初中数学中的分类思想方法

1、初中数学中的分类思想方法初中数学中的分类思想方法 北京市团结湖三中北京市团结湖三中 付长虹付长虹20102010年年2 2月月2828日日 所谓所谓分类讨论分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答得到整个问题的解答 实质上，分类讨论是实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零化整为零，各个击破，再积零为整为整”的策略的策略. 简单地说，

2、简单地说，把研究的对象，按照一定的标准，划分成把研究的对象，按照一定的标准，划分成为几种情况或几个部分，逐一进行研究和解决的方法叫做为几种情况或几个部分，逐一进行研究和解决的方法叫做分类讨论法。分类讨论法。一、分类思想方法定义与特点一、分类思想方法定义与特点 分类讨论首先是分类，没有正确的分类，就分类讨论首先是分类，没有正确的分类，就不可能有正确的讨论，而分类本身是一种逻辑上不可能有正确的讨论，而分类本身是一种逻辑上的划分。的划分。 划分是揭示概念外延的逻辑方法，逻辑划分划分是揭示概念外延的逻辑方法，逻辑划分原则是进行逻辑划分的依据，也是借以进行分类原则是进行逻辑划分的依据，也是借以进行分类的

3、标准。的标准。 因此，弄清划分的依据于规则是正确进行分因此，弄清划分的依据于规则是正确进行分类讨论的基础。类讨论的基础。 分类讨论法的理论依据：分类讨论法的理论依据：逻辑划分原则逻辑划分原则二、二、分类讨论法的理论依据分类讨论法的理论依据二、二、分类讨论法的理论依据分类讨论法的理论依据l逻辑划分原则是：逻辑划分原则是： 一是子项外延之和等于母项的外延；二是一个一是子项外延之和等于母项的外延；二是一个划分过程只能有一个标准；三是划分出的子项必划分过程只能有一个标准；三是划分出的子项必须全部列出；四是划分必须按属种关系分层逐级须全部列出；四是划分必须按属种关系分层逐级进行，不可以越级。进行，不可以

4、越级。 l划分的规则：划分的规则：1 .划分后各个子项应当互不相容划分后各个子项应当互不相容（不重）。（不重）。2.划分后各个子项必须穷尽母项划分后各个子项必须穷尽母项（不漏）。（不漏）。3.每次划分都应按同一标准。每次划分都应按同一标准。 规则规则1 1：划分后各个子项应当互不相容划分后各个子项应当互不相容（不重）。（不重）。 从集合的角度看，划分后的子集两两交集均为空集。从集合的角度看，划分后的子集两两交集均为空集。 例如例如：矩形、菱形、正方形都是平行四边形，它们的：矩形、菱形、正方形都是平行四边形，它们的关系如图所示关系如图所示 如果把平行四边形分为矩形、菱形、正方形三类，这如果把平行

5、四边形分为矩形、菱形、正方形三类，这其中就有三处重叠（交集不空），不符合规则其中就有三处重叠（交集不空），不符合规则1。划分规则举例：划分规则举例： 规则规则2 2：划分后各个子项必须穷尽母项：划分后各个子项必须穷尽母项（不漏）。（不漏）。 从集合的角度看，划分后所有的子集的并从集合的角度看，划分后所有的子集的并集集应该等应该等于是全集。于是全集。 例如例如：自然数可以分为奇数和偶数两类。：自然数可以分为奇数和偶数两类。 如果把自然数分为素数与合数两类，就漏掉了自然如果把自然数分为素数与合数两类，就漏掉了自然数数1，因为，因为1既不是素数也不是合数。既不是素数也不是合数。 从集合的角度看，划分

6、后两个的子集的并不等于全集，从集合的角度看，划分后两个的子集的并不等于全集，因此，这样分类不符合规则因此，这样分类不符合规则2。 划分规则举例：划分规则举例： 规则规则3 3：每次划分都应按同一标准。：每次划分都应按同一标准。 分类的标准直接影响到分类的结果，如果在一次分类分类的标准直接影响到分类的结果，如果在一次分类中标准是变化的，那么这个分类就失去了意义。中标准是变化的，那么这个分类就失去了意义。例如例如：三角形可以如下分类：三角形可以如下分类 锐角锐角 有两边相等的有两边相等的 直角直角 三边都不等的三边都不等的 钝角钝角 按边分按边分 按角分按角分 如果把三角形分为等边三角形、等腰三角

