第一章离散时间信号与离散时间系统(2)-数字信号处理

1、1.51.5 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念 一个离散系统，可以抽象为一种变换，或是一种映射，即把输入序列x(n)变换为输出序列 y(n)： y(n) =Tx(n) 式中T代表变换，这样，一个离散时间系统，既可以是一个硬件装置，也可以是一个数学表达式。 Tx(n)x(n)y(n)1.51.5 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念o 例：已知系统y(n)= ，式中b(0)，b(1)，b(2)为常数，这是一个三点加权平均器，若b(0)=b(1)=b(2)=1/3，那么该系统是一个三点平均器，它的信号流图为：20k)kn(x)k(bx(n)单位单位延迟延迟单位单位延迟延迟x(n

2、-1)x(n-2)b(2)b(1)b(0)y(n)1.51.5 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念 若令输入信号x(n)=(n)，那么，这时的输出y(n)是由单位抽样信号(n)激励该系统所产生的响应。因此，我们称这时的y (n) 为系统的单位抽样响应，并记为h(n)，h(n)反映了系统的固有特性，它是离散系统的一个重要参数。 如若将上例中的x(n)换成(n)，有: h(n) =b(n)(n)+ b(1)(n-1)+b(2)(n-2) 所以， h(0)=b(0)，h(1)=b(1)，h(2)=b(2) 且当n2和n2时h(n)01.51.5 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念

3、 由以上两例可以看出，三点平均器的单位抽样响应仅在n=0，1，2时有值，即为有限长。这一类系统称为“有限冲激响应”系统，简称为FIR系统。 对于这样一个系统，y(n)=ay(n-1)+x(n)，由于包含了有输出到输入的反馈，因此其抽样响应为无限长，我们称这一类系统为“无限冲击响应”（infinite impulse response,IIR）系统，简称为IIR系统。1.51.5 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念o 下面是有关离散系统的几个定义： 线性： 设一个离散系统对x1(n)的响应是y1(n)，对x2(n)的响应是y2(n)即 y1(n)=Tx1(n) y2(n)=Tx2(n)

4、 若该系统对x1(n)+x2(n)的响应是y1(n)+y2(n)，那么我们说该系统是线性的。1.51.5 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念 移不变性： 设一个离散系统对x(n)的响应是y (n)，如果将x(n)延迟了k个抽样周期，输出y(n)也相应的延迟了k个抽样周期，那么我们说该系统具有移不变性，即 y (n) =Tx(n) y (n-k)=Tx(n-k) 该性质的含义还可以直观地解释为：对给定的输入，系统的输出和输入的施加时间无关，即不论何时加上输入，只要输入信号一样，输出信号的形态就保持不变。1.51.5 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念(n)n (n-3)n 3

5、n h(n) n 3 h(n-3) 由前述单位抽样响应的定义，h(n)=T(n)，对移不变系统，则必有h(n-k)=T(n-k)。因此，从h(n)的行为即可判断所研究的系统是否具有移不变性。1.51.5 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念 *同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变（linear shift invariant, LSI）离散时间系统，简称LSI系统。 因果性： 一个LSI系统，如果它在任意时刻的输出只决定与现在时刻和过去的输入，x(n)，x(n-1)，x(n-2)而和将来的输入无关，那么我们说系统是因果（cousal）系统。1.51.5 离散时间系统的基本

6、概念离散时间系统的基本概念 稳定性： 一个信号x(n)，如果存在一个实数R，使的对所有的n都满足 x(n) R，那么我们称x(n)是有界的，对一个LSI系统，若输入x(n)是有界的，输出y(n)也有界，那么该系统是稳定的。1.6 LSI1.6 LSI系统的输入输出关系系统的输入输出关系 线性卷积 y(n)= y(n)=x (n)*h(n)= =例：令h(n)=h(0)，h(1)=1，1， x(n)=x(0)，x(1)，x(2)，x(3)=1，2，3，4 试求x(n)和h(n)的线性卷积。k)kn(h)k(xk)kn(h)k(xk)kn(x)k(h h(k) -1 0 1 2 k h(-k)-1

7、 0 1 2 k1-1 0 1 2 3 kx(k)2341.6 LSI1.6 LSI系统的输入输出关系系统的输入输出关系 y(n)= k)kn(h)k(x y(0)= k)k(h)k(xy(1)= y(2)= y(3)= y(4)= k)k1 (h)k(xk)k2(h)k(xk)k3(h)k(xk)k4(h)k(x=2+3=5=1=2+1=3=7=4当n5时,y(n)0 ， 共有L+M-1个值。1.6 LSI1.6 LSI系统的输入输出关系系统的输入输出关系简单方法： x(n)=1, 2, 3, 4 h(n)= 1, 1, 0, 0 L=4 2L-1=7 ，把每个向量补齐7个值。 x(n)=

