数学建模论文_不确定环境下供应链的生产与订购决策问题

1、2010年第七届苏北数学建模联赛题 目 不确定环境下供应链的生产与订购决策问题 摘要本文研究了不同条件下商品销售商（二级生产商）的最优订购量和商品生产商（一级生产商）的最优计划产量。在只有一个销售商和一个生产商的供应链中，当市场的需求量为确定值时，我们分别建立了销售商和生产商的平均支出费用模型，然后在“平均支出费用最小”的情况下，推导出了“商品销售商的最优订购量”和“商品生产商的最优计划产量”的表达式，并利用题目中所给出的数据进行了实例计算。当市场需求量为随机量时，我们采用均匀分布表示出了其概率密度，然后构造了销售商和生产商的期望收益函数。当期望收益函数取最大值时，我们分别推导出了“商品销售商

2、的最优订购量”和“商品生产商的最优计划产量”的表达式，同时也进行了实例计算。针对由一个一级商品生产商和一个二级商品生产商所组成的两级不确定供应链的情况，当市场需求量为确定量时，我们用概率密度函数刻画出随机因素“实际生产量”的数学特征，然后构造出了生产商的期望收益函数。当期望收益函数取极大值时，我们分别推导出了“二级商品生产商的最优订货量”和“一级商品生产商的最优计划产量”的表达式，并进行了实例计算。在此基础上，我们还给出了当市场需求量为随机量时上述模型的改进方案。关键词：供应链 概率密度 最优产量 最优订购量目录1. 问题的重述-22. 问题的分析-23. 模型假设-34. 符号说明-35.

3、问题一模型的建立与求解-4 5.1 定义-4 5.2 “销售商的最优订购量”模型的建立-4 5.3 “生产商的最优计划产量”模型的建立-66. 问题二模型的建立与求解-8 6.1销售商最优订购量模型-8 6.2生产商的最优计划产量-9 6.3对模型进行数值检验-117. 问题三模型的建立与求解-117.1确定市场需求下二级生产商的最优订购量-12 7.2确定市场需求下一级生产商的最优订购量-13 7.3数值检验-147.4当市场需求量为随机量时对模型的修正-158. 模型的评价、改进-15 8.1模型的评价-158.2模型的改进-159. 参考文献-16一、问题的重述供应链是一种新的企业组织形

4、态和运营方式,包括从客户需求信息开始经过原材料供应、生产批发销售等环节,到最后把产品送到最终用户的各项制造和商业活动。供应链运作过程中需要应对生产和需求的不确定性。在不确定环境下，研究供应链成员的生产与订购决策问题，具有重要的理论和现实意义。（1）考虑包含一个生产商和一个销售商的供应链，即销售商向生产商订购商品，生产商将商品按批发价格批发给销售商，销售商将商品按销售价格销售给最终顾客。若假设商品的最终需求量是确定的，而生产商生产商品量是不确定的，即由于受到各种随机因素的影响，商品实际产量可能不等于计划产量，呈现随机波动。请建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。根据建立的数

5、学模型，以及所提供的数据，求解以下供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。（2）在问题（1）的供应链中，如果商品的市场需求量也是随机的，即市场需求量是一个随机变量，请建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。根据建立的数学模型，以及所提供的数据，求解以下供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。（3）实际上，大多数供应链具有两级生产不确定性，即原产品（或原材料）生产的不确定性和产成品生产的不确定性，如石油、煤炭、钢铁等供应链中，一级生产商生产原产品(原油、原煤、铁矿石)，二级生产商(炼油厂、洗煤厂、钢铁厂)利用原材料生产成品；又如，在副食品生产中，农民种植农

6、产品，食品生产商利用农产品生产副食品。以上供应链中，一级生产商生产原产品（或原材料），二级生产商向一级生产商订购原产品（或原材料），并通过加工原产品（或原材料）生产产成品，进而销售给最终顾客，两级生产均具有不确定性。若假设产成品的市场需求量是确定的，请建立数学模型，研究在两级生产不确定的供应链中，二级生产商（产成品生产商）的最优订购量和一级生产商（原材料或原产品生产商）的最优计划产量。根据建立的数学模型，以及所提供的数据，求解以下供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。另外，在两级生产不确定的供应链中，如果产成品的市场需求量也是一个随机变量，如何改进你所建立的数学模型，确定二级生产商

