江苏省南通市2016届高三教学情况调研(三)数学试卷

1、2016 届高三教学情况调研(三)数学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)20163参考公式：棱锥的体积公式：V棱锥13Sh，其中 S 为棱锥的底面积，h 为高(第 3 题)一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1. 设复数 z 满足(12i)z3(i 为虚数单位)，则复数 z 的实部为_2. 设集合 A1， 0， 1， Ba1，a1a ， AB0， 则实数 a 的值为_3. 右图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是_4. 为了解一批灯泡(共 5 000 只)的使用寿命，从中随机抽取了 100 只进行测试，其使用寿命(单位：h)如下表：使用寿命500，700

2、)700，900)900，1 100)1 100，1 300)1 300，1 500只数52344253根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于 1 100 h 的灯泡只数是_5. 电视台组织中学生知识竞赛，共设有 5 个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力某参赛队从中任选 2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是_(第 6 题)6. 已知函数 f(x)loga(xb)(a0 且 a1，bR)的图象如图所示，则 ab 的值是_7. 设函数 ysinx3 (0 x)，当且仅当 x12时，y 取得最大值，则正数的值为_8.

3、 在等比数列an中，a21，公比 q1.若 a1，4a3，7a5成等差数列，则 a6的值是_9. 在体积为32的四面体 ABCD 中，AB平面 BCD，AB1，BC2，BD3，则 CD长度的所有值为_10. 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P(2，0)的直线与圆 x2y21 相切于点 T，与圆(xa)2(y 3)23 相交于点 R，S，且 PTRS，则正数 a 的值为_中华资源库 (第 12 题)11. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且对于任意的 x0， )， 满足 f(x2)f(x) 若当 x0，2)时，f(x)|x2x1|，则函数 yf(x)1 在区间2，4上的零点个数为_

4、12. 如图，在同一平面内，点 A 位于两平行直线 m，n 的同侧，且 A 到 m，n 的距离分别为 1，3.点 B，C 分别在 m，n 上，|ABAC|5，则ABAC的最大值是_13. 设实数 x，y 满足x24y21，则 3x22xy 的最小值是_14. 若存在，R，使得tcos32cos，t5cos，则实数 t 的取值范围是_二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分 14 分)在斜三角形 ABC 中，tan Atan Btan Atan B1.(1) 求 C 的值；(2) 若 A15，AB 2，求ABC 的周长1

5、6. (本小题满分 14 分)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N，P 分别为棱 AB，BC，C1D1的中点求证：(1) AP平面 C1MN；(2) 平面 B1BDD1平面 C1MN.(本小题满分 14 分)植物园拟建一个多边形苗圃， 苗圃的一边紧靠着长度大于 30 m 的围墙 现有两种方案：方案多边形为直角三角形 AEB(AEB90)，如图 1 所示，其中 AEEB30 m；方案多边形为等腰梯形 AEFB(ABEF)，如图 2 所示，其中 AEEFBF10 m.请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案18. (本小题满分 16 分)如图，在平面直角坐

6、标系 xOy 中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为22.A 为椭圆上异于顶点的一点，点 P 满足OP2AO.(1) 若点 P 的坐标为(2， 2)，求椭圆的方程；(2) 设过点 P 的一条直线交椭圆于 B，C 两点，且BPmBC，直线 OA，OB 的斜率之积为12，求实数 m 的值19. (本小题满分 16 分)设函数 f(x)(xk1) xk，g(x) xk3，其中 k 是实数(1) 若 k0，解不等式 xf(x)12x3g(x)；(2) 若 k0，求关于 x 的方程 f(x)xg(x)实根的个数20. (本小题满分 16 分)设数列an的各项均为正数，an的前 n 项和 Sn