8、1, 2, 3, 4 , 0, 0, 0 h(n)= 1, 1, 0, 0 , 0, 0 ,0 x(n)逆时针排列，h(n)顺时针排列如下图1。对应位置两数相乘，然后相加，即可求出y(0)=1。1.6 LSI1.6 LSI系统的输入输出关系系统的输入输出关系 然后，将外环数据逆时针旋转一格，得图2，求出y(1)=1*1+2*1=3。 依次将7结果都求出，得y(2)=5，y(3)=7，y(4)=4，y(5)=0， y(6)=0，y(7)=01234000110000012340001100000外 环 数 据 逆时针旋转一格图1图21.7 1.7 确定性信号的相关函数确定性信号的相关函数o 1.

9、7.1 相关函数的定义 rxy(m)=为信号x(n)和y(n)的互相关函数，该式表示rxy(m)在时刻m时的值，等于将x(n)保持不动而y(n)左移m个抽样周期后两个序列对应相乘再相加的结果。 上式中的rxy(m)=不能写成ryx(m)，这是因为 ryx(m) = = =rxy(-m)n)mn(x)n(yn)mn(y)n(x1.7 1.7 确定性信号的相关函数确定性信号的相关函数 自相关函数反映了信号x(n)和其自身作了一段延迟之后的x(n+m)的相似程度。 rxx(0)= =Ex，即rxx(0)等于信号x(n)自身的 能量。 如果x(n)不是能量信号，那么rxx(0)将趋于无穷大，对于功率信

10、号，其相关函数定义为： rxy(m)= rxx(m)=n2)n(xNNnn)mn(y)n(x1N21limNNnn)mn(x)n(x1N21lim1.7 1.7 确定性信号的相关函数确定性信号的相关函数 如果x(n)是周期信号，且周期为N，其自相关函数 rxx(m)= = =rxx(m+N) 即周期函数的自相关函数也是周期的，且和原信号同周期。所以，无限多个周期的求和平均可以用一个周期的求和平均来代替，即 rxx(m)= 以上讨论的为实信号。1N0nn)mn(x)n(xN1lim1N0nN)mNn(x)n(xN1lim1N0n)mn(x)n(xN11.7.2 相关函数和线性卷积的关系 线性卷积

11、g(n)= g(m)= =x(m)*y(m) x(n)和y(n)的互相关函数为 rxy(m)= = = 则相关和卷积的时域关系为: rxy(m)= x(-m)*y(m) m)m(y)mn(xn)n(y)nm(xn)mn(y)n(xn)n(y)mn(xn)n(y)nm(x1.7.2 相关函数和线性卷积的关系*尽管相关和卷积在计算形式上有相似之处，但二者所表示的物理意义是截然不同的，线性卷积表示了LSI系统输入、输出和单位抽样响应之间的一个基本关系，而相关只是反映了两个信号之间的相关性，与系统无关。173 相关函数的性质o 自相关函数有如下性质: 1.若x(n)是实信号，则rx(m)为实偶函数，即

12、 rx(m)=rx(-m) 若x(n)是复信号，则rx(m)满足 rx(m)=rx*(-m) 2.rx(m)在m=0时取得最大值，即 rx(0) rx(m) 3.若x(n)是能量信号，则当m趋于无穷时，有 此式说明：将x(n)相对自身移至无穷远处，而 者以无相关性。0)m(rlimxxm1.7.3 相关函数的性质o 互相关函数有如下性质： 1. rxy(m)不是实偶函数，有 rxy(m)= ryx(-m) 2. rxy(m)满足|rxy(m) | 3.若x(n)，y(n)都是能量信号，则当m趋于无穷时，有 yxyxEE)0(r )0(r0)m(rlimxym1.7.4 相关函数的应用 相关函数

13、的应用很广，例如噪声中的信号检测，信号中隐含周期性的检测，信号相关性的检测，信号时延长度的检测等等，相关函数还是描述随机信号的重要特征量。 设观察到的信号x(n)由真正的信号s(n)和白噪声u(n)所组成，即x(n) = s(n) +u(n)，假定s(n)是周期的，周期为M，x(n)的长度为N，且NM，那么x(n)的自相关函数 rxx(m)= = rs(m)+rus(m)+rsu(m)+ru(m) 式中，rus(m)和rsu(m)是s(n)和u(n)的互相关函数，一般噪声是随机的，和信号s(n)应无相关性，这两项应该很小，式中ru(m)是噪声u(n)的自相关函数，ru(m)主要集中在m=0处有

