非线性有限元法(6)---3

1、 5 5 板壳问题板壳问题CB壳（壳（Continuum Based Shell）这种方法有这种方法有Ahmad，Irons和和Zienkiewicz（1970）首先提出，）首先提出，Buechter和和Ramm（1992）以及）以及Simo和和Fox（1989）将其扩展）将其扩展和推广，和推广，Hughes和和Liu（1981）将其应用到非线性分析。）将其应用到非线性分析。l经典壳理论的假设经典壳理论的假设 a) KirchhoffLove理论理论: 中面的法线保持直线和法向。中面的法线保持直线和法向。 b) ReissnerMindlin 理论：中面的法线保持直线。理论：中面的法线保持直线

2、。 实验结果表明，薄壳满足实验结果表明，薄壳满足KirchhoffLove假设；对较厚的壳假设；对较厚的壳ReissnerMindlin假设更合适。假设更合适。 在小变形下在小变形下ReissnerMindlin理论经过实验验证，但在大变形时，理论经过实验验证，但在大变形时，有当前法线保持直线和初始法线保持直线两种假设。哪种更好还有当前法线保持直线和初始法线保持直线两种假设。哪种更好还没有实验证明。没有实验证明。1 5 5 板壳问题板壳问题 l坐标和定义坐标和定义 壳由单层的三维单元模拟，为反映壳由单层的三维单元模拟，为反映ReissnerMindlin假设，运动假设，运动被约束。被约束。 母

3、单元坐标为母单元坐标为 或或 ， 为中面参考为中面参考面，沿面，沿 轴的线称为纤维，沿纤维方向的单位矢量称为方向矢量。轴的线称为纤维，沿纤维方向的单位矢量称为方向矢量。 厚度的定义厚度的定义： 和和 分别表示下表面和上表面与参考面分别表示下表面和上表面与参考面之间沿纤维方向的距离，壳厚度为之间沿纤维方向的距离，壳厚度为 。壳厚度的一般定义为在上下两个表面之间沿着法线的距离。壳厚度的一般定义为在上下两个表面之间沿着法线的距离。,1,2,3ii123, 0( , )h ( , )h hh2 5 5 板壳问题板壳问题 3 5 5 板壳问题板壳问题 4 5 5 板壳问题板壳问题 l假设假设1）纤维保持

4、直线（修正）纤维保持直线（修正ReissnerMindlin假设）假设）2）垂直于中面的应力为零（称为平面应力条件）垂直于中面的应力为零（称为平面应力条件）3）动量源于纤维的伸长，沿纤维方向忽略动量平衡）动量源于纤维的伸长，沿纤维方向忽略动量平衡与经典与经典Reissner-Mindlin假设不同这里假设纤维保持直线，而不假设不同这里假设纤维保持直线，而不是法线，这是经典假设的一个近似。是法线，这是经典假设的一个近似。在在CB壳理论中常常假设纤维不可伸长，但是这个假设在整个公式壳理论中常常假设纤维不可伸长，但是这个假设在整个公式体系中是不成立的；对于大变形，纤维伸长的影响必须考虑。体系中是不成

5、立的；对于大变形，纤维伸长的影响必须考虑。5 5 5 板壳问题板壳问题 l坐标系统坐标系统 定义三种坐标系统定义三种坐标系统1）总体）总体Carterian坐标系（坐标系（x, y, z）,基矢量基矢量ei2）旋转的层坐标系）旋转的层坐标系 ,基矢量基矢量 称为层坐标称为层坐标 在每一点除构造，在每一点除构造， 和和 定义的平面与该点处的层相切；基矢量定义的平面与该点处的层相切；基矢量随着点的位置变化。随着点的位置变化。3）与主控节点相关的节点坐标系，基矢量）与主控节点相关的节点坐标系，基矢量 ( , , )x y zieie1 e2 e6 5 5 板壳问题板壳问题 7 5 5 板壳问题板壳问

6、题 8 5 5 板壳问题板壳问题 l运动的有限元近似运动的有限元近似 修正的修正的Reissner-Mindlin假设：在纤维方向运动时线性的，连续假设：在纤维方向运动时线性的，连续体单元在纤维方向至多有两个从属节点。体单元在纤维方向至多有两个从属节点。 对于对于CB壳的基本连续体单元具有壳的基本连续体单元具有2nN个节点的三维等参单元，上个节点的三维等参单元，上下表面各有下表面各有2nN个节点。个节点。在主控节点速度和力为在主控节点速度和力为式中式中 为节点为节点 I 处的角速度分量；处的角速度分量；miI为节点为节点 I 处的力矩分量。处的力矩分量。,TIxIyIzIxIyIzITIxIy

