第4章随机变量的数字特征

1、应用概率统计应用概率统计应用概率统计第第4章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1随机变量的数学期望随机变量的数学期望2随机变量的方差随机变量的方差3协方差与相关系数协方差与相关系数第第4章习题课章习题课应用概率统计应用概率统计第第4章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征应用概率统计应用概率统计1随机变量的数学期望随机变量的数学期望引例引例 设某射击手在同样的条设某射击手在同样的条件下件下,瞄准靶子相继射击瞄准靶子相继射击90次次,(命中的环数是一个随机变量命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下射中次数记录如下试问试问:该射手每次射击平均命中靶多少环该射手每次射击平均命中靶多少环

2、?5432101513220103090159013902902090109030命中环数命中环数 k命中次数命中次数频率频率knnnk应用概率统计应用概率统计解解平均射中环数平均射中环数射射击击次次数数射射中中靶靶的的总总环环数数 9030520410315213120 90305902049010390152901319020 .37. 3 50kknnk 设射手命中的环数为随机变量设射手命中的环数为随机变量 Y .应用概率统计应用概率统计 50kknnk 平均射中环数平均射中环数频率随机波动频率随机波动随机波动随机波动 50kknnk n 50kkpk随机波动随机波动 稳定值稳定值 “平

3、均射中环数平均射中环数”的稳定值的稳定值? “平均射中环数平均射中环数”等于等于射中环数的可能值与其概率之积的累加射中环数的可能值与其概率之积的累加应用概率统计应用概率统计1.1离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望()iiiXxEp()E X不存在不存在 |iiixp 应用概率统计应用概率统计所以所以A的射击技术较的射击技术较B的好的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数XBA射手名称()8 0.39 0.1 10 0.69.3AE X ()8 0.29 0.5 10 0.39.1BE X 例例 有有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，试两射手，他们

4、的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？问哪一个射手本领较好？解解 A射击平均击中环数为射击平均击中环数为B射击平均击中环数为射击平均击中环数为应用概率统计应用概率统计 解解 分布律为：分布律为： 平均废品数为：平均废品数为： ()1.1 0.40 021(3 0./30.21E X个 天）应用概率统计应用概率统计例例 设随机变量设随机变量X具有如下的分布，求具有如下的分布，求E(X).解解 虽然有虽然有但是但是因此因此E(X)不存在不存在.2ln1) 1(1kkk,1,2,.(221)1kkkkP Xk1kkkPxXx111kkkkkx p12( 1)12kkkkk=?=?应用概率统计应

5、用概率统计1.2连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望离散型随机变量离散型随机变量X的数学期望为的数学期望为()kkkE Xx p自然要问连续型随机变量自然要问连续型随机变量X的数学期望是什么的数学期望是什么?()?E X应用概率统计应用概率统计设设p(x) 是连续型随机变量是连续型随机变量X的密度函数的密度函数,取分点取分点x0 x1xn+1则随机变量则随机变量X落在落在xi=(xi, xi+1)中的概率为中的概率为与与X近似的随机变量近似的随机变量Y的数学期望为的数学期望为niiiixxpx0)(由微积分知识自然想到由微积分知识自然想到X的数学期望为的数学期望为dxxxp)(1(

6、 )( )iiixxiiiixP Xxp x dP Yxxp xx相当小时应用概率统计应用概率统计()p xEdxXx( )x p x dx ()E X不存在不存在 应用概率统计应用概率统计其他, 010,2)(xxxp例例 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为试求试求X的数学期望的数学期望.dxxxpXE)()(解解32322103102xdxx102xdxx0101( )( )( )pxdxxp xdxxdxp xx0101xdxxdxxdx02x0应用概率统计应用概率统计xxxp,111)(2dxxxdxxxdxxpx02212111|)(|011)(2dxxxdxxx

7、p例例 若随机变量若随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为问随机变量问随机变量X的数学期望的数学期望E(X)是否存在是否存在.解解所以所以E(X)不存在不存在.但但02202| )1ln(1)1 (111xxdx应用概率统计应用概率统计1.3随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 1()()iiEpg X ()ig x应用概率统计应用概率统计()( )()dgExXg x ( )p x应用概率统计应用概率统计 解解 ( )(32)E YEX( 2) 0.331 (0)20.32 33(1) 0.4(2) 0.23.822 6 . 12 . 024 . 013 . 001 . 0)2(