7、的最优订购量和一级生产商的最优计划产量？二、问题的分析通过仔细分析题目，我们认为本题属于运筹学领域的最优化问题。题目要求我们在不同的条件下分别建立模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划生产量。第一问要求我们在“市场需求”为确定量的条件下，建立模型求解销售商的最优订购量和生产商的最优计划生产量。由于此供应链中只有一个销售商和一个生产商，因此我们可以将“使单位时间的费用最小”作为目标，建立模型，即寻找一个最优订货周期，然后在这个周期内，根据“使单位时间内支出费用最小”求得销售商的最优订货量。在制定生产商的最优计划生产量时，我们只需将由随机因素引起的实际产量的波动,通过求期望对其进行量化，就

8、可以研究如何确定最优计划生产量。第二问中需解决的问题是，当“市场需求”也是随机量时，如何求得销售商的最优订购量和生产商的最优计划生产量。当市场需求为随机量时，我们需要通过某些概率密度函数来对其进行研究。由于市场需求存在随机性，因而销售商单位时间的收入也具有随机性。因此，要作为优化模型的目标函数，不能是销售商或生产商每天的收入，而应该是其长期收入的平均值。根据概率论中的大数定律，这相当于当这一供应链达到稳定状态时，销售商或生产商每天的收入。综上，我们可以以“长期收入的平均值”为目标建立优化模型。实际上，大多数供应链具有两级生产不确定性，即原产品（或原材料）生产的不确定性和产成品生产的不确定性。因

9、此，第三问要求我们同时考虑上述两方面的因素，建立模型确定“二级生产商的最优订购量”和“一级生产商的最优计划产量”。在本问中，由于需要考虑的因素较多，因此我们可以将所求得的“当销售商或生产商收益的期望值最大时”所对应的订购量和生产量，作为二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量。三、模型假设1. 只研究一个销售周期内的相关问题，且不考虑本周期的商品储存到下一周期所产生的库存费用。2. 假设销售商一向生产商提交订单，就可以马上得到商品（注：销售商得到的商品的数目不一定等于订单上的数目）3. 假设本题中所涉及的供应链已经处于相对稳定的状态，即生产商和销售商都不会有突发事件发生，例如：生产商或

10、销售商退出该供应链等。4. 只讨论销售商的单位商品库存成本，而不考虑生产商的单位商品库存成本。5. 假设销售商以恒定的速率向消费者售出商品。6. 假设生产商以恒定的生产速率生产产品。四、符号说明销售周期：商品售完的时刻：单位商品生产成本：单位商品库存成本：单位商品批发缺货成本：单位商品销售缺货成本：单位商品批发价格：单位商品销售价格：市场需求率：生产商的计划产量：生产商的实际产量：销售商的订购量：第一问中实际生产量的期望：时刻的销售商的商品储存量：销售商的订货量：时刻的生产商的商品储存量：单位原产品生产成本： 单位原产品库存成本: 单位原产品缺货成本: 单位产成品生产加工成本: 单位产成品库存

11、成本: 单位产成品缺货成本: 单位原产品价格: 五、问题一模型的建立与求解5.1定义：5.1.1销售周期：以“天”为时间单位，设销售商在时刻得到并开始销售一批所订购的商品，在时刻得到并开始销售下一批所订购的产品，则为一个销售周期，其中且。5.1.2总成本：销售商在一个销售周期内所产生的所有费用之和。5.2“销售商的最优订购量”模型的建立在构建第一问的模型时，考虑到题目中仅仅介绍了“只包含一个生产商和一个销售商的供应链”的基本信息，除此之外再无其它相关条件。因此，为了建立本问的模型，我们在参考相关专业书籍的情况下，结合本题的实际情况，认为条件可以归纳如下：首先，对于生产商，我们认为应该考虑的条件

