建模观与高等数学概念教学-数学建模论文

1、    建模观与高等数学概念教学    摘 要：力求在建模观下，基于高等数学概念的特点，研究高等数学概念教学的途径，并结合具体案例，探索教学的新模式。关键词：数学概念；模型；建模观；概念教学中图分类号：G648文献标志码：A 文章编号：1002-2589（2011）01-0258-02引言近年来，“数学是关于模式的科学”这一定义得到了数学界的广泛认同。模式（Pattern）是数理哲学中的一个术语，相当于著名数学家贝尔纳斯所说的“结构”。数学模式是抽象思维的产物，我国著名数学家徐利治解释道：一般来说，数学模式（Mat

2、hematical Patten）指的就是，按照某种理想化的要求（或实际可应用的标准）来反映（或概括地表现）一类或一种事物关系结构的数学形式”。由此不难看出，数学模式的实体是数学模型，对于数学概念而言，即是由现实事物的本质属性抽象出来的数学模型。数学概念是抽象思维的产物，也是数学研究的起点，更是数学教学的重点和难点。高等数学概念与初等数学概念在含义与思维模式上的变化必然会在数学教学中有所反映，它使学生在开始接触微积分概念时很容易出现困惑，极限、无穷小等概念令他们难以理解，而这种困惑在一定意义上正是历史上的思想困惑的逻辑重演。因为在历史上，就微积分概念的逻辑基础曾引起过多方论战，并导致了数学史上

3、的“第二次数学危机”，严格的极限理论是牛顿、莱布尼兹之后的多位数学家历经一百多年的时间通过不懈的努力才得以建立起来的，由此才为微积分奠定了严密的、牢固的逻辑基础。所以，学生的困惑不解也就不足为奇了。如何根据高等数学概念的特点，把握学生的认知规律进行教学已成为高等数学教学研究的一个热点话题。高等数学概念是高度抽象的数学模型，是现实事物本质属性和思想方法的“结晶体”。如：函数是揭示一种现象与另一种现象之间对应关系的数学模型；极限是刻画现象变化趋势的数学模型；导数是揭示现象变化程度的数学模型追溯这些概念的形成过程，都具有丰厚的历史背景和显著的人为特征。因此，在教学中若能将概念视为数学模型，从建模的角

4、度引导学生经历建模、识模、用模的过程，去揭示概念的本质，认识概念、理解概念、应用概念，这将对高等数学概念教学有着特别的意义。一、用建模观指导数学概念教学美国的勒什（Richard Lesh）和多尔（Helen M.Dlerr）等学者于2003年提出了“模型与建模观（Model and Modeling perspectives or M & M perspectives）”的概念，认为模型实质上是一种存在于学习者或问题解决者头脑中的概念系统，当这种概念系统用外部符号表示，即表现为方程、图表、计算机程序或其他表征媒介时，（内在的）概念系统才被投射到（外在的）世界。数学建模的过程实质上是将

5、学生（内在）的概念系统通过数学符号进行外化的过程，而这种外化往往要通过多重表征来实现，以便学生从中选择或精练出最好的模型，即可共享、可控制、可修改、可迁移、可重复使用的模型。它是以实用主义观点为哲学基础、以模型建构活动为教学形式的关于数学问题解决、学习与教学的一种新观念。不难发现，学生开发的概念系统（模型）类似于认知结构（用于解释经验的图式）的概念系统，但通常是比后者更情景化、更具体、更丰富的现实背景。对概念系统进行提炼、概括、抽象和简化，形成数学结构，这便是数学模型。这样的数学模型具有可共享、可控制、可修改、可迁移、可重复使用等特征，能反映现实对象的本质属性和思想精髓。将高等数学概念视为数学

6、模型来进行教学，渗透了数学建模的思想。学习数学模型的最好方法就是亲自经历数学建模过程，首先引导学生从大量的现实背景中选择或精炼出数学模型（数学概念），然后利用特定的数学方法来研究它的特征与性质，再运用数学模型（数学概念）迁移或使用到实际问题中。由于数学模型是从现实原型中抽象出来的，它高于原型，可用于刻画和解决包括原型在内的更加广泛的一类问题，这一过程凸显出了数学概念的来龙去脉，有助于学生更加深刻地掌握数学概念，理解数学规律及思想方法。因此，建模观对高等数学概念教学具有深刻的指导意义，它遵循学生的认知特点，符合概念的建构理论，在引导学生真正理解概念、认识数学的本质上有着事半功倍的作用。二、建模观指导下的高等数学概念教学模式爱因斯坦曾说过：“科学结论几乎是以完成的形式出现在读者面前，读者体验不到探索和发现的喜悦，感觉不到思想形成的生动过程，数学尤为突出。”建模观指导下的高等数学概念教学应该是将教学过程看做师生进行建模、识模