7、形和直角三如果把三角形分为等边三角形、等腰三角形和直角三角形，就没有按同一标准进行划分，不符合规则角形，就没有按同一标准进行划分，不符合规则3。 划分规则举例：划分规则举例：三、分类思想方法的作用三、分类思想方法的作用l可化繁就简，化难为易。可化繁就简，化难为易。l可使思维有序、有条理。可使思维有序、有条理。l可使思维全面、缜密。可使思维全面、缜密。人教版人教版3.2解一元一次方程（一）中的例解一元一次方程（一）中的例4如下：如下：例例4 根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题。列问题。一个月内在本地通话一个月内在本地通话200分钟和分钟和350

8、分钟，按方分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？式一需交费多少元？按方式二呢？对于某个本地通话时间，会出现按两种计费方式对于某个本地通话时间，会出现按两种计费方式一样多吗？一样多吗？引申：引申：怎样选择计费的方式？怎样选择计费的方式？作用举例作用举例: 化繁就简，化难为易。化繁就简，化难为易。25（5分）分） 如图，如图，OC是是AOB的平分线，且的平分线，且AOD90（1）图中）图中COD的余角是的余角是 ；（2）如果）如果COD= ；求求BOD的度数的度数.4524，朝阳区朝阳区0910年七上期末考试年七上期末考试作用举例作用举例:使思维有序、有条理使思维有序、有条理23.23.在在AB

9、CABC中，中，AB=AC,AB=AC,点点D D是直线是直线BCBC上的一点（不与点上的一点（不与点B B、C C重合），以重合），以ADAD为一边在为一边在ADAD的右侧作的右侧作ADEADE，使，使AD=AE, AD=AE, DAE=BAC,DAE=BAC,连接连接CE.CE.(1)(1)如图，点如图，点D D在线段在线段BCBC上，若上，若 BAC=90BAC=90，则，则BCEBCE等于等于 度；度；(2)(2)设设BAC=BAC=，BCE=.BCE=.如图，若点如图，若点D D在线段在线段BCBC上移动，则上移动，则与与之间有怎样之间有怎样的数量关系？请说明理由；的数量关系？请说明

10、理由；若点若点D D在直线在直线BCBC上移动，则上移动，则与与之间有怎样的数量之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论关系？请直接写出你的结论. .(1)?E?A?B?C?D?E?B?C?A?D(2)朝阳区0910年八上期末考试作用举例作用举例当点当点D在射线在射线BC上时，上时，+=180；当点当点D在射线在射线BC的反向延长线上时，的反向延长线上时，=?E?D?A?B?C?E?A?B?C?D?B?A?E?C?D作用举例：作用举例：使思维全面、缜密使思维全面、缜密25.25.如图，在直角坐标系中，点如图，在直角坐标系中，点A A的坐标为的坐标为(1,0)(1,0)，点，点B B在在y y轴

11、正半轴上，且轴正半轴上，且AOBAOB是等腰直角三角形，点是等腰直角三角形，点C C与点与点A A关于关于y y轴对称，过点轴对称，过点C C的一条直线绕点的一条直线绕点C C旋转，交旋转，交y y轴于点轴于点D D，交，交直线直线ABAB于点于点P P（x,yx,y），且点），且点P P在第二象限内在第二象限内. .(1)(1)求求B B点坐标及直线点坐标及直线ABAB的解析式；的解析式；(2)(2)设设BPDBPD的面积为的面积为S S，试用，试用x x表示表示BPDBPD的面积的面积S.S.xyBOA朝阳区0910年八上期末考试作用举例作用举例ABOxyCDP点点P在直线在直线AB上，则

12、上，则P(x，-x+1). 设过设过P、C两点的直线的解析式为两点的直线的解析式为y=kx+b.C(-1,0)在直线在直线y=kx+b上，上，-k+b=0.k=b, y=bx+b.点点P(x，-x+1)在直线在直线y=bx+b上，上，bx+b=-x+1,解得解得b= .点点D的坐标为（的坐标为（0， ）. 11xx 11xx 作用举例作用举例ABOxyCDPABOxyCDP点D的坐标为（0，?)11xx 作用举例作用举例 (1) 确定同一分类标准；确定同一分类标准； (2) 恰当地把对象整体进行分类，按照标准对分类做恰当地把对象整体进行分类，按照标准对分类做到到“既不重复又不遗漏既不重复又不遗

13、漏”； (3) 逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行； (4) 综合概括小结，归纳得出问题结论综合概括小结，归纳得出问题结论 确定分类标准，是分类讨论的重要一环。确定分类标准，是分类讨论的重要一环。四、四、分类讨论思想方法的步骤：分类讨论思想方法的步骤：五、隐含分类思想方法的教学内容五、隐含分类思想方法的教学内容1、数与式、数与式有理数的分类有理数的分类相反数相反数绝对值绝对值有理数的大小比较有理数的大小比较有理数的运算法则有理数的运算法则（1）有理数）有理数（2）实数）实数平方根、立方根平方根、立方根无理数的形式无理数的形式（3）式）式 式的分类式的分类