7、IzIxIyIzIvvvfffmmmdfiI9 5 5 板壳问题板壳问题 为标准的三维等参形函数。为标准的三维等参形函数。 连续体单元内的速度场为连续体单元内的速度场为l以主控节点表示运动，沿以主控节点表示运动，沿 方向是线性的，有方向是线性的，有 p为沿纤维的方向矢量为沿纤维的方向矢量;xM为中面的运动为中面的运动;xB为纤维的弯曲运动。为纤维的弯曲运动。 l以从属节点的形式表示运动的有限元近似为以从属节点的形式表示运动的有限元近似为*2111( , )( ,t)( )( )( )( )( )( )NNNnnnIIIIIIIIItt Nt Nt Nxxxx *IN*2211( , )( )(

8、 )( )( )NNnnIIIIIItt Nt Nv xvMBMxxxxp,0,0BBhhhhxpxp当时当时10 5 5 板壳问题板壳问题 l以主控节点表示的速度以主控节点表示的速度 在节点处的速度在节点处的速度其中用到纤维变形假设，得到的关系其中用到纤维变形假设，得到的关系 。 根据假设根据假设3，在，在p方向的运动并不强制动量平衡，所以在构造运动方方向的运动并不强制动量平衡，所以在构造运动方程时常常忽略程时常常忽略 和和 项。项。 在在CB壳理论中常常认为纤维是不可伸长的，这是有矛盾的，因为在壳理论中常常认为纤维是不可伸长的，这是有矛盾的，因为在计算节点内力时厚度的改变不能忽略。计算节点

9、内力时厚度的改变不能忽略。 MBMvvvvpp,IIMMIIIIIIIIIIIIhhhhvvppvvppIIIppIhIh11 5 5 板壳问题板壳问题 l以主控节点的速度表示从属节点的速度以主控节点的速度表示从属节点的速度 引进关系引进关系 其中其中 偏斜对称张量偏斜对称张量 从属节点速度表示为主控节点速度为从属节点速度表示为主控节点速度为在上式中采用的是当前厚度，考虑了纤维的伸长。在上式中采用的是当前厚度，考虑了纤维的伸长。 IIIhp ijijkkh e p ()IIIIIvT dv不对 求和I-+ITI000000IIzyIIIIzxIIyxppzzyyhpphxxppasym 12

10、5 5 板壳问题板壳问题 l局部坐标局部坐标 在在UL列式中，应用基矢量列式中，应用基矢量 。在每一个积分点上建立一个转动的层。在每一个积分点上建立一个转动的层坐标系，并在该坐标系上更新本构关系。坐标系，并在该坐标系上更新本构关系。 协变基矢量协变基矢量 定义一个正切的面，而基矢量定义一个正切的面，而基矢量 也位于该面内也位于该面内 。 垂直于该面的基矢量垂直于该面的基矢量 构造一组辅助矢量构造一组辅助矢量 定义新基矢量定义新基矢量目的：找到一个尽可能接近协变基矢量目的：找到一个尽可能接近协变基矢量 的正交基矢量的正交基矢量 。由此变。由此变形率形率D、速度、速度v和应力等都可在此层坐标下计算

11、。和应力等都可在此层坐标下计算。 iexgie1212/zegggg1212()/zzaggggbeaea,xyababeeababgie13 5 5 板壳问题板壳问题 l局层分量的计算局层分量的计算 在每一点计算速度，然后在层坐标系下计算变形率。在每一点计算速度，然后在层坐标系下计算变形率。 定义变换张量定义变换张量 则有则有注意：注意： 不由上式计算，而是由平面应力条件不由上式计算，而是由平面应力条件 计算沿厚度方向计算沿厚度方向的值。的值。 ()ijlamijRe e1 ,1,()2TTTIlamIIlamIII xIINNvRvxRxLvvxDLL0zzzzD14 5 5 板壳问题板壳

12、问题 l本构方程本构方程 应用三维连续体单元的本构方程，引入平面应力条件应用三维连续体单元的本构方程，引入平面应力条件 ，即，即通过消去第通过消去第6个方程，得到非零应力增量相关的修正矩阵，并由第个方程，得到非零应力增量相关的修正矩阵，并由第6个个方程方程 得到变形率得到变形率 ，用来获得下一步要描述的厚度变化。，用来获得下一步要描述的厚度变化。 0zzzzD15 5 5 板壳问题板壳问题 l主控节点力主控节点力 主控节点的内力和外力通过从属节点得到主控节点的内力和外力通过从属节点得到l质量矩阵质量矩阵 利用连续体单元的质量矩阵通过转换得到利用连续体单元的质量矩阵通过转换得到CB壳单元的质量矩

