多元函数微分学复习题及答案

1、第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答提示：令yk2x2、选择题1.极限叫y 0(A)等于0(B)不存在 (C)(D)存在且不等于i丄2、设函数 f (x, y) xsin y0.1 y sin xxyxy那么极限 lim f (x, y)=x 0丿y 0等于0(D) 等于23、设函数f (x, y)xy x2 0x2提示：在xy2 0，0，那么 f(x,y)y2 0f (x,y)处处连续；在x 0, y 0，令 ykx，kx2T0x2=k2x2kxlim =0x 0 -.,1 k2f(0,0)，故在x2y20,函数亦连续所以,提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小(C)(A)不存在(B)

2、 等于1处处有极限，但不连续 除0,0点外处处连续(B)(D)f (x, y)在整个定义域内处处连续(A)处处连续(C)仅在0,0点连续4、函数z f (x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数是它在该点存在全微分的(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(D)既非充分又非必要条件(C)充分必要条件5、设 u arctan#，贝U =x(A)x y(B)(C)(D)x6设 f(x,y)arcsinA147、设 zarctan ，x uyBD£ZvA U V2u vB： U2u vcU v2du vv u2 2 u v8、假设 f (x,2x) x23x, fx(x,2x)6x 1，

3、那么 fy(x,2x) =D3(A) x 3(B) x 3(C)2x 1(D)2x 1229、设 zyx，那么(上)(2,1)A xy(A) 2(B) 1+l n2(C) 0(D) 110、设 z xye xy，那么 zx(x, x)2 x22 x2x(1 x )e (D)x(1 x )e2 x22 x2(A) 2x(1 x )e (B) 2x(1 x )e (C)11、曲线x 2 sint,y 4cost,z t在点(2,0-)处的法平面方程是C(A) 2x z 4(B) 2x z 4 (C) 4y z(D) 4y z -2 2 2 212、曲线4x y5,yz,在点(8,2,4)处的切线方

4、程是A(A)x208 y20x 8(C)y52 z 442 z 44(B)x 12z 4(D)20'4x 3“ zy 15413、曲面 xcoszy cosx z在点-,1,0处的切平面方程为:D2222Ax z1Bx y1Cx y -Dx z一2214、曲面 x2 yz xy2z36在点(3,2,1)处的法线方程为AAx 5 y5z 19Bx 3y 2z 183188318C8x 3y18z0D8x 3y18z1215、设函数z 1x2y2，那么点(0,0)是函数z的BA极大值点但非最大值点B极大值点且是最大值点C极小值点但非最小值点D极小值点且是最小值点16、设函数z f (x,

5、y)具有二阶连续偏导数，在P0(x0,y0)处，有fx(P°) 0, fy(P°) 0, fxx(P°) fyy(P°) °, fxy(P。)fyx(P°) 2，那么C A点P0是函数z的极大值点B点P0是函数z的极小值点C点P0非函数z的极值点D条件不够，无法判定17、函数 f (x,y,z) z2 在 4x2 2y2z21条件下的极大值是(A) 1(B)(C)(D)、填空题1、极限 lim sin(xy)-x (y2、3、4、5、6、)xln(yx2 e )=.答: ln2)r 2x2 y,ln( xy)的疋义域为.答：x y1a

6、rcs in x “的定乂域为y.答：1 x1，y0f(x,y)x22yyxyln 三，x那么 f (kx, ky)=.答：k2f(x,y)xy，那么 f(x y,x yy)=答：2 2x yx2xx y, xy)(x y)(x y)2 2x y 2x(x y) (x y)函数z函数z设函数设函数f (x，y)01极限limx 'y7、设 f(x,y)ln(1A2x2x2y2y1/2，要使f(x,y)处处连续，那么1/2A=.答:ln28、设 f(x,y)ta n(x22 2 xA那么A=2函数z -y2)(x, y)(x,y)(0,0)，要使f (x, y)在0，0处连续,(0,0)

7、.答：12仝的间断点是x 1答：直线x 1 0上的所有点10、函数f(x,y) 2 1 2 cos，的间断点为x y x.答：直线y x及x 011、设 z sin (3x y) y，贝 x2X y 1 .答：3cos512、设 f (x,y). x2，那么 fy(0,1) =13、设 u(x, y,z)那么du(1,2,3)3.答: -dx8-dy16hn2dz814、设ux那么在极i坐标系下，u =.答：02 2、X yr15、设Uxy y，那么2u =2 答:2y 3xxx16、设Uxln xy，贝u 2u =.答:-x yy17、函数y y(x)由 12x yey所确定,那么dy =.

