振动与波讲座1.

1、主讲教师：主讲教师：姜海丽姜海丽E-mail：机械振动makxF0dd222xtxmk2令令xa2)sin(ddtAtxv)cos(dd222tAtxa积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定)cos(tAx1、简谐振动的证明、简谐振动的证明当当v=0时，时， amax=2Aa=0时，时，vmax=A能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程推导推导常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx振幅：振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。振幅：振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。周期：振动物体完成一次完整振动所需要的时间

2、。周期：振动物体完成一次完整振动所需要的时间。频率：单位时间内振动物体完成完整振动的次数。频率：单位时间内振动物体完成完整振动的次数。相位：表示谐振动运动状态的最重要的物理量。相位：表示谐振动运动状态的最重要的物理量。2、几个重要参数、几个重要参数22020vxA00tanxv2T 周期周期 Period21T 频率频率FrequencyT22 圆频率圆频率Angular frequencyAAx2AtoabxAA0 相位差：表示两个位相位差：表示两个位相相之差之差 . . 1 1）对对同一同一简谐运动，位简谐运动，位相相差可以给出两运动状差可以给出两运动状态间变化所需的时间态间变化所需的时间

3、. .)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3 TTt6123v2Abt0 xto同步同步 2 2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它的简谐运动，相位差表示它们间们间步调步调上的上的差异差异. .（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它为其它超前超前落后落后txo反相反相1、证明物体的运动为简谐振动，并给出该物体的振动周期、证明物体的运动为简谐振动，并给出该物体的振动周期1、如图所示，轻质弹簧的一端固定，另一端系以轻绳，轻绳绕过滑轮、如图所示，轻质弹簧的一端固定，另一端系以

4、轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量为连接一质量为 m的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下自由振动。的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下自由振动。已知弹簧的倔强系数为已知弹簧的倔强系数为k，滑轮的半径为，滑轮的半径为R，转动惯量，转动惯量J。（。（1）证明）证明物体作简谐振动；（物体作简谐振动；（2）求物体振动周期；（）求物体振动周期；（3）设）设t=0时，弹簧无时，弹簧无伸长，物体无初速，写出物体的振动方程。伸长，物体无初速，写出物体的振动方程。00kxmgtdxdmTmg221JRTT)(21解：（解：（1 1）各物体受力）各物体受力，分别列受力方程，有，分别列受力方程，有)(02xxkTRtdxd2

5、20/dd222xRJmktx22/ RJmk0dd222xtx)2/(21mmmkkRJmT222联立上五式得联立上五式得令令所以：所以：所以，系统振动的角频率为所以，系统振动的角频率为（2）则）则0kmgA tRJmkkmgx2cos（3）所以，所以，2、重量为、重量为P，半径为，半径为r的圆盘在半径为的圆盘在半径为R的圆槽内摆动，求摆的圆槽内摆动，求摆动的方程。动的方程。解：利用能量守恒来求解解：利用能量守恒来求解2222222222)()43)()41)()212121dtdrRgPdtdrrRrgPdtdrRgPJmvEk（势能为势能为)cos1)(rRPmghEcp机械能守恒机械能

6、守恒ErRPdtdrRgP)cos1)()()4322（两边求导两边求导0sin)()23222dtdrRPdtddtdrRgP（化简为化简为0sin)3222rRgdtd（3、一倔强系数为、一倔强系数为k的轻弹簧，其上端与一质量为的轻弹簧，其上端与一质量为m的平板的平板A相连，且板静止。今有一质量也为相连，且板静止。今有一质量也为m的物体自距的物体自距A为为h高高处自由落下，与处自由落下，与A发生完全非弹性碰撞。试证明碰撞后系发生完全非弹性碰撞。试证明碰撞后系统作简谐振动并给出该振动的振动方程。统作简谐振动并给出该振动的振动方程。hkAm解：解：物理过程物理过程m作加速直线运动作加速直线运动

