行列式定义及性质

1、方阵行列式及其性质方阵行列式及其性质 行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有着广泛得用应用.本部分主要介绍行列式的概念、性质和计算方法.第一章 教学目的：教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式. 教学要求教学要求：理解行列式的概念，深刻理解方阵与方阵的行列式的关系，会用行列式的六条性质熟练计算各种类型的行列式，掌握行列式的展开定理和拉普拉斯定理. 教学重点：教学重点：方阵行列式的性质及展开定理，计算典型的行列式的各种方法. 教学难点：教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用. 11

2、2212211122122(),a aa axbaa b 当 时，求得方程组有唯一解：112212210a aa a122122111221221,b aa bxa aa a11 2121211221221.a bbaxa aa a 二元线性方程组 11112212112222,a xa xba xa xb11221221211 2121().a aa axa bba1121122122222111211 2121212,baDbaa bbaabDa bbaab1112112212212122det,aaDAa aa aaa1122;.DxDDxD机动 目录 上页 下页 返回 结束 11122

3、122aaAaa121231,245 .xxxx1310,24D 11319,54D 2113,25D1119,10DxD223.10DxD 二阶行列式的应用1111221331211222233231 13223333,.a xa xa xba xa xa xba xa xa xb1112132122233132330aaaDaaaaaa时，112233,.DxDDxDDxD1121312222333233,baaDbaabaa1111322122331333,abaDabaaba111213212223313233aaaDaaaaaa1112132122231323.aabDaabaab1

4、12233a a a132231a a a122133a a a112332.a a a122331a a a132132a a a对角线规则（沙流氏规则对角线规则（沙流氏规则) )12312312351,51,20.xxxxxxxxx 1151516,112D 111515118,012D 211511 16,102D 31111516,110D 解解 由于311DDx122DDx133DDx所以，方程组的解为 ， ， . 三阶行列式的应用,.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb11112211211222221122111212122212,nn

5、nnnnaaaaaaDaaa111121221,nnjnnnnabaabaDaba1, 2 ,jn二、三阶行列式的推广,jjDxD1,2, .jnl（1）D=？（怎么算）？l（2）当D0时，方程组是否有唯一解？l（3）若D0时，方程组有唯一解，解的形式是否是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 l 2.1、全排列l 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即： 123，231，312，132，213，321. 一般地，把n个不同的元素排成一列(n级排列)，共有几种不同的排法？ 这是一个全排列问题.从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法； 再从剩下的n-1个元素中任取一个元素，放在的

6、第二个位置上有n-1种取法;依此类推，直到最后剩下一个元素放在最后位置上，只有一种取法； 于是：(1)3 2 1!nPn nn机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于 n 个不同的元素，可规定各元素之间有一个标准次序（例如，n 个不同的自然数 p1, p2, , pn ，规定由小到大为标准次序）.于是，在这 n 个元素的任意排列中，当某两个元素的前后次序与标准次序不同时，就说产生了一个逆序逆序，一个排列中所有逆序的和和叫做这个排列的逆序逆序数数. 记逆序数是奇数的排列叫做奇排列奇排列逆序数是偶数的排列叫做偶排列偶排列 12(,)np pp 不妨设元素为1至n个自然数，并规定有小到大为标准次序，

7、设 p1, p2, , pn 为这n个自然数的一个 n 级排列，考虑元素pi(i= 1,2, ，n)，如果比 pi 大的，且排在 pi 前面的元素有ti个，则说这个元素的逆序是ti个，全体元素逆序之和即是 p1, p2, , pn 的逆序数，即12121(.)nnniittpptpt(1,2,2,1, )?nnn(2)1(1)(2)/ 2nnn 12(),np ppk121()?nnp pp p2(1)/ 2nCkn nk 例如，设排列3 2 5 1 4,其逆序数为： t=1+3+0+1+0=5 . 当我们把上面排列改为 3 1 5 2 4，相当于把3 2 5 1 4 这个排列的第2、4两个数

