指数对数函数

1、指数函数、对数函数一、计算：例1.化简(1) (2)(3)解：(1)x的指数是所以原式=1(2)x的指数是=0所以原式=1(3)原式=例2.若，求解：因为 所以f(x)+f(1-x)=1=例3.已知m,n为正整数，a>0,a¹1,且求m,n解：左边= 原式为loga(m+n)=logamn得m+n=mn即(m-1)(n-1)=1因为m,nÎN，所以从而m=n=2二、比较大小例1.试比较与的大小解：令121995=a>0则¸=所以>例2.已知函数f(x)=logax (a>0,a¹1,xÎR+)若x1,x2ÎR+

2、,试比较与的大小解：f(x1)+f(x2)=loga(x1x2)x1,x2ÎR+, (当且仅当x1=x2时，取“=”号)，当a>1时，有，即 (当且仅当x1=x2时，取“=”号)当a>1时，有，即 (当且仅当x1=x2时，取“=”号)例3.已知y1=，y2=，当x为何值时(1)y1=y2 (2)y1>y2 (3)y1<y2解：由指数函数y=3x为增函数知(1)y1=y2的充要条件是：2x2-3x+1=x2+2x-5 解得x1=2,x2=3(2)y1>y2的充要条件是：2x2-3x+1>x2+2x-5 解得x<2或x>3(3)y1<

3、y2的充要条件是：2x2-3x+1<x2+2x-5 解得2<x<3三、证明例1.对于自然数a,b,c (a£b£c)和实数x,y,z,w若ax=by=cz=70w (1) (2)求证：a+b=c证明：由(1)得：把(2)代入得：abc=70=2´5´7,a£b£c由于a,b,c均不会等于1，故a=2,b=5,c=7从而a+b=c例2.已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足q-p=29，求证：3<A<4证明：由于p,q为素数，其差q-p=29为奇数，p=2,q=31A=6lg2+lg31=lg(

4、26×31)=lg19841000<1984<10000故3<A<4例3.设f(x)=logax (a>0,a¹1)且 (q为锐角)，求证：1<a<15证明：q是锐角，从而a>1又f(15)=sinq+cosq=1故a<15 综合得：1<a<15例4.已知0<a<1,x2+y=0，求证：证：因为0<a<1，所以ax>0,ay>0由平均值不等式故四、图象和性质例1.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b解：在直角坐标系内分别

5、作出函数y=2x和y=log2x的图象，再作直线y=x和y= -x+3，由于y=2x和y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程log2x+x-3=0的根a就是直线y= -x+3与对数曲线y=log2x的交点A的横坐标，方程2x+x-3=0的根b就是直线y= -x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标设y= -x+3与y=x的交点为M，则点M的横坐标为(1.5,1.5)，所以a+b=2xM=3 log2a+2b=2yM=3例6.设f(x)=min(3+，log2x),其中min(p,q)表示p、q中的较小者，求f(x)的最大值解：易知f(x)的定义域为(0,+¥)

6、因为y1=3+在(0,+¥)上是减函数，y2=log2x在(0,+¥)上是增函数，而当y1=y2，即3+=log2x时，x=4，所以由y1=3+和y2=log2x的图象可知故当x=4时，得f(x)的最大值是2另解：f(x)£3+=3- (1) f(x)=log2x (2)(1)´2+(2)消去log2x，得3f(x)£6，f(x)£2又f(4)=2,故f(x)的最大值为2例7.求函数的最小值解：由1-3x>0得，x<0,所以函数的定义域为(-¥,0)令3x=t,则tÎ(0,1)，于是故当x= -1时，得

7、y的最小值-2+2log23五、方程和不等式例1.解方程(1)x+log2(2x-31)=5 (2) 2lgx×xlg2-3×xlg2-21+lgx+4=0解：(1)原方程即：log22x+log2(2x-31) =5log22x(2x -31)=5 (2x)2-31×2x=32解得：2x=32, x=5(2)原方程即：(2lgx)2-5×2lgx+4=0解得：x1=100,x2=1例2.设a>0且a¹1,求证：方程ax+a-x=2a的根不在区间-1,1内解：设t=ax,则原方程化为：t2-2at+1=0 (1)由D=4a2-4³

8、;0得a³1,即a>1令f(t)= t2-2at+1f(a)=a2-2a2+1=1-a2<0所以f(t)的图象与横轴有的交点的横坐标在之外，故方程t2-2at+1=0在之外有两个实根，原方程有两实根且不在区间-1,1内例3.解方程：lg2x-lgx-2=0 (其中x表示不大于实数x的最大整数)解：由x的定义知，x£x，故原方程可变为不等式：lg2x-lgx-2£0即-1£lgx£2当-1£lgx<0时，lgx= -1，于是原方程为lg2x=1 当0£lgx<1时，lgx=0，原方程为lg2x=2，均不

9、符合lgx=0当1£lgx<2时，lgx=1，原方程为lg2x=3，所以lgx=，当lgx=2时，x=100所以原方程的解为x1=例4.当a为何值时，不等式有且只有一解解：易知：a>0且a¹1，设u=x2+ax+5，原不等式可化为(1)当0<a<1时，原不等式为 (1)由于当u³0时，与均为单调增函数，所以它们的乘积也是单增函数因为f(4)=log3(2+1)×log5(4+1)=1所以(1)等价于u³4,即x2+ax+5³4此不等式有无穷多解(2)当a>1时，不等式化为 (2)由f(4)=1知，(2)等价于0£u£4，即0£x2+ax+5£4从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解即D=a2-4=0，a=2时，不等式0£x2+ax+5£4有唯一解x= -1综上所述，当a=2时原不等式