7、m与与A作完全非弹性碰撞作完全非弹性碰撞2m作作简谐振动简谐振动（1）机械能守恒）机械能守恒ghv2（2）动量守恒）动量守恒ghvV2212（3）证明：）证明：确定坐标及坐标原点确定坐标及坐标原点kA2mxo22022dtxdm)xx(kmg其中：其中：02xkmg222dtxdmkx 0222xdtxdmk2kA2mxo22, 000ghvkmgxt利用初始条件：利用初始条件：mgkhtgmgkhkmgA1,111cos()2mgkhkkhxttgkmgmmg2、已知振动方程求某些物理量、已知振动方程求某些物理量1、一弹簧振子作简谐振动，振幅为、一弹簧振子作简谐振动，振幅为A，周期为，周期为

8、T，其运动，其运动方程用余弦函数表示若方程用余弦函数表示若t = 0时，时， (1) 振子在负的最大位振子在负的最大位移处，则初相为移处，则初相为_； (2) 振子在振子在平衡位置向正方向运动，则初相为平衡位置向正方向运动，则初相为_； (3) 振子在位移为振子在位移为A/2处，且向负方向运动，则初相为处，且向负方向运动，则初相为_ ， - /2 ， /3 2、两个弹簧振子的周期都是、两个弹簧振子的周期都是0.4 s， 设开始时第一个振子设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过从平衡位置向负方向运动，经过0.5 s 后，第二个振子才从后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两振动的相

9、位差为正方向的端点开始运动，则这两振动的相位差为_ 3、已知两个简谐振动的振动曲线如图所示两简谐振动、已知两个简谐振动的振动曲线如图所示两简谐振动的最大速率之比为的最大速率之比为_ 1 3 -1 4 x1 1 2 t(s) o x(cm) x2 -2 2 1:1 4、已知两个简谐振动曲线如图所示、已知两个简谐振动曲线如图所示x1的相位比的相位比x2的相位的相位超前超前_ x t O X1 X2 /2 5、一单摆的悬线长、一单摆的悬线长l = 1.5 m，在顶端固定点的竖直下方，在顶端固定点的竖直下方0.45 m处有一小钉，如图示设摆动很小，则单摆的左右处有一小钉，如图示设摆动很小，则单摆的左右

10、两方振幅之比两方振幅之比A1/A2的近似值为的近似值为_ l 0.45 m 小钉 0.84 6、二小球悬于同样长度、二小球悬于同样长度l的线上将第一球沿竖直方向上举到悬点，的线上将第一球沿竖直方向上举到悬点，而将第二球从平衡位置移开，使悬线和竖直线成一微小角度而将第二球从平衡位置移开，使悬线和竖直线成一微小角度a ，如，如图现将二球同时放开，则何者先到达最低位置？图现将二球同时放开，则何者先到达最低位置？ l l glglt/41. 1/21glTt/57. 14/212tt .解：第一球自由落下通过路程解：第一球自由落下通过路程l需时间需时间 而第二球返回平衡（即最低）位置需时而第二球返回平

11、衡（即最低）位置需时 故第一球先到。故第一球先到。7、已知一个谐振子的、已知一个谐振子的振动曲线如图所示。振动曲线如图所示。（1）求）求a，b，c，d，e个状态的相位；个状态的相位；（2）写出振动方程；）写出振动方程；（3）画出相量图。）画出相量图。8、轻弹簧上端固定，下系一质量为、轻弹簧上端固定，下系一质量为m1的物体，稳定后在的物体，稳定后在下边又系一质量为下边又系一质量为m2的物体，弹簧又伸长了的物体，弹簧又伸长了x 。若将。若将m2移去并令其振动，则振动周期为多少？移去并令其振动，则振动周期为多少？ 3、已知某些条件给出简谐振动方程、已知某些条件给出简谐振动方程 1、在、在t = 0时

12、，周期为时，周期为T、振幅为、振幅为A的单摆分别处于图的单摆分别处于图(a)、(b)、(c)三种状态若选单摆的平衡位置为坐标的原点，坐标指向正右方，三种状态若选单摆的平衡位置为坐标的原点，坐标指向正右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式（用余弦函数表示）分别为则单摆作小角度摆动的振动表达式（用余弦函数表示）分别为 (a) _； (b) _； (c) _ (a) (b) (c) v0 v0 v0 = 0 )212cos(TtAx)212cos(TtAx)2cos(TtAx2、一质点作简谐振动，速度最大值、一质点作简谐振动，速度最大值vm = 5 cm/s，振幅，振幅A = 2 cm若令速度具有正最

