大学画法几何5投影变换

1、V1X1 a1 b12a2 b2 4-1 概概 述述 当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与投影面的倾角。形及其与投影面的倾角。 当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影面就不具备上述特性。的投影面就不具备上述特性。 投影变换就是讲直线或平面从一般位置变换为和投影变换就是讲直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的度量投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的度量和定位问题

2、。和定位问题。aabb 两点之间两点之间距离距离aabbcc三角形三角形实形实形aabbccdd 直线与平面的直线与平面的交点交点abcdabcd 两平面两平面夹角夹角解决问题解决问题一、换面法原理及规律一、换面法原理及规律二、六个基本问题二、六个基本问题三、应用举例三、应用举例42 换面法换面法 换面法就是保持空间几何元素不动，用新的投影面替换换面法就是保持空间几何元素不动，用新的投影面替换旧的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题旧的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。的位置。（一）、换面法的基本概念（一）、换面法的基本概念a1c1b1V1X1X1 换面法换面

3、法空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。的位置，然后找出其在新投影面上的投影。V/H 体系变为体系变为V1/H 体系体系c1b1a1bcabacX一、换面法原理及规律一、换面法原理及规律新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：1 1新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。2 2新投影面必须垂直于一个不变投影面。新投影面必须

4、垂直于一个不变投影面。（二）、（二）、新投影面的选择原则新投影面的选择原则1点的一次变换点的一次变换（变换（变换V面）面）X1V1a1（三）、点的投影变换规律（三）、点的投影变换规律a1X1 V1a1X1HV1 V1a1点的投影变换有什么规律？点的投影变换有什么规律？ 点的投影变换规律点的投影变换规律（1 1） 点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。（2 2） 点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到旧轴的距离点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到旧轴的距离。练习：练习：41 求点求点A和和B在新投影体系在新投影体系V1/H中的投影。中的

5、投影。baabXVHXHV11a1b1H1X1 2点的一次变换（变换点的一次变换（变换H面）面）X1H1Va1a1a23 点的两次变换点的两次变换X2H2V12X2a2二、六个基本问题 （一）（一） 把一般位置直线变为把一般位置直线变为投影面平行线投影面平行线 1 1次次 （二）（二） 把把投影面平行线投影面平行线变为变为投影面垂直线投影面垂直线 1 1次次 （三）（三） 把把一般位置直线一般位置直线变为变为投影面垂直线投影面垂直线 2 2次次 （四）（四） 把一般位置平把一般位置平面面变为变为投影面垂直面投影面垂直面 1 1次次 （五）（五） 把把投影面垂直面投影面垂直面变为变为投影面平行面

6、投影面平行面 1 1次次 （六）（六） 把一般位置平把一般位置平面面变为变为投影面平行面投影面平行面 2 2次次线线面面 把线面转换成特殊位置，不但可以解决线面求实把线面转换成特殊位置，不但可以解决线面求实形、倾角问题，而且也是解决各种应用问题的基础！形、倾角问题，而且也是解决各种应用问题的基础！V1X1（一）（一） 把一般位置直线变为把一般位置直线变为投影面平行线投影面平行线 a1 b1a1b1 X1V1H求对哪个投影面的倾角求对哪个投影面的倾角就平行那个投影作图就平行那个投影作图Xcddc练习：练习：42 用换面法求线段用换面法求线段CD的实长和对的实长和对V面的倾角面的倾角VHcd11C

7、D实长HV1X1求对哪个投影面的倾角求对哪个投影面的倾角就平行那个投影作图就平行那个投影作图X1H1Va1 b1（二）（二） 把把投影面平行线投影面平行线变为变为投影面垂直线投影面垂直线 bb1X1a1b1 （三）（三） 把把一般位置直线一般位置直线变为变为投影面垂直线投影面垂直线V1X1 a1 b12a2 b2把一般位置直线把一般位置直线变为变为投影面垂直线投影面垂直线X2H2V1a2 b2X1HV1a1 b1 Xcddc练习：练习：42 用换面法把线段用换面法把线段CD转换成投影面的垂直线。转换成投影面的垂直线。VHcd11CD实长HV1X1X2H1V2d2(c2)a cXVHbb ac（