8、)()(22222XEZE应用概率统计应用概率统计(,)(,)iijjE g X Yg xy ijp应用概率统计应用概率统计(,)( , )ddEp x yxg XyY ( , )g x y应用概率统计应用概率统计解法解法111115()002284284E X 11111()0 00 12 02 184284E XY 应用概率统计应用概率统计解法解法2355()02884E X 711()02884E XY 应用概率统计应用概率统计其他, 010 , 10,),(yxyxyxp(, )EdxdypyXYx 例例 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为试求试求XY的数学

9、期望的数学期望.解解1100dxdyxy xy()xy13应用概率统计应用概率统计1.4数学期望的性质数学期望的性质()E XY ()( )aE XbE Ycab() ( )E X E Y应用概率统计应用概率统计证明证明 ( )aap x dx( )ap x dx( )xp x dx()E X( )bp x dx( )bp x dxb( )1E CCC 应用概率统计应用概率统计证明证明 ()()( )E aXbYcaE XbE Yc2()() ( , )RE aXbYcaxbyc p x y dxdy222( , )( , )( , )RRRaxp x y dxdybyp x y dxdycp

10、 x y dxdy()( )aE XbE Yc应用概率统计应用概率统计()() ( )E XYE X E Y证明证明 ()( , )E XYxyp x y dxdy ( )( )() ( )XYxpx dxypy dyE X E Y( )( )XYxypx py dxdy 应用概率统计应用概率统计解解 应用概率统计应用概率统计121()(126)66iE X从而由期望的性质可得从而由期望的性质可得 6611()()iiiiE XEXE X1216(126)62166应用概率统计应用概率统计221,1( , )0,xyp x y其他应用概率统计应用概率统计解解 22221111111()()0

11、xxxyE XYxydxdyxydy dx2211()0 xyE Xxdxdy2211( )0 xyE Yydxdy()()( )E XYE XE Y应用概率统计应用概率统计2212112( )( , )1xXxpxp x y dydyx221,11( )0,Xxxpx 其他221,11( )0,Yyypy 其他( , )( )( )XYp x ypxpy应用概率统计应用概率统计26()355E X 3323(),0,1,2,355kkkP XkCk解解 应用概率统计应用概率统计2随机变量的方差随机变量的方差引例引例 A，B两种手表的日走时误差分别具有如下两种手表的日走时误差分别具有如下的分布

12、律：的分布律：易知易知E(XA)=E(XB)=0.由数学期望无法判别两种手由数学期望无法判别两种手表的优劣表的优劣.但直觉告诉我们但直觉告诉我们A优于优于B,怎么样用数学怎么样用数学的方法把这种直觉表达出来呢的方法把这种直觉表达出来呢?应用概率统计应用概率统计2( 20) 2( 1 0) 2( 1 0) 2(00)序序号号12345678910误差-2-1-100001122(00)2(00)2(00)2(1 0)2(1 0)2(20)11011011011011011011011011011022222( 20)( 1 0)(00)(11242110100)101010(20) 大小反映第一

13、只的质量好坏大小反映十只整体的质量好坏应用概率统计应用概率统计2.1方差的概念方差的概念标准差（标准差（Standard variance）: ()()XD X2()Var()D XXEXE X 应用概率统计应用概率统计方差的意义方差的意义 方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散程度的量取值分散程度的量. 如果如果 D(X) 值大值大, 表示表示 X 取取值分散程度大值分散程度大, E(X) 的代表性差的代表性差; 而如果而如果 D(X) 值小值小, 则表示则表示X 的取值比较集中的取值比较集中, 以以 E(X) 作为随作为随机变量的代表性好机变量的代表性好.应

14、用概率统计应用概率统计22()()()D XE XE X 证明证明2()()XEXXDE E 222()()(XX EEXEEX 22)()(XEXE 22()()E XEX定理定理222()()XXE XE X应用概率统计应用概率统计例例 A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律，问哪种手表质量好些分布律，问哪种手表质量好些?2222222222()() ( 1) 0.1 0 0.8 1 0.1 0.2()() ( 2) 0.1 ( 1) 0.20 0.4 1 0.2 2 0.1 1.2AABBD XE XD XE X 解解 易知易知E(XA)=E(X