7、14(an1)2，nN*.(1) 求证：数列an为等差数列；(2) 等比数列bn的各项均为正数，bnbn1S2n，nN*，且存在整数 k2，使得 bkbk1S2k.() 求数列bn公比 q 的最小值(用 k 表示)；() 当 n2 时，bnN*，求数列bn的通项公式2016 届高三教学情况调研(三)数学附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. 【选做题】 在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共 20 分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修 41：几何证明选讲)如图，AB 是圆 O 的直径，C 为圆 O 外一点

8、，且 ABAC，BC 交圆 O 于点 D，过 D 作圆 O 的切线交 AC 于点 E.求证：DEAC.B. (选修 42：矩阵与变换)在平面直角坐标系 xOy 中，设点 A(1，2)在矩阵 M1001对应的变换作用下得到点 A，将点 B(3，4)绕点 A逆时针旋转 90得到点 B，求点 B的坐标C. (选修 44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知直线x155t，y12 55t(t 为参数)与曲线xsin，ycos2(为参数)相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长D. (选修 45：不等式选讲)已知 a，b，cR，4a2b22c24，求 2abc 的最大值【必做题】 第

9、22、23 题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 一个摸球游戏，规划如下：在一不透明的纸盒中，装有 6 个大小相同、颜色各异的玻璃球参加者交费 1 元可玩 1 次游戏，从中有放回地摸球 3 次参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现 1 次，2 次，3 次时，参加者可相应获得游戏费的 0 倍，1 倍，k 倍的奖励(kN*)，且游戏费仍退还给参加者记参加者玩 1 次游戏的收益为 X 元(1) 求概率 P(X0)的值；(2) 为使收益 X 的数学期望不小于 0 元，求 k 的最小值

10、(注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！)设 S4ka1a2a4k(kN*)，其中 ai0，1(i1，2，4k)当 S4k除以 4 的余数是 b(b0，1，2，3)时，数列 a1，a2，a4k的个数记为 m(b)(1) 当 k2 时，求 m(1)的值；(2) 求 m(3)关于 k 的表达式，并化简2016 届高三教学情况调研(三)(南通市)数学参考答案一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1.352. 13. 174. 1 4005.256.927. 28.1499.7， 1910. 411. 712.21413. 4 2614.23，1二、 解答题：本大题共

11、 6 小题，共计 90 分.15. 解：(1) 因为 tanAtanBtanAtanB1，即 tanAtanB1tanAtanB，因为在斜三角形 ABC 中，1tanAtanB0，所以 tan(AB)tanAtanB1tanAtanB1，(4 分)即 tan(180C)1，亦即 tanC1，因为 0C180，所以 C135.(6 分)(2) 在ABC 中，A15，C135，则 B180AC30.由正弦定理BCsinACAsinBABsinC，得BCsin15CAsin302sin1352，(9 分)故 BC2sin152sin(4530)2(sin45cos30cos45sin30)6 22，

12、(12 分)CA2sin301.所以ABC 的周长为 ABBCCA 216 222 6 22.(14 分)16. 证明：(1) 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，因为 M，P 分别为棱 AB，C1D1的中点，所以 AMPC1.又 AMCD，PC1CD，故 AMPC1，所以四边形 AMC1P 为平行四边形从而 APC1M.(4 分)又 AP平面 C1MN，C1M平面 C1MN，所以 AP平面 C1MN；(6 分)(第 16 题)(2) 连结 AC，在正方形 ABCD 中，ACBD.又 M，N 分别为棱 AB，BC 的中点，故 MNAC.所以 MNBD.(8 分)在正方体 ABCDA1B1C1

13、D1中，DD1平面 ABCD.又 MN平面 ABCD，中华资源库 所以 DD1MN.而 DD1DBD，DD1，DB平面 BDD1B1，所以 MN平面 BDD1B1.(12 分)又 MN平面 C1MN，所以平面 B1BDD1平面 C1MN.(14 分)17. 解：设方案，中多边形苗圃的面积分别为 S1，S2.方案设 AEx，则 S112x(30 xx)(3 分)12x（30 x）222252(当且仅当 x15 时， “”成立)(5 分)方案设BAE，则 S2100sin(1cos)，0，2 .(8 分)由 S2100(2cos2cos1)0 得，cos12(cos1 舍去)(10 分)因为0，2