8、答dx18、设函?数 z z(x, y)由方程xy2z xyz所确定，那么z _y2xy ey x2.答:2xyz 12xy19、由方程xyzx2y2 z2、2所确定的函数z z(x,y)在点1，0,- 1处的全微分dz =.答: d x , 2d y20、曲线 x t2,y 2t,z21、曲线xy 222t2te ,yA3在点(1,2,-)处的切线方程是33133e2t,z t2e2t在对应于t 1点处的法平面方程是答：x 3y 11e222、曲面 xey y2e2z2-1在点(2, 1,0)处的法线方程为 ez2e3 3x z e答：x 2工丄2 2e23、曲面 arctan-1 xz;在

9、点(2,1'0)处的切平面方程是.答：y 2z 1124、设函数z z(x,y)由方程-x2 3xy y2 5x 5y ez 2z 4确定，那么函数z的驻点是.答：一 1, 227、函数 z 2x2 3y2 4x 6y 1 的驻点是.答：1,1 25、 假设函数f (x,y) x2 2xy 3y2 ax by 6在点 (1, 1)处取得极值，那么常数 a ，b .答：a 0，b 426、 函数f(x,y,z) 2x2在x2 y2 2z2 2条件下的极大值是 : 4三、计算题1、求以下二元函数的定义域，并绘出定义域的图形 .(1) z ,1 x2 y2(2)z ln(x y)(3) z

10、1(4)z ln(xy 1)ln(x y)解: (1)要使函数z .1 x2 y2有意义，必须有1 x2 y2 0，即有x2 y2 1.故所求函数的定义域为D ( x, y) | x2 y2 1,图形为图3.1(2) 要使函数z ln(x y)有意义，必须有x y 0.故所有函数的定义域为D (x,y)|x y 0，图形为图 3.21(3) 要使函数z -有意义，必须有ln(x y) 0，即x y 0且ln(x y)x y 1.故该函数的定义域为D (x, y)|x y 0, x y 1，图形为图3.3(4) 要使函数z In(xy 1)有意义，必须有xy 1 0 .故该函数的定义域为D (

11、x, y) | xy 1，图形为图 3.4Jy%x+y=0 %,O*-%t.1 x r图3.1图3.2y1/y=1/x21x *图3.42、求极限 lim ysin2xx 0y 0 xy解: lim ysin2xx 0y 0ysin2x ( xy 11)lim ''= 4x 0y 0xy13、求极限limx 0y 0、x2yy13 2sin(xy).x解：原式=xim0y o2x y32'2x y (1, x y1)sin(xy)xi叫1y 01，X2sin (xy)xy4、求极限lim04 J6xxyexyx解: lim- xyex 04y 0xyJ16 xy)= -

12、8xy5、设uxsin yycosx，求Ux,Uy.解：usin yysin xUyxcosy cosx&设zy xeye x ，求 Zx,Zy.解：Zxeyye xzyxey e7、设函数zz(x, y)由 yz zx xy3所确定，试求其中解一：原式两边对x求导得x二 z y 0,那么二xx1同理可得:y x解二:解：由ZxZy4x3x3y4y得驻点(1,0)ZFxzyzFyz xxFyyJxyFxy x8、求函数z 2x23xy2y24x3y 1的极值.zxxzxy43D70zyxzyy34zxx40，函数z在点(1,0)处取极小值z( 1,0)1.9、设z3x e2y而xcos

13、t,yt2，求 X.dt解：dz dt3e3x 2y/. ,xo 3x 2y(si nt) 2e(2t)(3si nt4t)e3x 2y10、设 zxyln (xy)，求.zzxy解：zxyxln yln xy1x-yZyxyx 1l n(、1xy)-xyxy11、设 ux ayzlnax(a0)，求du .解：丄x ayzlnaax1uax yz zln aux yzya ln axyzd u/ x(ayzlnaax1)dx ax yzln a(zd yydz)12、求函数z in(x2 y2 exy)的全微分.解：xxy2x ye22 xy ,x y exyz 2y xe22 xyy x

14、y e1x2 y2exy(2xyexy)dx (2y xexy)dy四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，水池侧壁的单位造价是底 部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x,y,z米.水池底部的单位造价为a.那么水池造价 S xy 4xz 4yz a且 xyz 128令Lxy 4xz4yzxyz 128Lxy 4zyz0由Lyx 4zxz0Lz4x 4yxy0Lxyz 128 0得xy8z28 米、 8由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为米、 2 米时，其造价最低 .2、某工厂生产两种商品的日产量分别为 x和y件，总

15、本钱函数22C(x,y) 8x xy 12y 元 .商品的限额为 x y 42 ，求最小本钱 .解：约束条件为 (x,y) x y 42 0 ，构造拉格朗日函数 F(x,y, ) 8x2 xy 12y2(x y 42)，Fx 16x y 0解方程组 Fyx 24y0，得唯一驻点 (x,y) (25,17) ，F x y 42 0由实际情况知， (x,y) (25,17)就是使总本钱最小的点，最小本钱为C ( 25,17) 8043 元 .3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是400 2x 3y 0.01(3x 2 xy 3y2

16、) 元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解： L(x,y) 表示获得的总利润，那么总利润等于总收益与总费用之差，即有 利润目标函数 L(x,y) (10x 9y) 400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2)228x 6y 0.01(3x 2 xy 3y2) 400,(x 0,y 0) ，Lx 8 0.01(6x y) 0 令x，解得唯一驻点120, 80.Ly 6 0.01(x 6y) 0又因 A Lxx 0.06 0,B Lxy 0.01,C Lyy 0.06，得23AC B 3.5 100.得极大值L(120,80) 320.根据实际情况，此极大值就是最大值.故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题1、设 z e(