《保险精算》3.1生命函数

1、第第3 3章章 生命表基础生命表基础3.1 生命函数为什么要研究生命表？为什么要研究生命表？l 人寿保险l 人寿保险是以人的生命为保险标的的保险，即以被保险人在一定时期内死亡或生存为给付条件l 被保险人寿命的长短对于保险人来说非常重要l 对生命表的研究是研究寿险精算的基础3.13.1生命函数生命函数 3.1.1 分布函数用X表示出生婴儿未来寿命的随机变量，X是连续型随机变量，则X的分布函数是F(X) F(X) = Pr(Xx)，x0这是0岁的人在x岁之前死亡的概率，F(0)=0X的概率密度函数极为f(x)，则 f(x)=F(x), x03.13.1生命函数生命函数 3.1.1 分布函数Pr(X

2、50)表示x岁的人在50岁以后死亡的概率（或x岁的人活过50岁的概率），即在50岁仍然生存的概率，于是有 Pr(X50)=1-Pr(X50)=1-F(50)Pr(xx)表示活到x岁的人在x岁与x+1岁之间死亡的概率E(X)表示X的期望值，即新生婴儿的平均寿命，则3.13.1生命函数生命函数 3.1.2 生存函数生存函数的定义：s(x)=Pr(Xx), x0s(x)称为生存函数，表示0岁的人活过x岁的概率，即在x岁以后死亡的概率生存函数与分布函数之间的关系：s(x)=1-F(x), x0 s(0)=1Pr(X50)=s(50)Pr(xx)=3.13.1生命函数生命函数 3.1.3 T(x)一般来

3、说购买保险的被保险人都是已经活到某个年龄x的人，因此x岁的人的剩余寿命X-x的分布就更为重要。T(x)的概念：用(x)表示一个x岁的人，T(x)=X-x表示(x)未来寿命的随机变量，即剩余寿命，简称为余命（隐含条件：Xx）。T(x)的分布是已知的分布是已知Xx时时X的条件分布的条件分布有关有关T的概率就是已知的概率就是已知Xx时相应的条件概率时相应的条件概率3.13.1生命函数生命函数 3.1.3 T(x)用用FT(t)来表示来表示T的分布函数：的分布函数：=1-s(x+t)/s(x)3.13.1生命函数生命函数 3.1.3 T(x)用fT(t)来表示T的概率密度函数：fT(t)=FT(t)=

4、-s(x+t)/s(x)用tqx表示x岁的人在x+t岁以前死亡的概率，则tqx=PrT(x)t，t0(tqx表示T(x)的分布函数)用tpx表示x岁的人在x+t岁时仍活着的概率，则tpx=1-tqx=PrT(x)t， t0(tpx表示T(x)的生存函数)当x=0时，有T(0)=X和xp0=s(x)当t=1时，习惯上用qx和px表示1qx和1px，qx表示x岁的人在未来一年内死亡的概率，px表示x岁的人在一年后仍活着的概率3.13.1生命函数生命函数 3.1.3 T(x)用t|uqx表示x岁的人在活过t年后的u年内死亡的概率，也就是(x)在(x+t)岁与(x+t+u)岁之间死亡的概率，即t|uq

5、x = PrtT(x)t+u = PrT(x)t+u-PrT(x)t= t+uqx-tqx= tpx-t+upx当u=1时，t| qx表示(x)在(x+t)岁与(x+t+1)岁之间死亡的概率3.13.1生命函数生命函数 3.1.3 T(x)用生存函数表示死亡率和生存率：（1）tqx=PrT(x)t =F(x+t)-F(x)/1-F(x) =s(x)-s(x+t)/s(x)( 2 ) tpx =1-tqx =s(x+t)/s(x)（3）t|uqx=tpx-t+upx =t+uqx-tqx =s(x+t)-s(x+t+u)/s(x)t|uqx=s(x+t)-s(x+t+u)/s(x) =s(x+t

6、)/s(x) * s(x+t)-s(x+t+u)/s(x+t) =tpx * uqx+tx岁的人在(x+t)岁与(x+t+u)岁之间死亡的概率等于这个人活过t年的概率与其在(x+t)岁时在u年内死亡的概率之积3.1.4 K(x)取整余命: (x)未来能存活的整年数)()(xTxKK(x)是不超过T(x)的最大整数K(x)：离散型随机变量，所有可能的取值为0,1,2，( )Pr K xk( )1)Pr kT xkk=0,1,2,( )1)Pr kT xkxkqkxxkqp)() 1()(xskxskxs3.1.5 死力定义:在到达x岁的人当中，在此一瞬间里死亡的人所占的比率，就称之为死力（也称瞬

7、间死亡率或死亡密度） )(1)()(lim0 xsxxxsxsxx)()(xsxsxtq)()()(xstxsxst趋近于0，取极限3.1.5 死力)()(xsxs)(lnxsx00ln ( )xxydys ydyxyxdyys00)(lnxydyexs0)(用死力表示生存函数：T(x)的密度函数：( )Tft()( )s xts x ()()( )()txx ts xts xtps xs xt()( )s xts xtxp000 x tx ttyyx sxxydydydsdyeeee由于3.1.6 s(x)的解析表达式1、de Moivre假设（1729年） xxxs0 ,1)(xx12、G

8、ompertz假设（1825年） ( )exp(1),0,1,0lnxBs xcBcxcxxBc3.1.6 s(x)的解析表达式3、Makeham假设（1860年） ( )exp(1),0,1,0lnxBs xAxcBAB cxc xxBCA4、Weibull假设（1939年） 1( )exp(),0,0,01nkxs xknxnnxkx3.1.6 s(x)的解析表达式1、de Moivre假设（1729年）： )() 1()(xsxsxsxqxxx1)11 (11xxkq)() 1()(xskxskxsxkxkx1)11 (11xxxxs0 ,1)(3.1.6 s(x)的解析表达式1、de Moivre假设（1729年）： xxxs0 ,1)()(XE0( )xf x dx0)(dxxsx0 xdx2THANKSTHANKSThank you for your attentio