13、大值的那一时刻为若令速度具有正最大值的那一时刻为t = 0，则振动，则振动表达式为表达式为_ ）SI)(212/5cos(1022tx3、一物体作简谐振动、一物体作简谐振动,其速度最大值其速度最大值Vm=3cm/s,其振幅其振幅A=2cm.若若t=0时时,物体位于平衡位置且向物体位于平衡位置且向x轴的负方向运动。求：轴的负方向运动。求：（1）振动周期）振动周期;（2）加速度的最大值）加速度的最大值;（3）振动方程的）振动方程的表达式。表达式。解解: (1) vm = A = vm / A =1.5 s-1 T = 2 /4.19 s (2) am = 2A = vm = 4.510-2 m/s

14、2 (3) 21)215 . 1cos(0.02 x t4、一质点作简谐振动，速度最大值、一质点作简谐振动，速度最大值vm = 5 cm/s，振幅，振幅A = 2 cm若令速度具有正最大值的那一时刻为若令速度具有正最大值的那一时刻为t = 0，则振动，则振动表达式为表达式为_ ）SI)(212/5cos(1022tx5、一物体作简谐振动、一物体作简谐振动,其速度最大值其速度最大值Vm=3cm/s,其振幅其振幅A=2cm.若若t=0时时,物体位于平衡位置且向物体位于平衡位置且向x轴的负方向运动。求：轴的负方向运动。求：（1）振动周期）振动周期;（2）加速度的最大值）加速度的最大值;（3）振动方程

15、的）振动方程的表达式。表达式。解解: (1) vm = A = vm / A =1.5 s-1 T = 2 /4.19 s (2) am = 2A = vm = 4.510-2 m/s2 (3) 21)215 . 1cos(0.02 x t 6、一弹簧振子作简谐振动，振幅、一弹簧振子作简谐振动，振幅A=0.20m，如弹簧的倔强，如弹簧的倔强系数系数k=2.0N/m，所系物体的质量，所系物体的质量 m=0.50kg，试求：（，试求：（1）当）当动能和势能相等时，物体的位移；（动能和势能相等时，物体的位移；（2）设）设t=0时，物体在时，物体在正最大位移处，达到动能和势能相等时所需时间是多少？正最

16、大位移处，达到动能和势能相等时所需时间是多少？（在一个周期内）（在一个周期内）224121kAkx 1022Ax002Ttx2cos2 . 0（1）（2）由题意的得：）由题意的得：代入把102x时当102x)87.(8t时当102x)85.(86t11A1xx021xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2两个两个同同方向方向同同频频率简谐运动率简谐运动合成合成后仍为后仍为简谐简谐运动运动4、同方向、同频率简谐振动的合成问题、同方向、同频率简谐振动的合成问题 1、两

17、个同方向的简谐振动的振动方程分别为、两个同方向的简谐振动的振动方程分别为 x1=0.04cos2(t+1/8) (SI) x2=0.03cos2(t+1/4) (SI) 求：合振动方程。求：合振动方程。)42(cos104 2-1 tx)22(cos103 2-2 tx m 106.48 10)4/2/cos(2434-2222A rad 1.12)2/cos(3)4/cos(4)2/sin(3)4/sin(4arctg按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为 合振动方程为合振动方程为 x = 6.4810-2 cos(2 t+1.12) (SI) 2、两个同方向的简谐振动曲线如图所示合振动的振幅、两个同方向的简谐振动曲线如图所示合振动的振幅为为_，合振动的振动方程为，合振动的振动方程为_ x t O x1(t) x2(t) A1 A2 -A1 -A2 T |A1 A2| )212cos(12tTAAx 3、两个同方向的简谐振动，周期相同，振幅分别为、两个同方向的简谐振动，周期相同，振幅分别为A1 = 0.05 m和和A2 = 0.07 m，它们合成为一个