8、四）（四） 把一般位置平把一般位置平面面变为变为投影面垂直面投影面垂直面c ddDX1H1a1c1b1 d1 dX1H1V db1 a1c1d1求对哪个投影面的倾角就求对哪个投影面的倾角就做这个投影面的平行线，做这个投影面的平行线，并紧邻这个投影面作图并紧邻这个投影面作图Xacabc练习：练习：48 用换面法求用换面法求ABC对对H面的倾角面的倾角 HV1aaa111X1求对哪个投影面的倾角就求对哪个投影面的倾角就做这个投影面的平行线，做这个投影面的平行线，并紧邻这个投影面作图并紧邻这个投影面作图（五）（五） 把把投影面垂直面投影面垂直面变为变为投影面平行面投影面平行面 V1c1b1a1X1X

9、1V1c1b1a1a1c1b1X1c d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H1（六）（六） 把一般位置平把一般位置平面面变为变为投影面平行面投影面平行面 实形实形三、应用举例 （一）距离问题（一）距离问题 （二）角度问题（二）角度问题 （三）综合问题（三）综合问题 把线面转换成特殊位置解决一些实际度量把线面转换成特殊位置解决一些实际度量和位置问题：和位置问题：4 求点求点S S到平面到平面ABCABC的距离的距离 6 求两平行平面间的距离求两平行平面间的距离 5 求直线与平面间的距离求直线与平面间的距离1 求点求点C到直线到直线AB的距离的距离 3 求两直线求两直线ABA

10、B与与CDCD的公垂线的公垂线 2 求两平行线间的距离求两平行线间的距离（一）距离问题（一）距离问题 把线面转换成把线面转换成垂直于投影面垂直于投影面 即可解决距离问题！即可解决距离问题！角度角度到直线的距离到直线的距离把直线转换成投影把直线转换成投影面的面的垂直线垂直线换面换面2 2次次到平面的距离到平面的距离把平面转换成投影面把平面转换成投影面的的垂直面垂直面换面换面1 1次次c2c1b1a1X2H1V2H1X1Vkkk1b2 k2a2距离距离例题例题1 求点求点C到直线到直线AB的距离及垂足的距离及垂足例题例题2 求两平行线的距离求两平行线的距离H2V1Xlb2 (a2)d2 (c2)d

11、1a1b1c1V1HX1211121 1222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c121b例题例题3 求两直线求两直线AB与与CD的公垂线的公垂线 。 k1X1H1Vb1a1c1 d1s1例题例题4 求点求点S到平面到平面ABC的距离的距离距离距离垂足？垂足？kkVHX3 3. .两平面的夹角两平面的夹角（使交线使交线投影面，换面投影面，换面2 2次次） 2 2. .直线与平面的夹角直线与平面的夹角 3 3次次 （二）角度问题（二）角度问题1 1. .两直线的夹角两直线的夹角（即求平面的实形，换面（即求平面的实形，换面2 2次次）综合综合 求两直线的夹角就是求由它们构成的平面实

12、求两直线的夹角就是求由它们构成的平面实形（形（投影面平行面投影面平行面），当有平面时先），当有平面时先把面转换把面转换成线（成线（投影面垂直面投影面垂直面）。）。 例题例题5 求求 ABC的实形的实形VX1H1c2b2a2a1(b1)c1H2V1X2例题例题6 直线直线AB与平面与平面CDE的夹角的夹角H3V2X3X2V2H1X1VH1b3e3c3c2d3a3e1b1e2b2c1a1d1a2d2ff通过变换使通过变换使AB与与投影面平行，投影面平行，CDE与投影面垂直。与投影面垂直。三次变换。三次变换。空间分析例题例题6 直线直线AB与平面与平面CDE的夹角的夹角H2V1X2Hv1X1c d

13、b a dacbd1c1a1d2b1c2a2 b2VHX例例7 求平面求平面ABC和和ABD的两面角。的两面角。空间及投影分析空间及投影分析： 由几何定理知：两面角为两平由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。两交线之间的夹角。 当两平面的交线垂直于投当两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。，直线间的夹角为所求。.（三）综合问题（三）综合问题 例例8 8 求平面求平面ABCABC与直线与直线DEDE的交点的交点 例例9 9

14、求平面求平面ABCABC与平面与平面DEFDEF的交线的交线 例例1111 E E点点在平面在平面ABCABC上，距离上，距离A A、B B为为1515，求点，求点E E的投影的投影 例例1010 E E到平面到平面ABCABC的距离为的距离为N N，求，求E E点的正面投影点的正面投影e e 例例1212 过过C C点作直线点作直线CDCD与与ABAB相交成相交成6060角角 例例1313 在直线在直线ABAB上找一点上找一点K,K,使使K K点到直线点到直线CDCD的距离等于的距离等于L L将其中一个面转换成投将其中一个面转换成投影面的影面的垂直面垂直面换面换面1次次 主要是主要是实形实形