13、阵壳单元的质量矩阵l离散有限元方程离散有限元方程 在节点处的平动运动方程为在节点处的平动运动方程为 以节点坐标系表示的转动运动方程（以节点坐标系表示的转动运动方程（Euler运动方程）为运动方程）为 IIITIffTf(IJ)TijIIJJMT M T不对 ， 求和intextIIIIM vffintintint()()()extxxIxIzzIyyIyIzIxIxIextyyIyIxxIzzIxIzIyIyIextzzIzIyyIxxIxIyIzIzIMMMmmMMMmmMMMmm 16 5 5 板壳问题板壳问题 剪切自锁和膜自锁剪切自锁和膜自锁 采用采用ReissnerMindlin假设的

14、壳单元最大的缺点是可能产生剪切假设的壳单元最大的缺点是可能产生剪切自锁和膜自锁。自锁和膜自锁。 剪切自锁源自出现了伪横向剪切，更确切地说它源自没有能力表现剪切自锁源自出现了伪横向剪切，更确切地说它源自没有能力表现变形，由于剪切刚度远远大于弯曲刚度，伪剪切吸收大量的能量，使变形，由于剪切刚度远远大于弯曲刚度，伪剪切吸收大量的能量，使预计的挠度和应变非常小。预计的挠度和应变非常小。 薄膜自锁出现源于不能表现不可伸长模式，同样壳膜刚度远大于壳薄膜自锁出现源于不能表现不可伸长模式，同样壳膜刚度远大于壳的弯曲刚度，当有限元没有伸长不能弯曲时，能量不能准确地转换成的弯曲刚度，当有限元没有伸长不能弯曲时，能

15、量不能准确地转换成膜能量，于是低估了位移和应变。膜能量，于是低估了位移和应变。 17 5 5 板壳问题板壳问题 有限元法自锁现象比较有限元法自锁现象比较 约束约束有限元运动的缺陷有限元运动的缺陷自锁类型自锁类型不可压缩，等体积运动不可压缩，等体积运动在单元中出现体积应变在单元中出现体积应变体积自锁体积自锁Kirchhoff-Love约束约束在纯弯曲中出现横向剪应变在纯弯曲中出现横向剪应变剪切自锁剪切自锁不可伸缩约束不可伸缩约束在不可伸缩弯曲模式中出现薄膜应在不可伸缩弯曲模式中出现薄膜应变变薄膜自锁薄膜自锁18 5 5 板壳问题板壳问题 l剪切自锁剪切自锁 以小变形的以小变形的2节点节点CB梁单

16、元为例。根据运动描述，对应的横向剪切梁单元为例。根据运动描述，对应的横向剪切应变应变在纯弯状态下有在纯弯状态下有 ，得到剪应变为，得到剪应变为由平衡方程可知，当弯矩为常数时剪力为零。而从上式看到除在由平衡方程可知，当弯矩为常数时剪力为零。而从上式看到除在 处外其他点处剪应变和剪应力均不为零。这种横向剪切称为寄生剪切处外其他点处剪应变和剪应力均不为零。这种横向剪切称为寄生剪切（parasitic shear）。）。 21121112()(1)(1), 1,122MMxyxxuul 21120,MMxxuu 2xy019 5 5 板壳问题板壳问题 l薄膜自锁薄膜自锁 考虑考虑Maguerre浅梁方

17、程：浅梁方程： 是中线的初始挠度，反映了梁的曲率。是中线的初始挠度，反映了梁的曲率。 考虑考虑3节点梁单元，节点梁单元， 为为x得二次式，由于得二次式，由于 仅为线性，在仅为线性，在纯弯模式中，如果纯弯模式中，如果 不为零，则薄膜应变在整个单元中不可能处处不为零，则薄膜应变在整个单元中不可能处处为零。为零。 因此，薄膜应变也可以看作是源于有限元插值不能够表示不可伸因此，薄膜应变也可以看作是源于有限元插值不能够表示不可伸缩的运动。同样，剪切自锁也可类似地解释。缩的运动。同样，剪切自锁也可类似地解释。 0,2Mxxx xxy xxxyy xuw uyu0w0,xyu uw和, x xu0w20 5

