第一学期总复习三

1、期期 末末 复复 习习 3 高 等 数 学高 等 数 学 I 第三章第三章 中值定理和导数应用中值定理和导数应用重要内容重要内容: 中值定理中值定理 导数应用导数应用 (单调性,凹凸性凹凸性)根的存在性,所在区间,唯一性洛比达法则求七种未定式的极限 用中值定理证明某些等式泰勒公式, 常用展开式极值问题中值定理,单调性,凹凸性证明不等式0153 xx15)(3xxxf)(xf01)0(f03) 1 (f)(xf0 x1证明： 在（0，1）上有且仅有一根。，则在0，1上连续且 由零点定理可知，在(0，1) 上至少有一个根证：（先证存在性）设)(xf1x0)()(10 xfxf)(xf0)(f2(

2、)350fxx在(0,1) 上还有一个根即 在0，1上连续，在（0，1）内可导，（0，1）使得但是，不可能有这样的点,故方程在（0，1）上有且仅有一根。（再证唯一性）由罗尔定理可知至少存在一点（0，1），矛盾。也可以不用罗尔定理,直接利用单调性假设012sin xx),(12sin)(xxxf)(xf0 ,201)0(f0)2(f)(xf0 ,22证明：在证明：（先证存在性）则在上连续且 由零点定理可知，在上至少有一个根内有且仅有一根。设02cos)(xxf)(xf),(),(（再证唯一性）在上严格单调递增，上有且仅有一根。因为故方程在2eabe2224lnln()babae224( )lnf

3、 xxxe2ln4( )2xfxxe21 ln( )2xfxxxe( )0fx( )fx2exe3.设, 证明.证明证明: 设. 则,所以当时, , 故单调减少, 时, 从而当2222ln444( )2()0,xfxfexeee(方法一)2exe( )f x2eabe( )( )f bf a222244lnlnbbaaee2224lnln()babae即当时, 单调增加. 时, 即故 因此当2eabe2224lnln()babae2( )lnf xxln( )2,xfxx21 ln( )2xfxxxe( )0fx( )fx2exe3.设, 证明.证明证明: 设. 则由中值定理,所以当时, ,

4、故单调减少, 时, 从而当2( )( )( )()()()f bf afbafeba( )( )( )(),f bf afba即2224lnln()babae(方法二)( , )a b课堂上讲解的方法( )f x0,1(0,1)(1)0f(0,1)( )( )ff ( )( )F xxf x(0)0F(1)(1)0Ff( )F x0,1(0,1)( )0F( )( )( )F xf xxfx( )( )0ff( )( )ff 4 4.设在上连续, 在内可导,且求证存在, 使得证明证明: 设, 则且即在区间上满足罗尔中值定理的条件, , 使得又因此有整理后可得因此存在( )f x , a b(

5、, )a b( )( )0,f af b( )0f c ,()acb( , )a b( )0.f( , )a b( )0f( )f x( , )a c( , )c b1( , )a c2( , )c b1( )( )( )0()0f cf af cfcaca2( )( )0( )()0f bf cf cfbcbc4 4. 设在上连续, 在内有二阶导数,. 试证在内至少存在一点, 使得证明证明: 由罗尔中值定理知, 存在,使得对分别在和上用拉格朗日中值定理, 和, 使得及且有知分别存在12, ( )fx12(,)( , )a b 2121()()( )0fff再在闭区间上对用拉格朗日中值定理, 使得知存在1()0,f2()0;f前页已证明 (- ,) 定定义义域域为为22( ) 6 (1)0, f xx x 由由得得22( )6(1)(51)fxxx 又又由由 有有0 .x 所所以以 为为极极小小值值点点 但但3.1 2.x 定定理理 失失效效在在改改用用定定理理1231,0,1xxx (0)60f ( 1)(1)0 ff 解解例例5 求函数求函数23( )(1)1f x