有关一阶线性微分方程积分因子的解法

1、有关一阶线性微分方程积分因子的解法摘 要：当一阶线性微分方程不是恰当微分方程或不存在只含有一个未知数的积分因子时，微分方程的积分因子不易求得. 本文给出了三种特殊形式的积分因子并证明了这三种积分因子存在的充分必要条件.关键词：偏导数；偏微分方程；线性微分方程；积分因子 一 引言 对于一阶微分方程 ， (1)假设存在连续可微的函数，使得，那么方程 (1) 为一阶恰当微分方程，即存在函数，使, (2)且称非零函数为方程(1)的积分因子假设找到方程(1)的积分因子，就设法求得式(2)的一个原函数，从而是方程(1)的通解引理1 设,在单连通区域内连续且有连续一阶偏导数，且,那么函数为1的积分因子的充分

2、必要条件是 ， (3)式3是一个以为未知数函数的一阶线性偏微分方程，通常情况下，要想通过具体求解方程(3)而求得积分因子是比较困难的但某些特殊情况下，不难求得(3)的一个特解，而作为积分因子文献1给出了结论，方程(1)有只与有关的积分因子的充分必要条件是，这里仅为的函数.方程 (1)有只与有关的积分因子的充分必要条件是,这里仅为的函数.当微分方程不存在只与或有关的积分因子，用此方法无法求解.本文给出 3 种只依赖,形式的积分因子存在的充分必要条件，这有助于积分因子的求解.二 一阶微分方程积分因子的解法定理1 方程1有一个只依赖形式的积分因子的充分必要条件是, (4)此时是方程 (1) 的一个积

3、分因子,是的一个原函数. 证明 必要性，设是方程1的一个积分因子，那么,.代入式 ,可得= 消去,并化简可得,即(4)式成立.充分性，假设式4成立，那么，整理得,那么有. (5)设是的一个原函数,式5两边同乘以,那么式成立.即是方程1的一个积分因子. 证毕定理2 方程1有一个只依赖形式的积分因子的充分必要条件 . (6)此时是方程1的一个积分因子是的一个原函数.证明 必要性， 设是方程(1)的一个积分因子，那么,.代入式,可得消去,整理可得,即(6)式成立.充分性，假设(6)式成立，那么整理可得下式. (7)设是的一个原函数,式(7)两边乘以，那么(3)式成立.即是方程(1)的一个积分因子.证

4、毕.定理3 假设方程(1)中,在内连续且有连续偏导数,，且满足,. 那么方程(1)存在形如积分因子的充要条件是 ， (8)并且积分因子由下式确定,. (9) (9)中由(8)给出.证明 必要性，设,是方程(1)的积分因子，,.即得，从而整理得,取，那么有，可得(8).充分性，假设,令,.那么 ,所以 .从而(9)为积分因子.三 应用举例例1 解方程. 10解 方程10可化为，此时,，那么,，所以不存在只与或有关的积分因子由于，取,那么有 .那么根据定理1，方程10有只依赖于形式的积分因子.于是方程10有积分因子. 例2 求解方程. 11解 方程11可化为 令,那么 ,，所以不存在只与或有关的积

5、分因子由，取 ，那么有.根据定理2,方程11有只依赖于形式的积分因子.设，求得原函数.于是方程11有积分因子 ，进而可求得其通解为 .例3 求解方程. (12)解 ,那么,可得.取,.那么有 从而由定理知方程有积分因子 .文章虽给出了一些以特殊积分因子解线性微分方程的方法，但是在学习中依然存在许多其它特殊的积分因子用以上方法难以解决，还需要继续探索参考文献：1 石瑞青，闫晓红，郭红建，等常微分方程全程导学及习题全解M北京：中国时代经济出版社，20212 赵临龙常微分方程研究新论M西安：西安地图出版社，20003 刘许成.复合型积分因子的存在定理及应用j.阜阳师范学院学报.2003,20(6)3

6、9-414 高正辉.一阶微分方程三类积分因子的计算J.衡阳师范学院学报(自然科学版),2002(3)5 东北师范大学数学系.常微分方程M.北京:高等教育出版社,1982.35-48Method of Solution Integrating Factor of Linear First-order Differential EquationAbstract: As for linear first-order differential equation and it will not exist if it has only one unknown number of integrating factor. So the differential equation will be difficult to solve. This thesis gives three particular forms of integrating factors which proves the sufficient and necessary condition of existence. Keyw