12、有：单位商品生产成本、单位商品批发缺货成本，商品生产量的波动区间为。为简化求解计算，可设“商品生产量”服从参数为和的均匀分布：。其次，对于销售商，我们认为应该考虑的条件有：单位商品批发价格、单位商品销售价格、单位商品销售缺货成本、单位商品库存成本。另外，根据营销学的相关理论，我们了解到销售商的商品销售情况最终是由消费者的需求决定的，消费者的需求是市场的导向。因此，可以将“市场需求量”视为单位时间内的市场需求量，即为“市场需求率”，且为连续的、均匀的常数。由本问所给出的条件可知，商品市场需求量为400，即市场需求率。由于这种单周期产品的市场需求不确定将会对生产商和零售商的行为产生较大的影响，所以

13、我们认为无论是生产商还是销售商，在制定各自最优的策略时，都应该以市场需求为导向，而且应该对“销售商的最优订购量”和“生产商的最优计划产量”分别建立模型进行求解。基于以上分析，我们首先建立模型求解“销售商的最优订购量”。为了刻画某一个订购量是否为最优订购量，我们在参照经济学和营销学中的惯例的情况下约定：在本问中“销售商的最优订购量”是使销售商的总成本最小时所对应的订购量。对于销售商来说，在一个销售周期开始时，其所拥有的商品总量为订购量，即，随着时间的推移，销售商将以一个恒定的速率向消费者售出商品，由上文的分析可知，该速率等于商品市场需求率。由上文中总成本的定义，当销售商的某一订购量大于市场需求量

14、400时，该订购量所产生的商品库存成本和商品批发成本显然大于订购量为400时的这两项成本，因此订购量不会大于400。由上述分析可知，商品售完的时刻。上述过程的图像为：对于销售商来说，其总成本由商品批发成本、商品库存成本、商品销售缺货成本构成，表达式为 其中，为总成本，为单位商品批发价格，为销售商的订购量，为商品批发成本，为单位商品库存成本，为在一个销售周期中t时刻的销售商的储存量，且，为商品库存成本，为单位商品销售缺货成本，为商品销售缺货成本。求的是在一个销售周期中销售商的总成本，而当最小时，销售商每一天的成本也是最小的。因此，我们可以通过求解每天的最小总成本，进而得出销售商的最优订购量。具体

15、的推导、求解过程如下：第一步式除以销售周期得 其中，等式左边表示每一天的“总成本”，右边是是它的的具体表达式，因此不妨定义二元函数 为销售商每一天的总成本，即“日总成本”。第二步因为要求的极小值，所以可以采用求导进行求解。根据求解函数极值的方法，可以得出如下所示的方程组 第三步求解式可得最佳订货周期（即最佳销售周期），以及在一个销售周期内，销售商的最佳订购量的表达式 其中，为单位商品销售缺货成本， 为单位商品批发价格， 为单位商品库存成本。在实际情况中，当销售商提供了式所需要的参数后，就可以由式求得最优订购量。至此，求解第一问的“销售商最优订购量”的模型就建立起来了。下面建立求解“生产商最优计

16、划产量”的模型。5.3“生产商的最优计划产量”模型的建立对于生产商而言，我们依照研究销售商的思路，约定：生产商的最优计划产量是指使生产商的总成本最小时，所对应的产量。为了便于研究，我们假设生产商在一个销售周期开始的时刻开始生产产品，在该生产周期结束时恰好完成本次生产任务。上述生产过程用函数图像表示如下：生产商的总成本由商品生产成本，商品批发缺货成本以及商品库存成本构成，结合上图，可写出其数学表达式 其中，为生产商的总成本，为商品生产成本，为t时刻的生产商的储存量，且，为商品库存成本，为生产商的实际产量，且服从参数为和的均匀分布：，为商品批发缺货成本。求的是在一个销售周期中生产商的总成本，而当最

17、小时，生产商每一天的成本也是最小的。因此，我们可以通过求解每天的最小总成本，进而得出生产商的最优计划产量。因为为随机变量，因此我们使用的期望值来表示的取值的平均值。具体的推导、求解过程如下：第一步将代入式得 其中，是每一天的“总成本”，为生产商的生产周期，且，由概率论的知识可以求得。第二步因为要求的极小值，所以可以采用求导-进行求解。根据求解函数极值的方法，可以得出下式 第三步求解式可得生产商最优计划产量 其中，式中各符号的含义如前所述。在实际应用过程中，当生产商提供相应的数据后就可以求得最优计划产量。至此，第一问的两个模型就全部建立完成了。下面代入题目中所给的数据进行求解。题目中的数据为：单

