大学物理答案第6章

1、第六章气体动理论6- 1 一容积为10L的真空系统已被抽成1.0X 10-5 mmHg的真空，初态温度为20C。为 了提高其真空度，将它放在 300C的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体，如果烘烤后 压强为1.0X IO-2 mmHg，问器壁原来吸附了多少个气体分子？解：由式p nkT ,有PkT251.0 101.013 10 /760231.38 10 23 5731.68 1020个 /m3因而器壁原来吸附的气体分子数为nV1.68 1020 10 10 31.68 1018个6-2 一容器内储有氧气， 其压强为105 Pa, 2氧气的密度；3分子的平均平动动能；4温度为27C,求：l

2、气体分子的数密度; 分子间的平均距离。设分子间等距排列分析：在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体。因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解。又因可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为V d3，由数密度的含意可知 V。 1n, d即可求出。解：I丨单位体积分子数n p kT 2.44 1025 m 32氧气的密度m. VpM;' RT 1.30 kg m3氧气分子的平均平动动能_k3kT 2 6.21 10 21 J4氧气分子的平均距离d 3 1 n 3.45 10 9 m6-3此题图中I、II两条曲线是两种不同气体 氢气和氧

3、气在同一温度下的麦克斯韦 分子速率分布曲线。试由图中数据求：1氢气分子和氧气分子的最概然速率；2两种气体所处的温度。分析：由Vp 2RT/M可知，在相同温度下，由于不同气体的摩尔质量不同，它们的最概然速率Vp也就不同。因Mh2Mo2，故氢气比氧气的 Vp要大，由此可判定图中曲线II所标Vp 2.0 103 m s 1应是对应于氢气分子的最概然速率。从而可求出该曲线所对应的温 度。又因曲线I、II所处的温度相同，故曲线 I中氧气的最概然速率也可按上式求得。解：1由分析知氢气分子的最概然速率为习题6 3图(Vp)h22RT/Mh2 2.0 103 m s利用M o2 / M h216可得氧气分子最

4、概然速率为Mb 2RT / M 02(Vp)h2 4 5.0 102 m s2由Vp .2RT/M得气体温度2 2T VpM /2R4.81 10 K6-4 有N个质量均为m的同种气体分子，它们的速率分布如此题图所示。1说明曲线与横坐标所包围面积的含义； 2由N和Vo求a值；3求在速率vo/2到3vo/2间隔内的分子 数；4求分子的平均平动动能.分析：处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时， 关键要理解分布函数 f V的物理意义。f (v) dN / Ndv 题中纵坐标 Nf(v) dN/dv，即处于速率v附近单位速率 区间内的分子数。同时要掌握f(v)的归一化条件，即0 f(v)dv 1。在

5、此根底上，根据分布函数并运用数学方法如函数求平均值或极值等，即可求解此题。解：I丨由于分子所允许的速率在 面积0到2V0的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的2v0S Nf v dv N0即曲线下面积表示系统分子总数N。2从图中可知，在 0到V0区间内,Nf(v) av/v0 ；而在 V0到 2v0 区间内，Nf(v) a那么利用归一化条件有2v°advV0a 2 N / 3v03速率在v°/2到3V0/2间隔内的分子数为v0 av , dvV0/2 v03冷/2adv 7N/12V0(4)分子速率平方的平均值按定义为v20 v2 f (v)dv故分子的平均平动动能为2vo

6、2mv2Voa 2v2dv)N31236mvo6-5 当氢气的温度为300C时，求速率在区间 3000m/s到3010m/s之间的分子数 Ni与 速率在区间Vp到vp+10m/s之间的分子数 N2之比。解：氢气在温度 T=273+300=573开时的最可几速率 Vp为Vp2 X 8.31 X 573V 0.0022182米/秒麦克斯韦速度分布公式可改写为N 4 x2Qx2那么速度在3000米/秒3010米/秒间的分子数N123000e300021822182102182速度在Vp vp10米/秒间的分子数N2ntz2182e218221822182102182N130002e0.78N2218

7、23000 22182 e6 6有N个粒子，其速率分布函数为f(v) f(v)dNNdv0C(V0>v>0)(V>V0)(1)作速率分布曲线；2求常数C; 3求粒子的平均速率。解：2由归一化式V0f (v)dv0Cdv Cv0101V0Vo3vf (v) dv0vCdv0vo"26-7根据麦克斯韦速率分布律证明：处于平均速率附近一固定小速率区间内的分子 数与T成反比。解：由v8RT 那么速率分布函数可化为f (v) 4m2 RT2 mv2RTv2v2速率在v v v 区间内分子数 NNf (v)32N -厂vCT)1可见:6-8 一密封房间的体积为5X 3X 3m3