8、码对换（将一个排列中任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换）.通过计算可知 3 1 5 2 4 的逆序数为t=1+2+0+1+0=4.可见排列 3 2 5 1 4 为奇排列奇排列，而 3 1 5 2 4 为偶排列偶排列，由此得一个排列中的任意两个元素由此得一个排列中的任意两个元素对换对换，排列改变，排列改变奇偶性奇偶性n得到行列式值的特点：机动 目录 上页 下页 返回 结束 1112112212212122,aaa aa aaa二阶行列式 111213212223313233aaaDaaaaaa三阶112233a a a132231a a a122133a a a1

9、12332.a a a132132a a a122331a a a矩阵元素乘积的代数和，每一项来自不同行不同列矩阵元素乘积的代数和，每一项来自不同行不同列每一项前面还有符号确定方式每一项前面还有符号确定方式123123jjja aa1 23j j j 当当 偶排列时，正号偶排列时，正号 当当 奇排列时，负号奇排列时，负号 1 23j j j 定义定义 设n阶方阵A=（aij)，定义n阶行列式|A|的值为det.DA也可记为:1212( 1).nPPnPDa aatA12(,)ntp pp其中逆序数1212( 1)ntppnpaaa作出n阶方阵A=（aij)中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠

10、以符号(-1)t，得到形如1212nppnpaaa的项（ 称为行列式的一个均布项） p1, p2, , pn 为自然数1，2，n的一个排列，t 为这个排列的逆序数.这样的排列共有n!个，所有这些项的代数和即为n阶行列式的值. 行列式的另一种定义形式为:1212( 1).ntqqq nDaaa机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 计算下列行列式值00010020?030040002424定义中项, 值为l 同理，也可以定义为:1122( 1).nnq pq pq pDaaa4 由前面的定义可知，每一项都是来自不同行不同列的n个元素乘积，故对某一确定行中的n个元素（如 ），每一项都含有且只含有其

11、中一个元素。故可将n!项分成n组，第j组的项均含有 ，再提公因式 ,得到其中 代表含有 的项在提出公因式后的代数和，且 中不含有元素 ，即 与第i行第j列元素无关。12,iiinaaaijaija1122detiiiiininDAa Aa Aa AijAijAijaijaijA如111213212223313233aaaDaaaaaa三阶112233a a a132231a a a122133a a a112332.a a a132132 a a a122331a a a112233233212233121331321322231()()()aa aa aaa aa aaa aa a22232

12、1232122111213313232333133aaaaaaaaaaaaaaa三阶行列式可以通过二阶行列式来计算三阶行列式可以通过二阶行列式来计算同理，同理，n 阶行列式可以通过阶行列式可以通过(n1)阶行列式来计算阶行列式来计算ijM111212122212|nnnnnnaaaaaaDAaaa定义 在在n阶行列式阶行列式D中去掉元素中去掉元素 所在的第所在的第i行和第行和第j列，剩下的列，剩下的(n1)2个元素按原来顺序排列成一个个元素按原来顺序排列成一个(n-1)阶行列式阶行列式. 1,11,11111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjnijijiinijiijij

13、innnnn jn jaaaaaaaaMaaaaaaaa 为 的余子式， 为 的代数余子式ijaija( 1)ijijijAM 1122detiiiiininiDAa Aa Aa A按第 行展开1122detjjjjnjnjjDAa Aa Aa A按第 列展开ija展开式展开式 该定义适合于常规计算，第一种常适用于证明111D=|A|= 123 ==?01110291对角线规则对角线规则or代数余子式代数余子式选择含零多的选择含零多的行或列行或列61000?000 xyxyDxyxyyx解：按第一列展开，得Dxyxyxxyx1( 1)nnnxy 1( 1)nyxyyx

