矩阵与行列式基础知识

1、矩阵与行列式基础知识介 绍124123412423153470683xxxxxxxxxx我们常常会碰到一些求解方程的问题：能否如一元一次方程一样求解?axbbxa矩阵概念的引入124123412423153470683xxxxxxxxxx120353471608A把方程组系数抽取出来，形成一个数字方块，取名为系数矩阵，记为把方程组系数抽取出来，形成一个数字方块，取名为系数矩阵，记为A在系数矩阵最后一列添加方程右端的常数列，称之为增广矩阵，记为在系数矩阵最后一列添加方程右端的常数列，称之为增广矩阵，记为B120315347016083B矩阵的概念 一. 矩阵的定义：由矩阵的定义：由 个数排成的个

2、数排成的m行行n列数表，列数表，称为称为m行行n列矩阵。表示矩阵列矩阵。表示矩阵A的第的第i行第行第j列的元列的元素。矩阵表示如下：素。矩阵表示如下： A= 矩阵矩阵A也记作也记作111212122212.a.:.nnmmmnaaaaaaaam nijam nAm=n时，称A为n阶矩阵（n阶方阵）.矩阵概念的引入124123412423153470683xxxxxxxxxxAXb120353471608A1234xxXxx103b 引入矩阵形式：类比axbbxa怎样求解矩阵方程？AXb？ 因此，有必要了解和学习矩阵和行列式的相关知识，以便方便的求解矩阵方程。相等矩阵相等矩阵()(),1,.,;

3、1,.,ijijijijAaBbabimjn与同 型 ， 且记为记为A=B. 特殊矩阵特殊矩阵 零矩阵零矩阵: 如如2 22 1000,.000OO 行矩阵行矩阵、列矩阵列矩阵：61 01 2 ,43 （）行矩阵、列矩阵也称为向量向量矩阵的相关概念对角矩阵对角矩阵：11221122diag(,.,)nnnnaaAaaaaaii 称为称为对角元对角元.20diag(2, 1)01A如单位矩阵单位矩阵：11d iag (1,1,.,1)1I方程组的矩阵和向量表示形式方程组的矩阵和向量表示形式 m个方程个方程n个未知量的线性方程组：个未知量的线性方程组：mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxax

4、abxaxaxa22112222212111212111 向量形式向量形式nnxxx2211即mmnnnnmmbbbaaaxaaaxaaax2121222122121111Axbbbxxxaaaaaaaaamnmnmmnn即2121212222111211 矩阵形式矩阵形式.000021212222111211为齐次线性方程组即则Axxxxaaaaaaaaanmnmmnn 若右端向量若右端向量0矩阵的运算 1. 矩阵的加法运算矩阵的加法运算 加法定义：有加法定义：有 矩阵矩阵 ， 那么那么 矩阵矩阵 为为A和和B的的和。和。 C= 记作：记作：C=A+B11111212112121222222

5、1222.:.:.nnnnmmmmmnmnabababababababababm n()( )ijijAaBb和ijC注意：注意： (1) 同型矩阵才能相加、减；同型矩阵才能相加、减； (2) 相加、减结果为同型矩阵相加、减结果为同型矩阵; 负矩阵负矩阵：()ijAa ()AAO 减法减法：() ()ABAB 对应元素相减ABABO 2. 减法运算减法运算 设有一个矩阵 ， 是一个数，那么矩阵 称为矩阵A 与数 的乘积（简称矩阵的数乘），记作 3. 矩阵的数乘()ijAa111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA 矩阵的矩阵的线性运算律线性运算律：加法、数乘：加法、数乘.ABBA

6、()()ABCABCAOA()AAO1AA1. 乘法的定义： 和 ，如果 则矩阵C中每个元素都是A的行，B的列对应元素之积的和。即()ij m sAa()ijs nBbABC1 1221sijijijissjikkjkca ba ba ba b(1,2,;1,2, )im jn我们把矩阵C称为矩阵A与B的乘积，记作 CAB4. 矩阵的乘法020211111302151CAB2 0 1 1 ( 1) 1 2 2 1 1 ( 1) 5 2 0 1 1 ( 1) ( 1)3 0 0 1 2 13 2 0 1 2 53 0 0 1 2 ( 1) 0022162注：矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下

7、，ABBA矩阵乘法的运算规律：(AB)C = A(BC)k (AB) = (kA)B = A(kB)A(B+C) = AB + AC(B + C)A = BA +CA4. 矩阵的转置 1. 定义（转置）定义（转置）111212122212nnmmm naaaaaaAaaa设，1 12 111 22 2212.mmnnm naaaaaaAAaaa称为的 转 置T T, ()m nn mAAT T例例142,350A1345 ;20AT T18 6 9 ,B186 .9BT T2. 运算律运算律( AT)T = A (A+B)T = AT+BT (kA)T = kAT (AB)T = BTAT (

