大地测量学基础(第16课)

1、4.3 4.3 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径法截面：过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法法截面：过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法 线，包含这条法线的平面叫法截面。线，包含这条法线的平面叫法截面。法截线（弧）：法截面与椭球面的交线叫法截线。法截线（弧）：法截面与椭球面的交线叫法截线。1.子午圈曲率半径子午圈曲率半径32)1 (sin1sinWeaMBdBdxMBdxdSdBdSMWBax/cosBeW22sin1yxOEDKdBdSdxnB c：极点处（两极）子午圈的曲率半径。：极点处（两极）子午圈的曲率半径。2.卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径卯酉圈：过椭球面上一点

2、的法线，可作无限个法截面。其中一卯酉圈：过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面。其中一 个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的 闭合的圈，称为卯酉圈。闭合的圈，称为卯酉圈。23VNMVcM22211eVVabWWaNeabbacBM说明说明B=0o0oB90oB=90oM0=a(1-e2)a(1-e2)McM90=cM0a M BM90=c3.主曲率半径的计算主曲率半径的计算 主曲率半径：主曲率半径： 级数展开级数展开BN说明说明B=0o0oB90oB=90oN0=aaNRM 在极点处：在极点处：MNR cMRNooo909090小结：要求

3、掌握：小结：要求掌握： 有关概念；有关计算公式并分析变化规律有关概念；有关计算公式并分析变化规律 4.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算 1.子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式将克拉索夫斯基椭球元素代入将克拉索夫斯基椭球元素代入:将将1975年国际椭球元素代入：年国际椭球元素代入：说明：说明： B=90o代入，一个象限内约为代入，一个象限内约为10000km 地球周长约为地球周长约为40000kmBBBdBBeeadBWeaMdBXMdBdx0232220320)sin1 ()1 ()1 (BBBBXo6sin022. 04sin828.162sin480.16036861.11113

4、4BBBBXo6sin022. 04sin833.162sin528.16038005.111133OBP1P2dxdBMPP子午线上纬度为子午线上纬度为 ， 间的弧长间的弧长 弧长较短（弧长较短（ 40km）2.由子午弧长求大地纬度由子午弧长求大地纬度 在高斯投影坐标反算公式中要用到。包括迭代解法和直接解在高斯投影坐标反算公式中要用到。包括迭代解法和直接解法两种方法。法两种方法。 迭代解法（以克拉索夫斯基椭球为例）迭代解法（以克拉索夫斯基椭球为例） 2211XBXB12XXX )(21221BBMXMBBBmmm1B2B8611.111134/1XBf8611.111134/)(1ififB

5、FXBififififBBBBF6sin0220. 04sin8281.162sin4803.16036)(ififBB1直到直到 为止为止 直接解法（以直接解法（以1975年国际椭球为例）年国际椭球为例）3.平行圈弧长公式平行圈弧长公式 说明：纬度不同，相同的经差平行圈弧长不同。说明：纬度不同，相同的经差平行圈弧长不同。4.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较子午线弧长和平行圈弧长变化的比较 子午圈弧长：子午圈弧长：B ，单位纬度差的子午线弧长，单位纬度差的子午线弧长 平行圈弧长：平行圈弧长： B ，单位经度差的平行圈弧长，单位经度差的平行圈弧长 lBNSLLlBWaBNxrcoscoscos1

6、26sin10447. 74sin10701007. 32sin10518828475. 2963fB133.6367452/X（弧度） 4.5 大地线大地线 1.相对法截线相对法截线 首先证明：首先证明： 和和 不重合不重合 由由 ，得，得 若若 若若A、B两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点有两条法两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点有两条法截线。截线。 说明：相对法截线说明：相对法截线 A照准照准B：AaB叫叫A点的正法截线，点的正法截线，B点的反法截线；点的反法截线； B照准照准A：BbA叫叫B点的正法截线，点的正法截线，A点的反法截线。点的反法截线。 相对法截

7、线的位置相对法截线的位置 BbA比比AaB偏上。偏上。anbn222121sinsinBeNOnBeNOnba2211sinsinBnQOnBnQOnbbaa2NeQn baOnOnBB，21，abOnOnBB12OABabQ1Q2nanbB1B2正反法截线的位置如课本图正反法截线的位置如课本图4-18所示所示 当当A、B两点位于同一子午圈或平行圈时，正反法截线合两点位于同一子午圈或平行圈时，正反法截线合 二为一。二为一。 椭球面上椭球面上A、B、C三点构不成三角形。（三点构不成三角形。（产生了矛盾产生了矛盾）2.大地线的定义和性质大地线的定义和性质 定义：椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线。

8、定义：椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线。 性质：性质： 说明：说明： 其长度与法截线长度其长度与法截线长度 相差为百万分之一毫米；相差为百万分之一毫米； 地面观测值归算成大地线的地面观测值归算成大地线的 方向，距离。方向，距离。 大地线是一条空间曲线；大地线是一条空间曲线； 大地线惟一，位于相对法截线之间。大地线惟一，位于相对法截线之间。31ABBAC3.大地线的微分方程和克莱劳方程大地线的微分方程和克莱劳方程dSBNAdLAdSdLBNcossinsincosdSMAdBAdSdBMcoscospp1AdAdSdLp2ANp3900-B-dB 大地线的微分方程大地线的微分方程 描述描述p到

9、到p1时，时，dS与与 dA、dL、 dB之间的关系之间的关系 在微分直角三角形在微分直角三角形pp2p1中中在球面直角三角形在球面直角三角形p1p3N中，中， dA，dL，dB均为微分量，即均为微分量，即 克莱劳方程克莱劳方程)sin(sinsin)90(90sinsin)90cos(dBBdLdAdBBdLdAooo即dSBNABdLdABdBBdLdLdAdAtansinsinsin)sin(sinsinBNBdBMAAAdBMBNBAdAcossincossincoscossinsindBBMdrBNrsin,cosrdrdAA cot 克莱劳定理：克莱劳定理： 在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在 该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。说明：说明： 小结：子午线弧长，平行圈弧长；小结：子午