15、B)=0.所以所以由于由于D(XA)D(XB),因此因此A手表较手表较B手表的质量好手表的质量好.应用概率统计应用概率统计1,10( )1,010,xxp xxx 其他解解 ()( )E Xp x dx01100dxdx2()( )E Xp x dx012210 xdxxdx()D X (1)xx(1)xxx2x(1)x(1)x1622()()E XEX16应用概率统计应用概率统计1,01,( , )0,xyxp x y其他应用概率统计应用概率统计解法解法1 2 ,01( )( , )0,Xxxpxp x y dy其他13 10022()( )233XE Xxpx dxxxdxx12224 1

16、0011()( )222XE Xx px dxxxdxx22141()() ()2918D XE XE X应用概率统计应用概率统计解法解法2 ()( , )E Xdxxp x y dy113 100022233xxxdxdyxxdxx22()( , )E Xdxx p x y dy11223 100011222xxx dxdyxxdxx22141()() ()2918D XE XE X应用概率统计应用概率统计2.2方差的性质方差的性质()D XY2()a D X()( )D XD Y应用概率统计应用概率统计()()( )D XYD XD Y证明证明2()()() D XYEXYE XY2()

17、( )EXE XYE Y22()( )2 ()( )E XE XE YE YEXE XYE Y()( )D XD Y 应用概率统计应用概率统计(32 )DXY223()( 2)( )D XD Y 2234( 2)2 D应用概率统计应用概率统计3协方差与相关系数协方差与相关系数应用概率统计应用概率统计3.1协方差协方差(, ) ()XECovEYXXYEY应用概率统计应用概率统计协方差的性质协方差的性质(, )abCov X Y() ( )E X E Y(,)( ,)Cov X ZCov Y Z2Cov(, )abX Y应用概率统计应用概率统计证明证明 ( )()( )XYXE YYE XE X

18、 E YE)()()(YEXEXYE(, ) ()XECovEYXXYEY()( )()() (EEEXYX E YY E XE X E Y应用概率统计应用概率统计证明证明 2()()()D aXbYcE aXbYcE aXbYc2()( )E aXaE XbYbE Y2222()( )2()( )E aXE Xb YE Yab XE XYE Y22()( )2(, )a D Xb D YabCov X Y应用概率统计应用概率统计6(43),01( , )170,xyxp x y其他解解 11320006612()(43)(43)171717xE Xxxdydxxx dx 1132000663

19、6( )(43)(2)1717217xE Yyxdydxxx dx 1143000663124()(43)(2)17172170 xE XYxyxdydxxx dx (, )()() ( )Cov X YE XYE X E Y12412664917017171445应用概率统计应用概率统计1112(, )(,)nCov X YCov XXXX11121(,)(,)(,)nCov XXCov XXCov XX200B应用概率统计应用概率统计3.2相关系数相关系数 协方差的数值在一定程度上反映了协方差的数值在一定程度上反映了X与与Y相互相互间的联系间的联系,但它受但它受X与与Y本身数值大小量纲的影

20、响本身数值大小量纲的影响. 如如令（令（Xcm，Yg）和（和（Xm,Ykg)都表示同一人群的都表示同一人群的(身身高，体重高，体重),只是单位不一样只是单位不一样,这时这时Xcm与与Yg间的相互间的相互联系和联系和Xm与与Ykg的相互联系应该是一样的，但是的相互联系应该是一样的，但是Cov(Xcm,Yg)=Cov(10Xm,1000Ykg) =100000Cov(Xm, Ykg)引进相关系数的概念引进相关系数的概念克服这一缺点克服这一缺点.应用概率统计应用概率统计*()()XE XXD X()( ),()( )XYXE XYE YCovD XD Ymmm应用概率统计应用概率统计Cov(, )(

21、)( )XYX YD XD Y应用概率统计应用概率统计2( , )() e a bE YabX2222()()2( )2()2()E Yb E XaaE YbE XYabE X222()2 ( )02()2 ()2()0eabE XE YaebE XE XYaE Xb应用概率统计应用概率统计解方程组得：解方程组得： )(),(0XDYXCovb )(),()()()()(00XDYXCovXEYEXEbYEa)()(min2002,XbaYEbXaYEba)()1 (2YDXY2,min () a bE YabX应用概率统计应用概率统计相关系数的性质：相关系数的性质： 100XbaYP0),(

