角、对应边BCAFDEBCEFADFBDEACEBFBADC例2、画ABC，使AB=3cm,BC=5cm,A=40°（四）14.4全等三

15、角形的判定6课时知识点：1、熟练掌握“边角边”判定的内容，并能应用边角边判定说明两个三角形全等,通过观察几何图形，增强识图能力；BCAEFD2、通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，初步形成勇于创新的精神.典型例题：例1 BD、A C交于O，如果OA = OD，OB = OC那么AOB与DOC全等吗？ABCDEF例2 如图，已知AF = CE，ADBC，AD = CB，那么AFD与CEB全等吗？例3 已知BAC=DAC，BCA=DCA，那么ABC与ADC全等吗？例4已知，M是AB的中点，1=2，C=D，问MC=MD吗？说明理由.例5 已知AB = CD，AD = CB，那么ABD与CDB全

16、等吗？例6 已知，AE = DF，BF = CE，AB = DC，问ABDC吗？说明理由.补充例题：例1、要测量河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CDBC，再作BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，那么这样测量方法是否正确？例2已知BAC =DAE，1=2，BD=CE，问ABDACE.吗？为什么？例3 已知EDAB，EFBC，BD=EF，问BM=ME吗？说明理由.例4 已知点B是线段AC的中点，BD = BE，1 =2.说明ADB CEB例5 已知AC与BD相交于点O，且O是BD的中点，ABCD.说明AOB COD例6已知：在

17、DABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于H，且BH=AC，说明DH = DC.（提示：先说明BDH ADC）（五）14.5 等腰三角形的性质1课时知识点：1、正确理解等腰三角形的有关概念;2、经历观察、实验、操作等活动，发现、归纳等腰三角形“等边对等角”、“等腰三角形三线合一”的重要性质;3、会用演绎法对等腰三角形的性质进行说理;4、会运用等腰三角形的性质，提高计算和推理能力.典型例题：例1：已知在ABC中，AB=AC，B=70º，求C和A的度数.例2：等腰三角形一个角是70º，求其余的两个角.补充例题：例1：已知，ABAC，BAC=110º，AD

18、平分BAC.1 1、2的度数； 2 BD与CD相等吗？为什么？AD垂直与BC吗？为什么？3（六）14.6等腰三角形的判定-2课时知识点：经历实验操作的探索活动，发现并归纳：等角对等边；2经历对等腰三角形判定方法的形式化说理过程，体会直观感知与理性思考的联系，“实验归纳猜想论证”的数学研究方法；3通过题组练习及对“三线合一”逆命题的质疑，掌握“等角对等边”，并能规范表达相关的几何说理，进一步体会“逆向思维”的方法.典型例题例1指出各图中有哪几个等腰三角形，为什么？在ABC中，已知A=36°，ABC=72°，BE平分ABC.（l）如图4，若CD平分ACB.（2）如图5，若BD=

19、BC.（3）如图6，若DE平分BDC，EF平分DEC.例2：根据以下各图及已知条件，分别指出图形中的等腰三角形，并说明理由. （l）如图7，OC平分AOB，CDOB. （2）如图8，OC平分AOB，OCBD. （3）如图9，AD平分BAC，CEAD.（4）如图10，AD平分BAC，GEAD.例3：根据教学实际情况，可酌情进一步训练（选用）（l）如图11，已知BD平分ABC，CD平分ACB，EFBC说明EF=BE+CF；（2）如图12，已知BD平分ABC，CD平分ACB，DEAB ，DFAC 说明DEF的周长为BC；（3）如图13，已知BD平分ABC，CD平分ABC的一个外角，DEBC ，说明E

20、F=BECF；（4）如图14，已知AB平分DAE，AC平分DAF，BCEF说明AD=BC.补充例题例1：如图15，根据以下条件，能否判断ABC是等腰三角形？并说明理由.（l）已知BAD=DAC，ADBC，（2）已知BD=DC，ADBC， （3）已知BAD=DAC ，BD=DC，例2：已知，如图16，线段a、h，求作ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h例3：如图17，已知点E是BC的中点，点A在DE上，且BAE=CDE求证：AB=CD . （七）14.7等边三角形1课时知识点1、理解等边三角形是特殊的等腰三角形，是轴对称性图形；2、掌握等边三角形的性质，能够较熟练地利用“等边对等角”及有

21、关特征解决相关问题；3、经历等边三角形判定方法的讨论、发现、归纳、说理过程，初步体会从问题的“逆”去思考的方法，感悟分类讨论的思想.典型例题例1如图，在等边三角形ABC的边BC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE.联结AD,BE，试说明BE=AD.补充例题例2.已知ABC中，AB=AC, A+B=120°,那么A=；ABC是三角形；例3.等腰三角形的一个角是60°，其中一边的长为a，这个三角形的周长为；八、拓展题或补充材料1如图，已知：AB / CD，A=58°，那么BCD=_度2已知等腰三角形的底角为65°，那么这个等腰三角形的顶角等于_度A

22、BCD（第12题图）3如图，在ABC中，BAC=80°，C = 45°，AD是ABC的角平分线，那么ADB=_度4在直角坐标平面内，将点向下平移4个单位后，所得的点的坐标是_5在ABC中，AB AC，要使ABC是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是_(只需写出一种情况)6在等腰三角形ABC中，AB = 6cm，BC = 10cm，那么AC=_cm7下列长度的三根木棒，不能构成三角形框架的是（ ）（A）5cm、7cm、10cm； （B）5cm、7cm、13cm；（C）7cm、10cm、13cm； （D）5cm、10cm、13cm8下列语句中，错误的语句是（ ）（A）有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等； （B）有两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等； （C）有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（D）有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等9如图，在ABC中，已知AB = AC，ABC的平分线BE交AC于点E，DEBC，点D在AB上，那么图中等腰三角形的个数是（ ）（A）2； （B）3； （C）4； （D）5 AB（第10题图）EDC10在ABC中，已知ABC = 235，求A、B、C的度数