8、A1A2Ak)T = ATk ATk-1AT1 例 已知 ， ， 201132A171423201B求求()AB解解 因为因为 1712010143423132171310201AB 所以所以 017()14133 10AB另解另解 14221017()720031413131123 10ABB A行列式行列式是为了求解线性方程组而引入的，但在线性代数和其它数学领域以及工程技术中，行列式是一个很重要的工具。本节主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法。一、二阶行列式与三阶行列式注：该定义称之为对角线法则。1111aa一阶行列式：一阶行列式：111211 221221212213111211 22

9、331223311321 322321221322311221 3311 2332313233aaa aa aaaaaaa a aa a aa a aaaaa a aa a aa a aaaa二阶行列式：二阶行列式：三阶行列式：三阶行列式：二、全排列与逆序数例例 把3个不同的数字1、2、3排成一列，共有多少种排法？ 显然，左边位置上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有三种放法；中间位置上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有2种放法；右边位置上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法 因此共有321=6种放法.这6种不同的排法是123，231，312，132，213，321.逆序数：逆序

10、数：一个排列中所有逆序的总和称之为这个排列的逆序数。奇排列与偶排列：奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。计算排列逆序数的方法：计算排列逆序数的方法： 不妨设 n 个元素为1至 n 这 n 个自然数，并规定由小到大为标准次序。设 p1 p2 pn为这 n 个自然数的一个排列，考虑元素 pi(i=1,2,n)，如果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有i个，就说pi 这个元素的逆序数是 i，即： ( p1 p2 pn)= 1 + 2 + n 就是这个排列的逆序数。 对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题，把n个不同的元素排列成一列，共有几种不同的排法？ 把

11、n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（简称排 列）一般,n个自然数1,2,n的一个排列可以记作 1 2niii其中 是某种次序下的自然数 .n个不同元素的所有排列的种数，通常用 表示.由例结果可知1 2niii1,2,nnP33 2 1P 仿照例子的推导方式我们容易得到 (1)3 2 1nPn nn 对于n个不同的元素，先规定各元素间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定自小到大为标准次序；此时，对应的排列称作自然排列），于是在这n个元素的任意排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序.一个一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作排列中所有逆序的总

12、数称为这个排列的逆序数，记作1 2niii！1 2()niii逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列. 例例1 1 排列83265147是偶排列还是奇排列？ 解解 把自然排列12345678及排列83265147的元素分别排成平行的两行，连接上下两行所有相同元素（要避免出现三条连线相交于一点的情况），得到排列的交叉图.那么，交叉图中交点的个数就是排列的逆序数. 1 2 3 4 5 6 7 8 8 3 2 6 5 1 4 7n阶行列式的定义所有位于不同行不同列的所有位于不同行不同列的n个数乘积之个数乘积之“和和”121

13、 2121 12 211121212221212. . . .( 1).( 1).nnn nnnnnnnqqq nq qql sl sl saaaaaaDaaaa aaa aa21 2()ns ssL)(211nll l12()nq qqL行列式的性质行列式的性质性质性质1.1.设 是n阶矩阵， 是A的转置矩阵，则即行列式经过转置后其值不变.()ijAaAAA1112121222112212nniiiiininnnnnaaaaaaDabababaaa 那么那么D等于下列两行列式的和，即等于下列两行列式的和，即 ，其中，其中12DDD111212122211212nniiinnnnnaaaaaa

14、Daaaaaa111212122221212nniiinnnnnaaaaaaDbbbaaa性质性质2. 如果行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，如果行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如行列式例如行列式D的第的第i行的元素都是两数之和行的元素都是两数之和 性质性质3（行列式的初等变换）（行列式的初等变换） 设设A为为n阶矩阵，阶矩阵， （1）交换）交换A第第i,j行（列）的位置得到行（列）的位置得到A1，则，则 ; （2）把）把A的第的第j行（列）乘以数行（列）乘以数 得到得到 A2 ，则，则 ； 1AA (0)k k 2Ak A（3）把的第）把的第j行（第行（第i列）的列）的k倍加到第倍加到第i行（第行（第j列）上得到列）上得到 A3，则，则 3AA推论推论 设设A是任意的是任意的n阶矩阵，则对阶矩阵，则对n阶初等矩阵阶初等矩阵E都有都有 EAE AAEA E及推论推论 如果行列式有两行（列）元素成比列，那么这个行列如果行列式有两行（列）元素成比列，那么这个行列式为式为 零零 克拉默克拉默(Cramer)法则法则,)(,11 nnnnijbbbx