14、yxy l（1） 对角行列式12120;0nn 1(1)22120( 1).0n nnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 |1E 定义或定义或展开式展开式l（2） 下（上）三角行列式1121221122120;nnnnnnaaaa aaaaa111212221122.nnnnnnaaaaaa aaa机动 目录 上页 下页 返回 结束 1111111111110mmm mmnnnmnnnaaaaDccbbccbb其中 ，11111,mmmmaaDaa11121.nnnnbbDbb1111111211mnmmmnnnaabbDDaabb证明证明=det(dij)，其中 dij=aij i=1,

15、2,m；j=1,2, ,m.d m+i ,m+j=bij i=1,2,n；j=1,2, ,n.在行列式11111,11,1,11,1,1,0000mmmmmmmmmmm nm nm n mm n mm n m nddddDdddddddd中任取一个均布项1111,mmm nrmrmrm n rdddd 由于当i m，jm时， dij=0，因此r1,r2, , rm只有在1,m中选取时，该均布项才可能不为0，而当r1, r2, , rm在1,m中选取时，rm+1, , rm+n只能在m+1, ,m+n中选取. 于是D中可能不为0的均布项可以记为121121.mnppmpqnqaaabb这里，pi

16、=ri , qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 pm(m+q1) ( m+qn)的逆序数.以t，s分别表示排列p1p2 pm及q1q2 qn的逆序数，应有l= t + s (pi m)，于是1212121 21212( 1)mnmnlppmpqqnqp ppq qqDaaab bb1212121 21212( 1)( 1)mnmntsppmpqqnqp ppq qqaaab bb=D1D2.小结1、深刻理解行列式的定义.2、熟记行列式3个特殊的公式.111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa设112111222212nTnnnnnaaaaaaDaaa则 转 置 行 列 式 为

17、1TDD性质 ：2kk性质 ：用数 乘行列式某一行中所有元素，等于用 乘此行列式。1111111111nniiniinnnnnnnaaaakakak aaaaaa推论：某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。k=03性质 ：若行列式某一行的元素是两数之和，则行列式可拆成两个行列式的和。111111niinnnnnaaababaa11111niinnnnaaaaaa11111nnnnnaabbaa推论推论 若行列式中某一行（列）的所若行列式中某一行（列）的所有元素都是有元素都是m( (大于大于2)2)个数的和，则个数的和，则此行列式可写成此行列式可写成m个行列式的和个行列式的和1推论

18、：若行列式中有两行元素对应成比例，则行列式为零。 0性质4 若行列式中有两行或两列其对应元素相等， 则此行列式值为 .112202isisinsnsa Aa Aa AAs， i推论 | |， i11220,0,|.jtjtnjntjta Aa Aa AAjt 1111110,niinijkjkknnnnaaaaaaaaaa 5k性质 ：行列式某一行元素加上另一行对应元素的 倍，行列式的值不变。即：1111111111111nnijinjniinjjnjjnnnnnnnaaaaakaakaaaaaaaaaaa(),ijijrr cc若若ri表示第表示第i行，行，cj 表示第表示第j列，则性质中的

19、变换可以用以列，则性质中的变换可以用以下符号表示：下符号表示：(),iikr kc()ijijrkr ckc6性质 ：互换两行(两列)，行列式变号。即1 11111niinjjnnn naaaaaaaa111111njjniinnnnaaaaaaaa 1111100jnijnnjnnaaaaDaaa引理引理 如果如果n阶行列式中第阶行列式中第i行除行除 aij 外其他元素全为外其他元素全为0，即，即则则ijijDa A1122221222111111111121200nnnnnnnnnaaaaaaDaa Ma Aaaaaa分两步分两步121111111121100,1,ijiiijjnjjnj

20、nnnarrrraaaDccccaaa 1ijijijijija Ma A 111211212000000niiinnnnnaaaDaaaaaa11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1122,1,2,iiiiinina Aa Aa Ain3112513420111533D2141531128046201116027r rrr72161126484012324216022112005rrrr 520216 32222322?22322223D 公因子提出来。行，然后将全加到第行、一定数，故将第分析：各行元素之和为14323222232222329999D