14、 分式的加减分式的加减实数的分类实数的分类 二次根式的化简二次根式的化简五、隐含分类思想方法的教学内容五、隐含分类思想方法的教学内容2、方程与不等式、方程与不等式方程的分类方程的分类不等式的性质不等式的性质分段函数分段函数一次函数、反比例函数、二次函数的图像性质一次函数、反比例函数、二次函数的图像性质不等式组的解集不等式组的解集3、函数、函数一元二次方程的解一元二次方程的解五、隐含分类思想方法的教学内容五、隐含分类思想方法的教学内容4、图形的认识、图形的认识线的分类线的分类面的分类面的分类垂线性质垂线性质三角形按边、按角的分类三角形按边、按角的分类角的分类角的分类图形的分类图形的分类三线八角三

15、线八角三角形高的位置三角形高的位置三角形外心的位置三角形外心的位置三角形全等的条件三角形全等的条件等腰三角形边和角计算等腰三角形边和角计算勾股定理的应用勾股定理的应用四边形的分类四边形的分类弦、弧的分类弦、弧的分类与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系圆周角定理圆周角定理五、隐含分类思想方法的教学内容五、隐含分类思想方法的教学内容5、图形与变换、图形与变换相似三角形的对应关系相似三角形的对应关系列举法列举法6、统计与概率、统计与概率六、初中阶段分类思想方法教学六、初中阶段分类思想方法教学 ?步骤：步骤：一、抓准时机，渗透分类的思想方法。一、抓准时机，渗透分类的思想方法。三、深化提高，三、深化提高

16、， 应用分类的思想方法研究问题。应用分类的思想方法研究问题。二、启发诱导，二、启发诱导， 揭示分类思想方法的本质。揭示分类思想方法的本质。1.?在概念的学习中，渗透分类的思想。2.在法则的探究中，渗透分类的方法?。3.在图形的求解中，渗透分类的意识。1.根据问题的需要，进行分类。2.分类要有明确的标准。?1.根据字母的取值范围分类?2.根据几何图形的位置关系分类六、初中阶段分类思想方法教学六、初中阶段分类思想方法教学 ?策略：策略：1、根据字母的取值范围分类、根据字母的取值范围分类 二次根式的化简二次根式的化简方程的分类方程的分类不等式的性质不等式的性质一元二次方程的解一元二次方程的解一次函数

17、、反比例函数、二次函数的图像性质一次函数、反比例函数、二次函数的图像性质3策略举例策略举例4、5.6.?抛物线ya2c与y轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式（y2x23或y8x23）?策略举例策略举例六、初中阶段分类思想方法教学六、初中阶段分类思想方法教学 ?策略：策略：2、根据几何图形的位置关系分类、根据几何图形的位置关系分类垂线性质垂线性质三线八角三线八角三角形高的位置三角形高的位置三角形外心的位置三角形外心的位置三角形全等的条件三角形全等的条件等腰三角形边和角计算等腰三角形边和角计算勾股定理的应用勾股定理的应用四边形的分类四边形的分类与圆有关的位置关系与圆有关的

18、位置关系圆周角定理圆周角定理相似三角形的对应关系相似三角形的对应关系1.2.3.策略举例策略举例4.5.策略举例策略举例已知已知 O的半径为的半径为5cm，AB、CD是是 O的的弦，且弦，且AB=8cm，CD=6cm，ABCD，则，则AB与与CD之间的距离为之间的距离为_ （1cm或或7cm）已知已知 O1和和 O2相切于点相切于点P，半径分别为，半径分别为1cm 和和3cm则则 O1和和 O2的圆心距为的圆心距为_ （2cm或或4cm）6.7.策略举例策略举例8.9.策略举例策略举例七、分类思想方法在新课探究中的应用举例七、分类思想方法在新课探究中的应用举例 探究三角形全等的条件探究三角形全

19、等的条件 问题问题 ：探究三角形全等的条件探究三角形全等的条件 标准：标准：1、元素个数；、元素个数；2、元素内容、位置、元素内容、位置 分类：分类：6大类，大类，14小类小类研究：研究：证明证明 归纳：归纳：（1）判断两个三角形是否全等至少）判断两个三角形是否全等至少 需要三个条件；（需要三个条件；（2）能够判断两个）能够判断两个 三角形全等的方法有：三角形全等的方法有： SSS、SAS、ASA、AAS。 八、分类思想方法在中考综合题中的应用举例八、分类思想方法在中考综合题中的应用举例已知关于的一元二次方程已知关于的一元二次方程 有实数根，为有实数根，为正整数正整数.（1）求）求k的值；的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次的二次函数函数 的图象向下平移的图象