微分方程式的建立与求解

1、XX主要内容物理系统的模型物理系统的模型微分方程的列写微分方程的列写n 阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法X一物理系统的模型许多实际系统可以用线性系统来模拟。许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程线性常系数微分方程来描述。来描述。X二微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据对于电路系统，主要是根据元件特性

2、约束元件特性约束和和网络拓扑网络拓扑约束约束列写系统的微分方程。列写系统的微分方程。 元件特性约束：元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。X例2-2-1电感电感电阻电阻 tvRtiR1 d1 tLvLti电容电容 ttvCtiCdd 根据根据KCL titititiCLR

3、S 代入上面元件伏安关系，并化简有代入上面元件伏安关系，并化简有 ttitvLttvRttvCdd1dd1ddS22 这是一个代表这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。并联电路系统的二阶微分方程。 求并联电路的端电压求并联电路的端电压 与激励与激励 间的关系。间的关系。 tv tis tisRRiLLiCciab tvX这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。 两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以

4、用高阶微分方程表示。可以用高阶微分方程表示。 例2-2-2msFf机械位移系统，质量为机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧的刚体一端由弹簧 tv牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为擦力为 ，外加牵引力为，外加牵引力为 ，其外加牵引力，其外加牵引力 与与刚体运动速度刚体运动速度 间的关系可以推导出为间的关系可以推导出为 tFSf tFS ttFtkvttvfttvmddddddS22 kX三n 阶线性时不变系统的描述 一个线性系统，其激励信号一个线性系统，其激励信号 与响应信号与响应信号 之间之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来

5、描述的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述)(te)(tr)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为均为常数，此方程为常系数的常系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。X四求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：分析系统的方法：列写方程，求解方程。列写方程，求解方程。 变变换换域域法法利利用用卷卷积积积积分分法法求求解解零

6、零状状态态可可利利用用经经典典法法求求解解零零输输入入应应零零输输入入响响应应和和零零状状态态响响经经典典法法解解方方程程网网络络拓拓扑扑约约束束根根据据元元件件约约束束列列写写方方程程: ,:求解方程时域经典法就是：求解方程时域经典法就是：齐次解齐次解+特解。特解。 X 我们一般将激励信号加入的时刻定义为我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应，响应为为 时的方程的解，初始条件时的方程的解，初始条件 0t齐次解：齐次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式 nktkkA1e 注意重根情况处理方法。注意重根情况处理方法。特特 解：解：根据微分方程右端函数

7、式形式，设含待定系根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程代入原方程，比较系数，比较系数 定出特解。定出特解。1122d)0(d,d)0(d,d)0(d, )0( nntrtrtrr 初始条件的初始条件的确定确定是此课程要解决的问题。是此课程要解决的问题。经典法kA全全 解：解：齐次解齐次解+特解，由特解，由初始条件初始条件定出齐次解定出齐次解 。X例2-2-3 的的齐齐次次解解。求求微微分分方方程程tetrtrttrttrt 12dd16dd7dd2233系统的特征方程为系统的特征方程为 01216723 0322 3 , 221 重重根根 tthAAt

8、Atr33221ee 特征根特征根因而对应的齐次解为因而对应的齐次解为X例2-2-4 如果已知：如果已知： 分别求两种情况下此分别求两种情况下此方程的特解。方程的特解。 tettetrttrttr dd3dd2dd22 ,e 2 ; 12ttette 给定微分方程式给定微分方程式 3221pBtBtBtr 为使等式两端为使等式两端 ,2 , 122tttte 得得到到代代入入方方程程右右端端将将平衡，试选特解函数式平衡，试选特解函数式 将此式将此式代入方程代入方程得到得到 为待定系数。为待定系数。这里这里321, , BBB ttBBBtBBtB2322 34323212121 X等式两端各对

9、应幂次的系数应相等，于是有等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有 032223413321211BBBBBB联解得到联解得到2710 ,92 ,31321 BBB所以，特解为所以，特解为 271092312p tttrX 这里，这里，B是待定系数。是待定系数。 代入方程后有：代入方程后有： 。可可选选很很明明显显时时当当ttBtrtee , ,e tttttBBBeee3e2e 31 B。于于是是，特特解解为为te31 相相加加即即得得方方程程的的完完全全解解和和特特解解上上面面求求出出的的齐齐次次解解trtrph trAtrnitip1ie (2)X几种典型激励函数相应的特解激励函数激励函数

10、e(t)响应函数响应函数r(t)的特解的特解)(常常数数E)(常常数数Bpt1121 ppppBtBtBtBt etB e t cos t sin tBtB sincos21 tttp sine tttp cosetDtDtDtDtBtBtBtBtpppptppppsinecose11211121X例2-2-5 已知激励信号已知激励信号e(t)=sin(2t)u(t)，初始时刻，电容端电压，初始时刻，电容端电压均为零，求输出信号均为零，求输出信号v2(t)的表达式。的表达式。X（1）列写电路的微分方程0),2sin(6)(6)(7)(22222tttvdttdvdttvdX(2)求系统的完全响应系统的特征方程系统的特征方程0672061 即特征根特征根6 , 121齐次解齐次解 ee62