14、值，当|m|0时，衰减很快，若s(n)是周期性的函数，则rs(m)还是周期性的，且在m=0，M，2M处呈现峰值，从而揭示出隐含在x(n)中的周期性。)mn(u)mn( s)n(u)n( s N11N0n信噪比 3dB 白噪信号 rxx(m)自相关 18 LSI系统的转移函数o 转移函数定义 对于一个线性移不变离散时间系统，他的描述方法有四种（1）频率响应 H( ) =（2）转移函数 H (z) = （3）插分方程 y(n)= x（n）y（n）h（n）je0nnz)n(h0njne )n(hN1kM0r) rn(x) r (b)kn(y)k(a1.8 LSI1.8 LSI系统的转移函数系统的转移

15、函数（4）卷积关系 y(n)= =x(n)*h(n) 两边取z变换: Y(z)= 由z变换的卷积性质 Y(z)=X(z)H(z) 则 H(z)= k)kn(h)k(xM0rrN1kkz) r (b)z(Xz)k(a)z(YM1rrN1kkz) r (b)0(b)z(Xz)k(a1)z(YN1kkM0rrz)k(a1z) r (b)z(X)z(Y1.8 LSI1.8 LSI系统的转移函数系统的转移函数 H(z)称为系统的转移函数，它既可定义为系统单位抽样响应h(n)的z变换 ，也可定义为系统输出、输入z变换之比。 若令a(k)=0，k=1，2， N，并令b(0)=1，则 对应的插分方程为 y(n

16、)= 该系统的单位抽样响应M1rrz) r (b1) z(H)n(x) rn(x) r (bM1rM0r) rn() r (b)n(h1.8 LSI1.8 LSI系统的转移函数系统的转移函数 即：h(0)=b(0)，h(1)=b(1) h(M)=b(M)，对Nm ，h(n)0 。所以该系统为FIR系统，FIR系统由于其h(n)为有限长，在输入端不包含输出对输入的反馈，因此总是稳定的。 若a(k)k=1，2， N不全为零，那么输入端包含输出端的反馈，因此，h(n)将是无限长，该系统称为IIR系统，IIR系统存在稳定性问题。1.8 LSI1.8 LSI系统的转移函数系统的转移函数o 离散系统的极零

17、点分析 式中Zr为零点（使分子为零的点），Pk为极点（使分母为零的点）。o 系统的稳定性判据 一个LSI稳定的充要条件是其所有的极点都位于单位圆内。N1kkM1rrMN)pz()zz(gz)z(H1.8 LSI1.8 LSI系统的转移函数系统的转移函数o 由极零图估计系统的频率响应 令z= 则jeN1kkjM1rrj)MN( jj)pe ()ze (ge)e (HN1kkjM1rrjjpezeg)e (H)arg()arg(arg)(11)(kNkjMrrjMNjjpezeee1.9 1.9 滤波基本概念滤波基本概念 滤波器：其作用是对输入信号起到滤波的作用。 输入输出的复频域关系为 Y(z)

18、=X(z)H(z)若令z在单位圆上取值，则可得到系统输入输出的频域关系 Y( )=X( )H( ) （3） 建立在公式（3）上的滤波方法称为线性滤波，用于线性滤波的H(z)，按其频率特性可以分为低通、高通、带通和带阻滤波四种。其波形为:jejeje1.9 1.9 滤波基本概念滤波基本概念 以低通滤波器为例，所谓低通滤波是指 x(n)通过系统h(n)的结果是使输出y(n)中不再含有|c|的频率成份，而使|c|的成份不失真的通过，所以设计不同形状的 ，就可以得到不同的滤波结果。1.9 1.9 滤波基本概念滤波基本概念o 例1：令H0(z) H1(z) H2(z) a=b=c=0.5 仅靠零点来影响滤波器的频率特性，当然效果不太好，所以加极点。 z) 1z(a)z1 (a1 0.25 0.5 /2 ReIm=z) 1z (b)z1 (b1 0.25 0.5 /2 )ze1)(ze1 ( c12j12j 0.25 0.5 /2 1.9 1.9 滤波基本概念滤波基本概念o 例2： H0(z) 低通 H1(z) 高通 H2(z) 带通式*设计数字滤波器的一般原则：若设计的滤波器拒绝某一个频率（即不让该频率的信号通过），应在单位圆上相应的频率处设置一个零点；反之，若使滤波器