15、（含角度）（含角度）和和距离距离问题的逆向应用：问题的逆向应用：例例14例例16例例15 例例1717 过过K K点作一直线与交叉两直线点作一直线与交叉两直线ABAB、CDCD相交相交例例1818归纳总结归纳总结: : 作业：作业：4-1、2、4、7、8、9、10、 11、12、13、14、15、161、掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。、掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。2、掌握用换面法求线段实长、平面实形及其对投影面倾角、掌握用换面法求线段实长、平面实形及其对投影面倾角的基本作图方法。（即六个基本问题）的基本作图方法。（即六个基本问题）3、掌握用换面法解决一般空

16、间几何元素间的定位和度量、掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。（距离、角度及其综合应用问题）问题。（距离、角度及其综合应用问题）点线面小结点线面小结 内容内容单一几何元素单一几何元素 从属关系从属关系 并列关系并列关系 点点点的投影规律点的投影规律 直线直线三类七种线的三类七种线的投影特性投影特性直角直角法求一般法求一般线实长、倾角线实长、倾角直线上的点的直线上的点的投影特性投影特性直线直线直线直线直线直线直线直线直线直线 直线直线直线直线直线直线 平面平面三类七种面的三类七种面的投影特性投影特性平面上的点和平面上的点和线的作图方法线的作图方法直线直线平面平面平面平面平面平面换

17、面法换面法 求线段实长求线段实长求平面实形求平面实形投影面倾角投影面倾角 距离问题距离问题 夹角问题夹角问题 相交问题相交问题投影特性投影特性求交点（线）求交点（线）判别可见性判别可见性综合应用综合应用基本问题基本问题（3）3（1） 例题例题8 求平面求平面ABC与直线与直线DE的交点的交点a1fVH1X1b1c1d1e1kk1f 作作X1轴垂直于轴垂直于a f k2121434作图步骤：作图步骤：1.在三角形平面在三角形平面ABC上作正平线上作正平线AF ；2.作作X1轴垂直于轴垂直于a f ；3. 求三角形平面求三角形平面ABC和和DE在垂直于在垂直于AF的的新投影面上的投影新投影面上的投

18、影a1b1c1和和d1e1； 4.求三角形平面求三角形平面ABC和和DE的交点在新投的交点在新投影面上的投影影面上的投影k1，再，再求出求出k和和k；5.利用重影点的特点利用重影点的特点判别可见性。判别可见性。 例题例题9 求平面求平面ABC与平面与平面DEF的交线的交线HX1V1e1f1d1b1c1 a11mnmn1m1nc作作X1轴垂直于轴垂直于a 11eN ddX1VH1k1e1例题例题10 已知已知E到平面到平面ABC的距离为的距离为N，求，求E点的正面投影点的正面投影e 。b1a1c1d1V1x1HLLaVxHkkbbacck1b1c1a1例例16已知三角形已知三角形ABC的的H面投

19、影和面投影和BC边的边的V面投影，点面投影，点K到到ABC平面的距离为定长平面的距离为定长L。试补全。试补全ABC平面的平面的V面投影。面投影。变换思路：变换思路：新投影面新投影面实距实距P作图步骤：作图步骤：1.1.设新轴垂直于设新轴垂直于bcbc；2.2.作图得作图得bb1 1cc1 1 kk1 1；3.3.以以kk1 1为圆心，为圆心，L L为半径作圆；为半径作圆；4.4.过过bb1 1cc1 1作圆的切线，作圆的切线，aa1 1必在此线上；必在此线上；5.5.返回。返回。例题例题11 已知已知E点点在平面在平面ABC上，距离上，距离A、B为为15，求点，求点E的投影。的投影。 d db

20、1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2空间及投影分析空间及投影分析：ABAB与与CDCD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（6060），），因此需将因此需将ABAB与与C C点所确定的平面变换成投影面平行面。点所确定的平面变换成投影面平行面。例例12 过过C点作直线点作直线CD与与AB相交成相交成60角角。 d X1HP1X1P1P2ab a c b XVHc作作 图：图：c2c1a1 b1a2d2db2 几个解？几个解？两个解！两个解！ 已知点已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，上，求等边三角形的投影。求等边三角形的投影。思考：思考：如何解？如何解？解法相同！解法相同！60D点的投影点的投影如何返回？如何返回？.mabba