18、 5 板壳问题板壳问题 l消除自锁消除自锁 有多种方法来消除自锁：有多种方法来消除自锁：1）使用能正确反映剪切变形和薄膜变形的点来替代单元上其他点变）使用能正确反映剪切变形和薄膜变形的点来替代单元上其他点变形，限制剪切能和膜能量，达到消除自锁的目的，如选择积分和减缩形，限制剪切能和膜能量，达到消除自锁的目的，如选择积分和减缩积分；积分；2）假设应变法，实质是设计横向剪切场和薄膜应变场，从而使的寄）假设应变法，实质是设计横向剪切场和薄膜应变场，从而使的寄生剪切和薄膜自锁最小；生剪切和薄膜自锁最小；3）通过多场变量变分原理的有限元列式，选取适当的横向剪切模式）通过多场变量变分原理的有限元列式，选取

19、适当的横向剪切模式和薄膜模式达到避免自锁的目的。和薄膜模式达到避免自锁的目的。21 5 5 板壳问题板壳问题 一点积分壳单元一点积分壳单元 在大规模非线性计算时，由于问题包括不平滑现象，如弹在大规模非线性计算时，由于问题包括不平滑现象，如弹-塑性和塑性和接触接触-碰撞等，应用高阶单元几乎没有优越性，。碰撞等，应用高阶单元几乎没有优越性，。 在显式算法的软件中，最常用的壳单元是采用一点积分的在显式算法的软件中，最常用的壳单元是采用一点积分的4节点四节点四边形单元。这里的一点积分是指在参考面上的积分点数目，沿壳厚度边形单元。这里的一点积分是指在参考面上的积分点数目，沿壳厚度的积分点取决于非线性材料

20、响应的复杂程度。的积分点取决于非线性材料响应的复杂程度。 22These elements are the most commonly used in large-scale analysis because they work well with diagonal mass matrices and are extremely robust. 5 5 板壳问题板壳问题 由于只有一个积分点，单元是缺秩的，不具有稳定性。对弯曲部由于只有一个积分点，单元是缺秩的，不具有稳定性。对弯曲部分的秩缺分的秩缺4个，薄膜部分缺个，薄膜部分缺2个。个。23具有沙漏模式有限元网格具有沙漏模式有限元网格 5 5

21、板壳问题板壳问题 24显式有限元常用的显式有限元常用的4节点单元节点单元 5 5 板壳问题板壳问题 25l 补片试验（补片试验（Patch TestPatch Test） 由由B M IronsB M Irons（19721972）提出，通过补片试验的单元，其解应是）提出，通过补片试验的单元，其解应是收敛的。收敛的。 “ “数值实验数值实验”由几个单元组成，至少含有一个内节由几个单元组成，至少含有一个内节点的单元网格，考察单元能否正确反映常应变或常曲率。点的单元网格，考察单元能否正确反映常应变或常曲率。 R H MacNeal建议的网格建议的网格 5 5 板壳问题板壳问题 The earlie

22、st is the Belytschko-Tsay (BT) element, which is based on Belytschko and Tsay (1983) and Belytschko, Liu, and Tsay(1984). It is constructed by combining a flat, four-node element with a plane quadrilateral four-node membrane. As indicated in Table X, it dos not respond correctly when its configurati

23、on is warped (this shortcoming manifests itself primarily when one or two lines of elements are used to model twisted beams, as described later). However, the element is very robust and fast. Whereas most of the other elements often fail when subjected to severe distortions, the BT element seldom ab

24、orts a computation. This is highly valued in industrial settings. 26 5 5 板壳问题板壳问题 27The Hughes-Liu (HL) element, partially described in Hughes and Liu (1981), is CB shell element. In explicit codes, it is used with a single stack of quadrature points, so it also requires hourglass control and the te

25、chniques developed in Belytschko, Liu and Tsay (1984) are used. It is significantly slower than the BT element. 5 5 板壳问题板壳问题 28The BWC element corrects the twist, i.e., the warped configuration defect in the BT element. Otherwise, it is quite similar. In the BL element, the so-called physical hourgl

26、ass control described in Chapter 8 is implemented. This hourglass control is based on a multifield variational principle, so it is theoretically possible to exactly reproduce the behavior of a fully integrated element. However, in practice this is possible only for obtaining closed form expressions

27、for the physical hourglass control. Nevertheless, this form of hourglass control provides a substantial advantage; it can be increased to moderately large values without inducing locking; whereas in the BT element high values of the hourglass control parameters result in locking. 5 5 板壳问题板壳问题 29Both

28、 the BL element and the fully integrated element are afflicted with another shortcoming. In problems with large distortions, these elements fail suddenly and dramatically, aborting the simulation. So the advantage of single quadrature point elements does not reside only in their superior speed, in addition, they tend to be more Robust. 5 5 板壳问题板壳问题 30The YASE element (yet another shell element) incorporates the Pian-S