18、位商品生产成本20单位商品库存成本5单位商品批发缺货成本15单位商品销售缺货成本25市场需求率400商品生产量的波动区间（0.85，1.15）单位商品批发价格40单位商品销售价格60将相关数据分别代入式和式中，可以求得销售商最优订购量为，生产商的最优计划产量为由此可以看出，销售商的最优订货量为389，商品生产商的最优计划生产量为375六、问题二模型的建立与求解本问中，商品的市场需求率也是随机的，我们在第一问两个模型的基础上，建立如下数学模型。6.1销售商最优订购量模型假设销售商每次订购量为，因为需求率是随机的，即可以小于，等于或大于，所以经销商单位时间内的收入也是随机的。因此，模型的目标函数不

19、应是销售商或生产商每天的收入，而应该是其长期的收入的平均值。根据概率论中的大数定律，这相当于销售商或生产商平均每天的收入，以下称简称平均收入。记经销商每个订货周期购进件商品的平均收入为，以下考虑两种情况：（1） 本周期市场需求率在这种情况下，销售商的商品销售情况为：售出件商品，库存件。销售商所获得利润为销售额与库存额之差。若以表示单位商品销售价格，以表示单位商品批发价格，以表示售出件商品的总收入，则它的表达式为；以表示单位商品库存成本，以表示库存件的费用，则库存费用的表达式为（2） 本周期的市场需求率在这种情况下，销售商的商品出售情况为：件商品全部售出。销售商所获得利润为销售额与缺货损失额之差

20、。若以表示此种情况下售出件商品的总收入，则它的表达式为以表示单位商品销售缺货成本，以销售商因缺货产生的缺货损失费用，则缺货损失费用可以表达为另外，以表示销售商的其它支出，如税收等，且可以认为因为市场需求率是随机的，我们设需求率的概率密度为，并且认为服从区间内的均匀分布，即基于以上分析，我们可以将销售商在本周期内的平均收入表示为为求得最优订购量，我们对上式进行求导得令，即可得到当取极大值时的值，即我们所求的“销售商的最优订货量”，其表达式为上式即为销售商的最优订购量，当销售商订购的货物多于或少于此值时，其收益均变小。6.2生产商的最优计划产量在问题一的模型中，我们已经建立了“当市场需求率为确定值

21、”时的生产商的最优计划产量模型。在本问中，市场需求率变为随机量，因此我们需要将第一问中“生产商最优计划产量”模型做适当的修正，以便能适用于“市场需求不确定”的情况。为了建立市场需求率为随机量的情况下的生产商的最优计划产量模型，我们仍采用第一问中“总支出最小”的思路，将生产商的支出费用分为库存费（在生产周期内商品的库存费）、生产成本费、缺货损失费和额外库存费（即由于多生产而积压的商品的库存费用）。这里我们重点考虑缺货损失费和额外库存费。由于市场需求率和实际产量的双重不确定性，因此我们无法再用简单的函数来表示缺货损失费和额外库存费。我们采用概率论中随机变量函数的分布来表示缺货损失费和额外库存费。我

22、们可以认为市场需求率在区间内服从均匀分布，因此市场需求率的概率密度函数可以表示为而商品生产商在确定计划生产量后，其实际产量也因受随机因素的影响而在某一区间内随机波动，为简化模型起见，我们假设实际产量在区间内服从均匀分布，其概率密度函数为且市场需求量和商品实际生产量相互独立。我们定义新的随机变量当时，表示生产商的缺货量；当时，表示生产商的额外贮存量。的概率密度为因此生产商支出的费用可以表示为其余的支出参见模型一中的“生产商的支出费用”。因此生产商的费用可以表示为对上式求导，可得根据上式我们可以求得最优计划生产量，其表达式为上式即为在市场需求量不确定的条件下商品生产商的最优计划产量。6.3对模型进

