第一章_三角形的初步认识-讲义()

1、航舟教育教师辅导讲义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：七年级 学科教师：授课日期及时段 课 题三 角 形 的 初 步 认 识 重点、难点、考点1、 三角形的三边和三个角的关系，角平分线、中线、高的应用2、 三角形的全等和证明三角形全等学习目标1、 知道并学会应用三角形三边和三角的关系，角平分线、中线、高2、 学会并熟练应用三角形的全等和证明三角形全等教学内容第一章 三角形的初步认识1.1认识三角形由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。“三角形” 用符号“”表示，顶点是ABC的三角形记做“ABC”读作“三角形ABC”。 由两点之间线段最短，可以得到如下性质：三角形任何两

2、边的和大于第三边。三角形三个内角的和等于180°。 三角形按角进行分类：（注意要着重搞清各类三角形的特征。）锐角三角形三个角都是锐角。 三角形 直角三角形有一个角是直角。（记作RtABC）钝角三角形有一个角是钝角。 由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角。 三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和。 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。1.2三角形的平分线和中线在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的三角形的平分线。在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。1.3三角形的高从三

3、角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。经典例题：A1、如下左图，在ABC中，C=30°，若沿图中虚线剪去C，则1+2等于 .CBPDE 2、如上中图，在锐角ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE相交于一点P，若A=50°，则BPC= 。3、在中，如上右图，平分，平分，与交于点， 若，则ABCED第20

4、题4、如下左图16，已知1=42°，2=30°，3=38°，则4=_。5、如上右图，ABC中，AB=AC=13cm，AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,若EBC的周长为21cm, 则BC= cm.6、如右图，用火柴摆上系列图案，按这种方式摆下去，当每边摆10根时(即n=10)时，需要的火柴棒总数为( )根 A、165 B、65 C、110 D、55AD7、如图，矩形ABCD中(AD>AB)，M为CD上一点，若沿着AM折叠，M点N恰落在BC上，则ANB+MNC=_； BNC8、请你找一个长方形的纸片，按以下步骤进行动手操作：步骤一：在CD上取一点P，将角D

5、和角C向上翻折，这样将形成折痕PM和PN，如下左图所示；步骤二：翻折后，使点D、C落在原长方形所在的平面内，即点D和C，细心调整折痕PN、PM的位置使PD，PC重合如下右图，设折角MPD=，NPC=(1)猜想MPN的度数；(2)若重复上面的操作过程，并改变的大小，猜想：随着的大小变化，MPN的度数怎样变化？并说明你猜想的正确性。DMAMADPDPCBCNNCB1.4全等三角形1、能够重合的两个图形称为全等图形。（能够重合的两个三角形称为全等三角形。）2、两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。3、“

6、全等”可用符号“”来表示。4、全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。【例1】 如例图1，ABDCDB，且AB、CD是对应边，下面四个结论中不正确的是（ ） AABD和CDB的面积相等 BABD和CDB的周长相等 CA+ABD=C+CBD DADBC且AD=BC 【分析】 由于两个三角形完全重合，故面积周长相等，对应角对应边相等，而ABD与CBD不是对应角，所以C符号题意 【解】 选C【例2】 如例图2，已知ABCADE，试找出对应边、对应角 【分析】 连结AO，将ABC沿AO翻折180°，即可得到ADE，对应元素易找，找对应元素常利用“运动法”来找 a翻折法：找到中心线

7、，经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素 b旋转法：两个三角形绕某一点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素 c平移法：将两个三角形沿某一直线推移重合时也可找到对应元素 【解】 对应角：A=A、B=D、ACB=AED 对应边：AB=AD、BC=DE、AC=AE【例3】 如例图3，已知ACFDBE，E=F，AD=9cm，BC=5cm，求AB的长 【分析】 AB不是全等三角形的对应边，但它通过对应边转化为AB=CD而AB+CD=AD-BC，可利用已知的AD与BC求得 【解】 ACFDBE，E=F AC-BC=DB-BC，即AB=CD AB+CD=2AB=AD-BC=9-5=4（cm）

