第十七章多元函数微分学习题课

1、 第十七章 多元函数微分学习题课一 疑难问题与注意事项1.在可微的等价定义：1），；2）；3）2.求在处的偏导数方法小结：答 1）利用定义求（主要适用于分段函数的分段点处的偏导数）：，.2）转化为一元函数的导数：，.例如，求.解 .3）先求偏导函数，在代值，即，.3.求（初等函数不含分段点）的偏导函数方法小结：答 1）求，把当常数，对求导，求，把当常数，对求导.2）运用轮换性，若在中，把换成， 换成，不变，则称关于和具有轮换性.若已经求出，只要在把换成， 换成，就得到.3）类似一元函数的求导法则：；.4）利用微分的形式不变性和微分四则运算法则先求出全微分，然后得到偏导数.微分的形式不变性:设有

2、连续偏导数，无论是中间变量还是自变量都有，这个结论对于一元函数，三元等其它的多元函数也成立微分四则运算法则：设以下所设函数都可微.5）利用复合函数求导的链式法则.（1）设函数，在点处可导，函数在对应点处可微，则复合函数在点处可导，并且有 函数结构图是 v 从函数结构图中可以看到：一方面，从引出两个箭头指向中间变量、，表示是、的函数，同理和都是的函数；另一方面，由出发通过中间变量到达的链有两条，这表示对的导数是两项之和，而每条链由两个箭头组成，表示每项由两个导数相乘而得，例如 表示， 表示，因此注意这里和都是的一元函数，对的导数用记号，表示，是，的二元函数，其对应的导数是偏导数，用记号，表示，函

3、数经过复合之后，最终是的一元函数，故对的导数用记号表示，称为全导数，公式（1）称为全导数公式（2）若，在点处都存在偏导数，在对应点处可微，则复合函数在点处存在偏导数，且有 ， 函数结构图为 我们可以借助函数结构图，直接写出公式（3）和（4），例如到的链有两条，即为两项之和， 表示， 表示，因此（3）设函数在点处可导，在点处存在偏导数，而在对应点处可微，则复合函数在点处存在偏导数，且有 ， 函数结构图为 （4）设具有连续偏导数，而具有偏导数，则复合函数在点处存在偏导数，且有 ， 函数结构图为 注：为了避免混淆，公式右端的换成了，要注意和是不同的，是把中的及看成不变而对求偏导数，是把复合函数中的看

4、成不变而对求偏导数注 复合函数求偏导数过程中必须搞清楚几点：1）搞清楚函数的复合关系自变量是哪几个？中间变量是哪几个？正确的设置中间变量可以使函数的复合结构更加清晰，也可以画出函数的复合关系图，更加直观地表示复合关系求复合函数的偏导数时可根据复合关系图运用“连线相乘，分线相加”的方法写出相应的公式，避免漏项也就是在关系图中函数到达自变量的路线有几条，偏导数就由几项相加而成，而每一项有由一条路线中各连线的偏导数相乘得到2）要注意若是偏导数用表示，若是一元函数的导数用表示3）求复合函数的高阶偏导数，是按指定的顺序先求一阶偏导数再求二阶偏导数但是要注意一阶偏导数仍然是以原自变量为自变量，以原中间变量

5、为中间变量的复合函数4）利用某个变换，将一个含有等的微分式子（或方程）变换成含有等的微分式子（或方程）一般只需根据变换，将新变量视为中间变量，原自变量仍为自变量，代入原式计算、整理、化简即可4.如何证在可微？答：1）利用可微性定义，（尤其适用于证分段点的可微性）（1）先求偏导数，；（2）求，若极限为，则在可微，否则在不可微2）证在的偏导数连续（适用于初等函数不含分段点）5.如何求函数的全微分?答：1）先求偏导数，再求全微分；2）利用微分的形式不变性和微分四则运算法则来做6.函数连续，偏导数存在，可微有什么关系？答：函数连续，偏导数存在，可微的关系可用下图表示： 偏导数存在偏导数连续 可微连续

6、反例1）证明在点处可微，但在点处偏导数不连续证 ，由于函数关于自变量是对称的，则于是所以函数在点处可微当时，由有，当点沿轴趋于时，由于，不存在，所以不存在，即在点处不连续，同理在点处也不连续 反例2 函数在点处偏导数存在，但不可微证 点是函数的分界点，类似于一元函数，分段函数分界点处的偏导数要用定义去求，又由于函数关于自变量，是对称的，故因为在点处有，所以如果考虑点按照的方式趋向于点，这时有，即不存在，则由可微性定义有在点处不可微反例3 函数在点处偏导数存在且在点处连续，但不可微证 点是函数的分界点，类似于一元函数，分段函数分界点处的偏导数要用定义去求，又由于函数关于自变量，是对称的，故即在点

7、处连续因为在点处有，所以如果考虑点按照的方式趋向于点，这时有，因极限值与有关，因此不存在，则由可微性定义有在点处不可微反例4 二元函数在点处的偏导数存在，但不连续因而不可微证 当点沿着直线趋于时，有其值因而异，这与极限定义中当以任何方式趋于时，函数都无限接近于同一个常数的要求相违背，因此当时，的极限不存在则在点处不连续 注 当函数不连续，则不可微 反例5 函数在点处连续，但偏导数不存在证 因为是多元初等函数，它的定义域是一个区域，而，因此在点处连续但不存在由函数关于自变量的对称性知，也不存在 注 当偏导数不存在，显然不可微7证明在不可微的方法：答 1）当偏导数有一个不存在，则函数不可微；2）当

