北师大版九下数学《垂径定理》

1、3.3垂径定理（垂径定理（2）定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD =BD.条件条件CD为直径为直径CDABCD平分弧平分弧ADBCD平分弦平分弦ABCD平分弧平分弧ACB结论结论复习回顾 CDAB,AB是是 O的一条弦的一条弦, 且且AM=BM. 你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系? 与同伴说说你的与同伴说说你的想法和理由想法和理由.过点过点M作直径作直径CD.O下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗? 如果是如果是,其对称轴是什

2、么其对称轴是什么?小明发现图中有小明发现图中有:CD由由 CD是直径是直径AM=BM可推得可推得 AC=BC, AD=BD. MAB探究新知定理定理1：平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧.思考：思考：平分弧的直径会垂直平分弧所对的弦吗？平分弧的直径会垂直平分弧所对的弦吗？ CDAB, 你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系? 与同伴说与同伴说说你的想法和理由说你的想法和理由.O下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗? 如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?小明发现图中有小明发现图中有:CD由由 CD是直径是

3、直径AC=BC可推得可推得 AD=BD. MABAB是是 O的一条弧的一条弧,且且AC=BC. AM=BM定理定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?如图如图, 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说直线来说. 如果在下列五个条件中如果在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径, AM=BM, CDAB, AC=BC, AD=BD.OABCDM条件条件结论结论命题命题垂直于弦的直径平

4、分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且并且平分弦和所对的另一条弧平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平

5、分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于垂直于弦弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.（1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平分弦所对优弧）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧做一做做一做（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧弧.( )（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心经过圆心.( )（3）不与直径垂直的弦必不被这条直径平）

6、不与直径垂直的弦必不被这条直径平分分.( )（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧两条弧( )（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.（7）平分弦的直线，必定过圆心）平分弦的直线，必定过圆心.（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦条直线垂直这条弦.ABCDO(6)ABCDO(7)ABCDO(8)（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径）弦的垂直平分线一定是圆的直径.（10）

7、平分弧的直线，平分这条弧所对的）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦弦.（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.ABCO(9)ABCDO(10)ABCDO(11)E例例3、1300多年前多年前, 我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥拱是圆弧形的桥拱是圆弧形, 它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.02 m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离, 也叫弓形高也叫弓形高)为为7.23m, 求桥求桥拱的半径拱的半径(精确到精确到0.1m).例题探究解：解：如图，用如图，用 表示桥拱，表示桥拱， 所在圆的圆心

8、为所在圆的圆心为O，半径为，半径为Rm，经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理，据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高.由题设由题设ABABABAB37.02,7.23,ABCDABAD21137.0218.51,2DCOCOD7.23.R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA22218.51(7.23) .RR即解得解得 R27.3（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.3m.OABCRD37.027.23变型：变型：如

9、图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧即图中弧CD,点点O是弧是弧CD的圆心的圆心),其中其中CD=600m, E为弧为弧CD上的一点上的一点,且且OECD垂足为垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径.解解: 连接连接OC.设弯路的半径为设弯路的半径为RmOCDEFOF=(R-90)m.OECD,Q).(3006002121mCDCF得根据勾股定理,OCCFOF222.90300222RR.545,R得解这个方程.545m这段弯路的半径约为船能过拱桥吗 如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米, 拱拱

10、顶高出水面顶高出水面2.4米米. 现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形米、船舱顶部为长方形并高出水面并高出水面2米的货船要经过这里米的货船要经过这里, 此货船能顺利通过此货船能顺利通过这座拱桥吗？这座拱桥吗？ 解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱, 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,半径为半径为Rm,经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理据垂径定理,D是是AB的中点的中点,C是是 的中点的中点,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得ABABABAB. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4 . 2(6 . 3222RR即解得解得 R3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或、圆是轴对称图形，其对称轴是