8、 AB=2（cm） （例1图） （例2图） （例3图） 学生练习：1、如图1，ABFCDE，则（ ） AB=ECD BA=ECD； CAF=CE DAB=CE （1） （2） （3）2、 如图2，在ABC中，AB=BC=CA，AD=BE=CF，但D、E、F不是AB、BC、CA的中点，又AE、BF、CD分别交于M、N、P如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形（ ） A2组 B3组 C4组 D5组3、如图3，已知ABCBAD，AC=BD，这两个三角形的对应边是_与_，_与_，_与_；对应角是_与_，_与_，_与_4、如图4，AOB绕O点旋转180°，可以

9、与COD重合，这表明_，则AB=_，OB=_，OA=_；BAO=_，ABO=_，AOB=_ （4） （5） （6）5、如图5，ABCADE，B和D是对应角，那么根据_可知AB=_，AC=_，ACB=_因为BE=AB-_，DC=AD-_，所以BE=_因为BCD=_-ACB，BED=_-AED，所以BCD=_7、如图6，把ABC沿直线BC平行移动至DEF，则相等的边是_=_，_=_，_=_8、如图，ABCDEF，AB和DE是对应边，A和D是对应角，找出图中所有相等的线段和角9、 如图，已知四边形纸片ABCD中，ADBC，将ABC、DAB分别对折如果两条折痕恰好相交于DC上一点E， C和D均落在F点

10、，你能获得哪些结论？10、如图，把ABC绕点C顺时针旋转35°，得到ABC，AB交AC于D，已知ADC=90°，求A的度数1.5三角形全等的条件三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或

11、“ASA”）。 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。 角平分线上的一点到角两边的距离相等。【例1】 下列判断，其中正确的是（ ） A三个角对应相等的两个三角形全等 B周长相等的两个三角形全等 C周长相等的两个等边三角形全等 D有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 【分析】 A不正确，如图1，两个三角形，三内角分别为30°，60°，90°，显然不全等；B不正确，如两个三角形周长都是60，一个三角形的三边长为20、20、20，另一个三角形三边长为15、20、25，显然不全等；C正确，D如图2，AB=AB、AC=A

12、D，第三边上的高AE相同，显然不全等，故D不正确 【解】选C （1） （2） （3）【例2】 如图，已知AB=AC，AE=AD，BD=CE，说出1=2成立的理由 【分析】 利用全等三角形对应边相等，对应角相等是证明线段或角相等的重要方法，要善于从组合图形中分解出基本图形，会用直观的方法寻找需要说明相等的线段或角所在的一对全等三角形，然后再说出全等的理由 【解】 BD=CE（已知） BD-ED=CE-ED， BE=CD 在AEB和ADC中 AEBADC（SSS） 1=2（全等三角形对应角相等）【例3】 如图，已知：AB=CD，AC=BD，试说明A=D 【分析】 若把A、D放在AOB与COD中，不

13、能直接证明全等，若连结BC，这样已知的两边与公共边BC构成ABC和DCB根据条件两个三角形全等 【解】 连结BC 在ABC与DBC中 ABCDCB（SSS）A=D（全等三角形对应角相等）学生练习： （1） （2） 1、如图1，已知AB=CD，AD=BC，说出1=2的理由 解：在_和_中 _（ ） 1=2（ ）2、如图3，已知ABFDEC，且AC=DF，说明ABCDEF的理由 解：ABFDEC （3） AB=_ BF=_ 又BC=BF+_，EF=CE+_ BC=_ 在ABC与DEF中 ABCDEF（ ）3、如图4，已知AB=CD，AE=CF，若再满足_，或_，或_就可证明ABECDF4、如图1-

14、5-9，已知AD=BC，OD=OC，O为AB中点，说出AODBOC的理由5、如图，ABC和DBC中，AB=CD，AC=BD，AC和DB相交于O，说出1=2的理由6、如图，AB=DB，AC=DC，DHBC于H，若ABC=65°，求BDH的度数7、如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB、CD的中点，且AF=CE，找出图中的全等三角形，并说明理由1.6全等三角形问题中常见的辅助线的作法1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换

15、中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例1、（

16、“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.例2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.应用：1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图所示，（1）问中得到的两个

17、结论是否发生改变？并说明理由二、截长补短1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC2、如图，ACBD，EA,EB分别平分CAB,DBA，CD过点E，求证;ABAC+BD3、如图，已知在内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求证： 5、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC应用：三、平移变换例1 AD为ABC的角平分线，直线MNAD于A.E为MN上一点，ABC周长记为，EBC周长记为.求证.例2 如图，在ABC的边上取两

18、点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.应用：1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 例2 D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E