14、 ，所以3，列表：0，333，2S20S2极大值所以当3时，(S2)max75 3.(12 分)因为22520.方程两边平方，整理得(2k1)x2(k21)xk(k1)20(xk)(7 分)当 k12时，由得 x32，所以原方程有唯一解当 k12时，由得判别式(k1)2(3k1)2，i) k13时，0，方程有两个相等的根 x4313，所以原方程有唯一的解(10 分)ii) 0k0，所以 x1x2，其中 x2k1k，x1k3k212k0，即 x1k.故原方程有两解(14 分)iii) k12时，由 ii)知 x1k3k212k0，即 x1k，故原方程有唯一解综上所述：当 k12或 k13时，原方

15、程有唯一解；当 0k0，2k1k，h（k）3k20，n2.从而 anan12，n2.所以数列an为等差数列(4 分)(2) () 中，令 n1，得 a11，所以 an2n1，Snn2.由 bkbk1S2k(k2)得，b1k2qk12，来源：所以 bnb1qn1k2qnk12，由 bnbn1S2n得，k4q2n2kn4，即 qnknk2，(6 分)当 nk 时，恒成立当 nk1 时，两边取自然对数，整理得，klnq2lnnknk1nk11k .记 f(x)lnxx1(x1)，则 f(x)11xln1x（x1）2，记 g(t)1tlnt，0t0，故 g(t)为(0，1)上增函数，所以 g(t)g(

16、1)0，从而 f(x)1，q11k124，从而 q2，3，4，当 q2 时，11k2211k12，只能 k3，此时 bn92n72，不符；当 q3 时，11k2311k12，只能 k2，此时 bn43n52，不符；当 q4 时，11k2411k12，只能 k2，此时 bn22n3，符合综上，bn22n3.(16 分)附加题21.A选修 41：几何证明选讲证明：连结 OD，因为 ABAC，所以BC.由圆 O 知 OBOD，所以BBDO.从而BDOC，所以 ODAC.(6 分)Z又因为 DE 为圆 O 的切线，所以 DEOD，又因为 ODAC，所以 DEAC.(10 分)B选修 42：矩阵与变换解

17、：设 B(x，y)，依题意，由10011212，得 A(1，2)(4 分)则AB(2，2)，AB(x1，y2)记旋转矩阵 N0110(6 分)则011022x1y2，即22x1y2，解得x1，y4，所以点 B的坐标为(1，4)(10 分)C选修 44：坐标系与参数方程解：将直线的参数方程化为普通方程，得 y2x1.(3 分)将曲线的参数方程化为普通方程，得 y12x2(1x1)(6 分)由，得x1，y1或x0，y1，(8 分)所以 A(1，1)，B(0，1)，(10 分)从而 AB （10）2（11）2 5.(10 分)D. 选修 45：不等式选讲解：由柯西不等式，得(2a)2b2( 2c)2

18、 1212122(2abc)2.(6 分)因为 4a2b22c24，所以(2abc)210.所以 102abc 10.所以 2abc 的最大值为 10.当且仅当 a105，b2 105，c105时等号成立(10 分)22. 解：(1) 事件“X0”表示“有放回的摸球 3 回，所指定的玻璃球只出现 1 次”，则 P(X0)3165622572.(3 分)(2) 依题意，X 的可能值为 k，1，1，0，且 P(Xk)1631216，P(X1)563125216，P(X1)316256572，(6 分)结合(1)知，参加游戏者的收益 X 的数学期望为E(X)k1216(1)1252161572k110216(元)，(8 分)为使收益 X 的数学期望不小于 0 元，所以 k110，即 kmin110.答：k 的最小值为 110.(10 分)23. 解：(1