8、，室温为20C，室内空气分子热运动的平均平动 动能的总和是多少？如果气体温度升高，而体积不变，那么气体的内能变化多少？气体分子方均根速率增加多少？空气的密度3,摩尔质量M =29 X 10 3Kg /mol，且空气分子可认为是刚性双原子分子。解：根据mv2 3 KT,2 21 23N mv NKT2 213336Nmv2 RTNm/ NAm = M M mol RT= RT/Mmol pV =7.31X106J.22 2 211 E= M . M mol -iR RA T = pV Mmol - iR RA T = 4.16 X10 4 J22 1 2 1 22 2 1 2 v22v12=3R

9、Mmol、T2. T1 =0.856m s10-3 m3的容器中，有内能为102 J的刚性双原子分子理想气体。1求气体的压强；2 设分子总数为1022个，求分子的平均平动动能及气体的温度。m im解：1由E M 2 RT和pv M RT可得气体压强p 2E/iV 1.35 105 Pa2分子数密度n =N/V为，那么该气体的温度T p nk pV/( Nk)3.62 102 K气体分子的平均平动动能为 3kT 27.49 1021 J6- 10质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为v 2gR，其中R为地球半径。1假设使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度；2 1

10、06 m分析：气体分子热运动的平均速率v .8RT/ M。对于摩尔质量 M不同的气体分子，为使V等于逃逸速率V,所需的温度是不同的；如果环境温度相同，那么摩尔质量M较小的就容易到达逃逸速率。解: 1由题意逃逸速率 v 、,2gr，而分子热运动的平均速率 V , 8RT/ M。当V V时,有M2 MrgTV8R4R由于氢气的摩尔质量31M h22.0 10 kg mol氧气的摩尔质量MO23.2 10 kg mol 1那么它们到达逃逸速率时所需的温度分别为TH2 1.18 104 K, To? 1.89 105 K2根据上述分析，当温度相同时，氢气的平均速率比氧气的要大约为4倍，因此到达逃逸速率

11、的氢气分子比氧气分子多。按大爆炸理论，宇宙在形成过程中经历了一个极高温过程。在地球形成的初期，虽然温度已大大降低，但温度值还是很高。因而，在气体分子 产生过程中就开始有分子逃逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易逃逸。另外，虽然目前的大气层温度不可能到达上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分子速率分布曲线可知，在任一温度下，总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率。从分布曲线也可知道在相同温度下氢气分子能到达逃逸速率的可能性大于氧气分子。1 26- 11讨论气体分子的平动动能-mv的分布函数，归一化条件，及求任意函数2g()的平均值公式。并由麦克斯韦气体分子速率分布函数导出动能分布函数，求

12、出最可几 动能。解：在动能空间中取一小区间d ，小区间内分子数 dN占总分子数N之比为dNNf( )d其中f()为分子动能分布函数，它满足归一化条件:任意函数g()的平均值公式:f( )d可求出f( )d 10g( ) g( )f( )d0f(v)dv 4m2 kT3/2v2 exp(2mv2kT)dvf( )d2 (丄)3/2kTexX0可得最可几动能kT1 -6-12 在单位时间内撞击在容器壁单位面积上的分子数为nv。假定一边长为14米的立方箱子，在标准情况下盛有 3X 1025个氧分子，计算1秒钟内氧分子与箱子碰撞的次 数。解：氧分子在标准状态下算术平均速率v8RT 8 8.31 273

13、425米/秒V M V 3.14 0.032每边长为1米的立方箱的总面积S=6 1 1=6 米 2那么nv S 1 3 1025425 6 1.91 1028次/秒446- 13在标准状态下氦气He的内摩擦系数X 10 5帕秒，摩尔质量 M为千克，平均速率v为X 103米/秒。试求：1在标准状态氦原子的平均自由程。2氦原子的半径。1 -解：1由公式 -v ，贝y3-3因为气体密度10322.4 10 30.178千克/米3(2)由氦原子直径RT.2氦原子半径为3 1.89 10 5103v 0.178 1.202.65 10 7 米RT、2 d21.38 10 232731.41 2.65 1

14、0 73.1451.79 10 10 米1.013 105-JR -0.89 10210米6- 144帕，平均碰撞次数又为多少？设分子有效直径为1求氮气在标准状态下的平均碰撞次数。2假设温度不变，气压降到X10 10 米10解：1在标准状态下，氮气分子的算术平均速度8RTM 3.148 8.31 273454米/秒0.028由公式p =nRT得由平均自由程平均碰撞次数PRT2 d2n 得1.013X 105231.38 X 10 23 X 2732.69 x 1025 个 / 米317入28.39 X 10 7 米2 X 3.14 X 10 10 X 2.69 X 1025 2Z X 4.55X10 75.42 X 108次 / 秒入 8.39X 10 72气压降低之后的平均碰撞次数为ZZ P.Z p1.33 X1° 5 X 5.42 X 1080.71次 / 秒1.013X 105氢气分子的平均自由程为 6x 10 8米，问在何种压强下, 平均自由程为1厘米？设两种状态的温度一样6- 15 假设在标准压强下,1解：按p = nKT和入一，有12冗 d2n10 2d2XKT2 d2 入pPo