分类思想在初中数学中的探究

1、分类思想在初中数学中的探究分类思想是中学数学四大思想之一 ,分类思想不像一般数学知识那样 ,通过几节课的教学就可以掌握。它根据学生的年龄特征 ,学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点 ,逐步渗透 ,螺旋上升 ,不断地丰富自身的内涵。教学中可以从以下几个方面 ,让学生在数学学习过程中 ,通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括 ,形成对分类思想的主动应用。渗透分类思想 ,养成分类的意识每个学生在日常中都具有一定的分类知识 ,如人群的分类、文具的分类等 ,教师利用学生的这一认识根底 ,把生活中的分类迁移到数学中来 ,在教学中进行数学分类思想的渗透 ,挖掘教材提供的时机 ,把握渗透的契机。如：数的分类

2、 ,绝对值的意义 ,不等式的性质等 ,都是渗透分类思想的很好时机。教授完负数、有理数的概念后 ,及时引导学生对有理数进行分类 ,让学生了解到对不同的标准 ,有理数有不同的分类方法 ,如分为整数、分数；或分为正有理数 ,零 ,负有理数 ,为下一步分类讨论奠定根底。讲解绝对值的意义时 ,引导学生得到如下分类：正数的绝对值是正数 ,负数的绝对值是正数 ,零的绝对值是零。通过对正数、零、负数的绝对值的认识 ,让学生了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。结合?有理数?这一章的教学 ,反复渗透 ,强化数学分类思想 ,使学生逐步形成数学学习中的分类的意识 ,并能在分类讨论的时候注意一些根本原那么 ,如分

3、类的对象是确定的 ,标准是统一的 ,如假设不然 ,对象混杂 ,标准不一 ,就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数 ,就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后 ,还要注意分清层次 ,不越级讨论。学习分类方法 ,增强思维的缜密性在教学中渗透分类思想时 ,应让学生了解 ,所谓分类就是选取适当的标准 ,根据对象的属性 ,不重复、不遗漏地划分为假设干类 ,而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法 ,就成为解决问题的关键所在。分类的方法常有以下几种：2.1根据数学的概念进行分类。有些数学概念是分类给出的 ,解答此类题 ,一般按概念的分类形式进行分类。例如：比拟有理数的大小

4、。两个有理数的大小比拟 ,可以分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比拟。而负数和负数的大小比拟是新的知识点 ,这就突出了学习的重点 ,正确进行分类讨论 ,可得到正确的解答。2.2根据数学的法那么、性质或特殊规定进行分类。学习一元二次方程根的判别式时 ,对于变形后的方程ax2+bx+c=0a0用两边开平方法求解 ,需要分类讨论0 ,0 ,0这三种情况来对应方程的解的情况。而此题的符号决定能否开平方 ,是分类的依据。从而得到一元二次方程的根的三种情况。又如 ,解关于x的不等式：ax+32x+a ,通过变形得到a-2xa-3 ,这时要根据不等式的性质分类讨论a-20

5、 ,a-20 ,a-2=0三种情况分别解不等式。2.3根据图形的特征或相互间的关系进行分类。如三角形按角分类 ,有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 ,直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。例如 ,等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30° ,底边长为a ,那么其腰上的高是多少？分析：此题根据图形的特征 ,把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作腰上的高 ,可得腰上的高出现不同的位置进行分类求解。引导分类讨论 ,提高合理解题的能力初中课本中有不少定理、法那么、公式、习题 ,都需要分类讨论 ,在教授这些内容时 ,应不断强化学生分类讨论的意识

6、 ,让学生认识到这些问题 ,只有通过分类讨论后 ,得到的结论才是完整的、正确的 ,如不分类讨论 ,就很容易出现错误。在解题教学中 ,通过分类讨论还有利于帮助学生概括、总结出规律性的东西 ,从而加强学生思维的条理性 ,缜密性。一般来讲 ,利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：其一是涉及代数式或函数或方程中 ,根据字母不同的取值情况 ,分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况 ,逐一讨论解决问题。例4、函救ym-1x2m-2x1m是实数。如果函数的图象和x轴只有一个交点 ,求m的值。分析：这里从函数分类的角度讨论 ,分m1=0和m10两种情况来研究解决问

7、题。解：当m时函数就是一个一次函数yx1 ,它与x轴只有一个交点-1 ,0；当m10时 ,函数就是一个二次函数ym1x2m2x1；当m22+4m1=0 ,得m=0 ,抛物线y=x22x1的顶点1 ,0在x轴上。例5、函数y=x6-x5+x4-x3+x2-x+1 ,求证：y的值恒为正数。分析：将y的表达式分解因式 ,虽可证得结论但较难。分析可发现 ,假设将变量x在实数范围内适当分类 ,那么问题容易解决。证明：当x0时 ,x5-x3-x0y1恒成立；当01时 ,y=x6+x4-x+x2-x3+x-1x4x5 ,x2x3 ,1xy0成立；当x=1时 ,y=10成立；当x1时 ,y=x6-x5+x4-

8、x3+x2-x+1x6x5 ,x4x3 ,x2xy1成立 ,综上可知 ,y0成立。由以上的几个例子 ,我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单 ,解题思路非常的清晰 ,步骤非常的明了。另一方面在讨论当中 ,可以激发学生学习数学的兴趣。一般说来 ,“教师概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋唐初学者 ,四门博士?春秋谷梁传疏?曰：“师者教人以不及 ,故谓师为师资也。这儿的“师资 ,其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。?韩非子?也有云：“今有不才之子师长教之弗为变其“师长当然也指教师。这儿的“师资和“师长可称为“教师概念的雏形 ,但仍说不上是名副其实的“教师 ,因为“教师必须要

9、有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。要练说 ,得练听。听是说的前提 ,听得准确 ,才有条件正确模仿 ,才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中 ,注意听说结合 ,训练幼儿听的能力 ,课堂上 ,我特别重视教师的语言 ,我对幼儿说话 ,注意声音清楚 ,上下起伏 ,抑扬有致 ,富有吸引力 ,这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时 ,就随时表扬那些静听的幼儿 ,或是让他重复别人说过的内容 ,抓住教育时机 ,要求他们专心听 ,用心记。平时我还通过各种趣味活动 ,培养幼儿边听边记 ,边听边想 ,边听边说的能力 ,如听词对词 ,听词句说意思 ,听句子辩正误 ,听故事讲述故事 ,听谜语猜谜底 ,听智力故事 ,动脑筋 ,出主意 ,听儿歌上句 ,接儿歌下句等 ,这样幼儿学得生动活泼 ,轻松愉快 ,既训练了听的能力 ,强化了记忆