23、行数值检验将题目中所给的数据列表如下：单位商品生产成本20单位商品库存成本5单位商品批发缺货成本15单位商品销售价格60单位商品销售缺货成本25单位商品批发价格40市场需求量的波动区间（0.8,1.2）实际市场需求量的区间（320,480）商品生产量的波动区间（0.85,1.15）代入上文求出的销售商的最优订购量模型，可得：代入生产商的最优计划产量模型，可得：以上计算结果表明：销售商的最优订购量为390件，而商品生产商的最优计划产量为397件。七、问题三模型的建立与求解大多数供应链具有两级生产不确定性，即原产品（或原材料）生产的不确定性和产成品生产的不确定性。因此，第三问要求我们同时考虑上述两

24、方面因素，建立模型求解二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量。在本问中，由于需要考虑的因素较多，因此我们可以求解“当销售商或生产商的收益期望值最大时”所对应的订购量和生产量，并可以认为是二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量。在本问中，我们将考虑当市场需求量分别为确定量和随机量时的二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量。7.1确定市场需求下二级生产商的最优订购量在市场需求量为确定量的前提下，二级生产商需要从一级生产商进购原产品，然后进行二次加工，才能向市场出售。我们假设二级生产商从一级生产商进购件原产品，且其投入单位原产品产出产成品数量为，产成品生产量的波动区间为

25、，实际产量为，不妨设，即实际产量服从区间为的均匀分布，其概率密度为设市场需求量为，以下分两种情况讨论。（1） 当时当实际产量大于市场需求量时，此时二级生产商的收入可以用以下各项表示：若以表示单位产成品价格，以表示市场需求率，则二级生产商的销售收入可以表示为：；若以表示单位产成品库存成本 ，则未出售商品的库存成本可以表示为；若以表示单位原产品价格，则原产品的进价为；若以表示单位产成品生产加工成本，则原产品加工为产成品的成本为；于是我们可以将“二级生产商在实际产量大于市场需求量的条件下”的收益函数表示为（2） 当时即实际产量小于或等于市场需求量，此时二级生产商的销售收入可以表示为：；若以表示单位产

26、成品缺货成本，则二级生产商的缺货损失成本可以表示为；原产品的进价和原产品加工为产成品的成本的表示同情况（1），于是在这种情况下二级生产商的收益函数可以表示为综合上两种情况，二级生产商的期望收益可以表示为为求得当期望收入最大时的值，我们对上式求导，并令之等于零，即由上式可以求得上式即为二级生产商的最优订购量。7.2确定市场需求下一级生产商的最优订购量在市场需求量确定的条件下，一级生产商需要将原材料加工成原产品，销售给二级生产商或自己库存。假设一级生产商计划生产件原产品，原产品生产量的波动区间为，并且认为实际产量，即由于市场需求量对一级生产商的影响直接表现为二级生产商的订购量，因此我们需要考虑二级

27、生产商的订购量。为简化模型，我们认为其值为确定值，即。当时，即实际生产量多于订货量时，一级生产商的收益函数可以表示为式中，表示单位原产品的出售价格，表示单位原产品的生产成本，表示单位原产品的库存成本，上式中三项分别表示原产品销售收入、原产品加工成本、剩余产品库存成本。当时，即实际产量少于或等于订货量时，一级生产商的收益函数可以表示为式中表示单位原产品库存成本，式中三项分别表示原产品销售收入、原产品加工成本、原产品缺货成本。综合上述两种情况，一级生产商的期望收益可以表示为令可以求得以上即为一级生产商的最优计划生产量。7.3数值检验将题目中所给的数据列表如下：单位原产品生产成本20单位原产品库存成本5单位原产品缺货成本15单位产成品生产加工成本10单位产成品库存成本7单位产成品缺货成本30二级生产商投入产出比0.7单位原产品价格40单位产成品价格 95原产品生产量的波动区间（0.85，1.15）产成品生产量的波动区间（0.9,1.1）代入以上数据后，可以求得二级生产商的最优订购量以及一级生产商的最优计划产量为7.4当市场需求量为随机量时对模型的修正当市场需求量为随机量时，我们需要将上述模型中的“市场需求量”用随机变量表示，不妨设其为，且服从概率密度为的随机分布，于是在考虑二级生产商的最优订购量时，就需要同时考虑随机因素（实际产成品量）与。我们定义新的随机变量