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1、1用内点法求用内点法求2212min( )fxxx1s.t.( )10gx x的约束极值点。的约束极值点。解解: 用内点法求解该问题时，首先用内点法求解该问题时，首先构造内点惩罚构造内点惩罚函数函数: 22121( , )1krrxxxx用解析法求函数的极小值，运用极值条件：用解析法求函数的极小值，运用极值条件： 21321111122220124202020kkrxxxxxxrxxx即：即： 3211122420krxxxx2由图可见由图可见, 在可行域内在可行域内, x 1 随着随着 r 的减小而减小的减小而减小 . 当当x 2 = 0 时时, 目标函数值随着目标函数值随着 x 1 的减小

2、而减小的减小而减小. 当当 r 0 时时, 惩罚函数的最优点趋近于原目标函数惩罚函数的最优点趋近于原目标函数的极值点的极值点 1 , 0 x1x2-0.500.511.52-3-2-101234x1 r(k) 3 用外点法求解下列有约束优化问题用外点法求解下列有约束优化问题3121min( )(1)3fxxx1122s.t.( )10( )0gxgx xx解：惩罚函数为：解：惩罚函数为： 32212121( , )(1)min(0,1)min(0,)3rxxrxrxx31212321211232122123221212121(1)( )0,( )031(1)(1)( )0,( )031(1)(

3、)( )0,( )031(1)(1)()( )0,( )03xxggxxr xggxxr xggxxr xr xggxxxxxxxx求偏导，得求偏导，得 411.522.533.544.5500.511.522.533.5410101020202030303040404050505060606070707052111211111(1)( )10(1)2 (1)( )10 xgxxr xgxx xx2222221( )012( )0gxrxgxxxx无约束目标函数极小化问题的极值点系列为：无约束目标函数极小化问题的极值点系列为： 1*121*210( )141114/000( )0.5/0gx

4、rrrrrrggx rrg 22不成立xxxx当惩罚因子渐增时，由下表可看出收敛情况。当惩罚因子渐增时，由下表可看出收敛情况。6*1x*2x*( ) r*( )frr0.01-0.80975-50.00000-24.9650-49.99770.1-0.45969-5.00000-2.2344-4.947410.23607-0.500000.96310.1295100.83216-0.050002.30682.000110000.99800-0.000502.66242.6582108/38/37惩罚项罚因子初始点寻得边界最优点内点法域内(边界内侧)垒墙递减必须域内在域内逼近外点法域外(边界外侧

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