8、函数不连续，则不可微；3）不存在，或存在不为81）可微与方向导数有什么关系？ 2）连续与方向导数有什么关系？3）偏导数与方向导数有什么关系？答 1）可微是方向导数存在的充分条件不是必要条件；反例 二元函数在点处的两个偏导数不存在，当然不可微，但函数在点处沿任意射线的方向导数都存在.设在点处沿任意射线的方向余弦是，在射线上任取一点，其中是点到原点的距离.根据方向导数的定义，有 ，即在点处沿任意射线的方向导数都是. 2）连续不是方向导数存在的充分条件也不是必要条件.反例 设这个函数在原点不连续（当然也不可微），但在任何始于原点的任何射线上，都存在包含原点的充分小的一段，在这一段上的函数值恒为零.于

9、是由方向导数定义，在原点处沿任何方向都有.反例 在点处连续，但函数在此点沿任何方向的方向导数不存在.证 设在点处沿任意射线的方向余弦是，在射线上任取一点，其中是点到原点的距离.根据方向导数的定义，有 不存在.3）当函数在点沿任何方向的方向导数存在时，在点的偏导数，不一定存在.例如二元函数在点处的两个偏导数不存在，当然不可微，但函数在点处沿任意射线的方向导数都存在.当函数在点的偏导数，存在时，则函数在点处沿着轴正向，轴正向的方向导数都存在，且其值依次为，函数在点处沿着轴负向，轴负向的方向导数也都存在，且其值依次为，但函数在此点沿任何方向（除去轴，轴）的方向导数不一定存在.反例有，但函数在此点沿任

10、何方向（除去轴，轴）的方向导数不存在.反例有，但函数在此点沿任何方向（除去轴，轴）的方向导数不存在.9.混合偏导数，一定相等吗？答 不一定，反例函数 它的一阶偏导数为（对分段点用偏导数定义，对其它点直接求偏导，对求偏导，把看作常数 ， 进而求在处关于和的两个不同顺序的混合偏导数，得 由此看到，这里的在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关.注：若都在点连续，则.10.若在点处满足，则点为的极值点对吗？反之，若为的极值点，则必有，对吗？答：不对，偏导数存在的函数的极值点必定是稳定点，但反过来，稳定点未必是极值点如函数，显然有，即点为稳定点，但点却不是极值点函数在在点处的偏导数不存在，即点不是稳

11、定点，但该函数在点处有极小值二 典型例题 1.求下列函数在某一点的偏导数：1），求；2），求；3），求， 解 1）2）先求偏导函数，因此3），或用轮换性注 在点不连续，不可微因为沿轴，有，沿直线，有，即函数在点不存在极限，从而不连续，于是在点也不可微2.求偏导数1）设，求，；2）设，求，；3）设，求，；4）设，求；5）设函数，其中可微，求；6）设，其中具有连续偏导数，求解 1)（把看作常数，对求导）由轮换性，2）利用，3）利用，利用轮换性有4）函数的结构图为 于是 5）令，则，其函数的结构图为 于是6）引进中间变量，函数可看作如下的复合函数而由函数结构图 可得，为了避免引进中间变量的麻烦，通常

12、用记号表示对第一个中间变量的偏导数，即，而用表示对第二个中间变量的偏导数，即，同样引用记号,等等，引用这些记号，直接对未引进中间变量的函数求偏导数，就有,3.设，其中具有二阶连续偏导数，求， 解 令，则，于是，再求二阶偏导数时注意到及仍是，的函数，而，是，的函数，且函数结构图为 应用多元复合函数的求导法则得这里因为具有二阶连续偏导数，故有，因此可以合并为方便起见，有时用自然数1，2的顺序分别表示函数中的两个中间变量，这样，和分别用，和来表示，则有， 4.已知，其中对各变量具有一阶、二阶偏导数，求解 注 试讨论下面做法是否正确 （1） 上面把看成仅仅是的函数，显然是错误的，因为是，求二阶偏导数时

13、应该再用复合函数求导法则 （2） 上式是错误的因为只有在二阶混合偏导数连续的条件下，才可以交换次序 5.设，其中具有二阶连续偏导数，具有二阶连续导数，求解 ，由具有二阶连续偏导数，则，则6.已知，利用变换化简原方程解 即把看作中间变量，是的函数，故 代入所给方程，得7设函数，1）求，求，2）3）求在的切平面与法线解 1）法1：根据，得，因此，法2：，2），3）切平面，法线8设，利用全微分形式的不变性，求，解 由全微分形式的不变性，有，又因为，所以从而，9.证明：若二元函数在点的某邻域的偏导数与有界，则在连续证 因为又因为与有界，因此，因此在连续10设二元函数在区域上连续，若在内有，则在上有何特性解 因为又因为在内有，则有，即在上为常值函数 11求函数在点处的梯度及沿方向的方向导数 解 因为，于是，所以又因为的单位向量为，所以 12求函数在点处沿着从点到点的方向的方向导数解 这里方向即向量的方向，因此的方向余弦为，又因为，于是，所以 13求函数的极值解 先解方程组求得驻点为