22、CovYX)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXD应用概率统计应用概率统计证明证明 2,min () a bE YabX)()1 (2YDXY200() 0E Yab X( )0D Y 012XY11XY应用概率统计应用概率统计证明证明 ()() ( )E XYE X E Y(, )()() ( )0Cov X YE XYE X E Y(, )0()( )XYCov X YD XD Y应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计oXYoooXXXYYY01-10 =1 =-1相关情况示意图相关情况示意图,0YabX b,01P YabX b应用概率统计应用概率统计XYnYnXA

23、应用概率统计应用概率统计解解 11()sin0( )cos022E XxdxE Yxdx1()sincos02E XYxxdx(, )()()( )0Cov X YE XYE XE Y0XY应用概率统计应用概率统计0),(CovYX)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXD证明证明 Cov(, )0()( )XYX YD XD Y0=Cov(, )()() ( )X YE XYE X E Y)()()(YEXEXYE),(Cov2)()()(YXYDXDYXD)()()(YDXDYXD应用概率统计应用概率统计解解 ()0E XY 应用概率统计应用概率统计()0E X 1( )3E Y

24、 (, )()()( )0Cov X YE XYE XE Y(, )0()( )XYCov X YD XD Y12(1,1)(1)(1)69P XYP XP Y 应用概率统计应用概率统计1(1),1,1( , )40,xyxyp x y其他解解 11111()(1)4E XYdxxyxy dy1111111121(1)4439xxyxy dy dxxdx应用概率统计应用概率统计11111()(1)4E Xdxxxy dy11111111(1)042xxy dy dxxdx同理可得同理可得 ( )0E Y1(, )()()( )09Cov X YE XYE XE Y应用概率统计应用概率统计 解解

25、 1(, )()( )4 923XYCov X YD XD Y()(2)(2)( )2(2, )D UDXYDXD YCovX Y4 ()( )2 2(, )33D XD YCov X Y ( )(2)(2)( )2(2, )D VDXYDXD YCovX Y4()( )22(, )17D XD YCov X Y 应用概率统计应用概率统计( ,)(2,2)Cov U VCovXYXY(2,2)(2, )( ,2)( , )CovXXCovX YCov YXCov Y Y4()( )7D XD Y( , )7( )( )551UVCov U VD UD V所以所以因此因此应用概率统计应用概率统计

26、3.3矩与协方差矩阵矩与协方差矩阵() ( ) klEXE XYE Y应用概率统计应用概率统计11122122cccc)(21111XEXEc)()(221112XEXXEXEc)()(112221XEXXEXEc)(22222XEXEc应用概率统计应用概率统计nnnnnncccccccccC212222111211(,)ijijcCov XX()()iijjEXE XXE X应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计解解 ()E Xp( )E Yp11()(1)cD Xpp22( )(1)cD Ypp()E XYp1221()() ( )(1)ccE XYE X E Ypp(1)(1)

27、(1)(1)ppppCpppp应用概率统计应用概率统计第第4章习题课章习题课数学期望数学期望方方 差差离散型离散型连续型连续型性性 质质协方差与相关系数协方差与相关系数二维随机变量的数学期望二维随机变量的数学期望定定 义义计计 算算性性 质质随机变量函数的随机变量函数的数学期望数学期望定定 义义协方差协方差的性质的性质相关系数相关系数定理定理应用概率统计应用概率统计随机变量的数学期望随机变量的数学期望1()()iiEpg X ()ig x()( )()dgExXg x ( )p x(,)(,)iijjE g X Yg xy ijp(,)( , )ddEp x yxg XyY ( , )g x

28、y应用概率统计应用概率统计数学期望的性质数学期望的性质()E XY ()( )aE XbE Ycab() ( )E X E Y应用概率统计应用概率统计随机变量的方差随机变量的方差2()Var()D XXEXE X 22()()()D XE XE X ()D XY2()a D X()( )D XD Y应用概率统计应用概率统计协方差协方差(, )() ( )Cov X YEXE XYE Y(, )abCov X Y() ( )E X E Y(,)( ,)Cov X ZCov Y Z2Cov(, )abX Y应用概率统计应用概率统计相关系数相关系数Cov(, )()( )XYX YD XD Y100XbaYP0),(CovYX)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXD应用概率统计应用概率统计oXYoooXXXYYY01-10 =1 =-1相关情况示意图相关情况示意图应用概率统计应用概率统计典型例题典型例题题型题型1 随机变量的数学期望和方差随机变量的数学期望和方差解解1222