哈工大数字信号处理第七章有限单位冲激响应（fir）数字滤波器的设计方法2

1、1三、线性相位三、线性相位FIR滤波器零点分布特点滤波器零点分布特点1Nh nh NnhnNH zzH z ()( )() ( )()1111、由） 所以这说明：若 是零点，则 也是零点。iziz1*( )( )h nh n2 、（实数）*( )()H zHz即：若 是零点，则 也是零点。iz*z2 1、零点 既不在实轴上，又不在单位圆上，则必有两对零点， 2、零点在单位圆上，一对零点； 3、若在实轴上，也只有一对零点； *1/1/iiiizzzzzzzz、和、*1/,1/iiiizzzz*1/1/iiiizzzz和0000iz*iziz1*()iz100003 4、零点既在单位圆上，又在实轴

2、上，则零点成单个出现， 即z=1，z= -1。 5、当N为偶数时，有N-1奇数个零点，其中必有一个为z=1或z= -1。 当N为奇数时，则有N-1偶数个零点。 在z=0处有N-1重极点 *1/1/iiiizzzz0000iz*iziz1*()iz100000044-2 窗口法设计有限冲击响应数字滤波器 一、FIR设计方法10()( )Nj nnH jh n e-()( )j nDdnHjh n e 给定的所要求的理想滤波器频率响应，要求设计一个FIR滤波器，即：寻找一有限长 ，使得：()DHj( )h n5sp阻带衰减A带内波动过度带 设计指标：一般给出如下频域指标：阻带衰减值（低好）带内波动

3、（平缓好）过渡带宽（窄好）或冲击响应宽度N 只是在某些特殊情况下才给出时域指标。6二、窗函数法设计方法二、窗函数法设计方法一般， 是逐段恒定的，因而， 无限长。选取有限长 的一种办法就是截断 。又称傅立叶级数法。10()( )Nj nnH jh n e-()( )j nDdnHjh n e ()DHj( )dh n( )h n( )dh n( )( ) ( )dh nh n w n7用窗函数法设计FIR滤波器的思路8为了得到对称的有限长（长度为N）序列h(n)，需右移 =(N-1)/2 后再截取hd(n)得h(n) 。 （线性相位FIR要求）误差：吉布斯(Gibbs)效应现象：通带内和阻带内波

4、动。原因：截断（又称截断效应）。9三、三、Gibbs现象现象设11( )0RnNw n其他10(1)/2()( )sin(/2)( )sin(/2)Nj nRRnj NjRWjwn eNeWe(1)/2N( )sin(/2)/sin(/2)RWN（矩形窗）10( )( ) ( )dh nh n w n因为1()() ()2DRH jHjWjd所以()1( )()21( )()2( )jjDRjDRjHeWedeHWdHe ( ) 线性( )( )*( )( )()DRDRHHWHWd1211ccccDRRHHWdWdNd( )( )()()sin()/ sin()/ 121212221( )0

5、cDH其他若：( )sin(/2)/sin( /2)RWN窗函数的幅度标量幅度标量函数12矩形窗对理想低通幅度特性的影响 cc1sin/21(0)2sin/2NHd、2()(0)/2cHH、3、当 时，达到最大正肩峰值。4、当 时，达到最大负肩峰值。 2 /cN2 /cN13（1）在wc附近，正负两肩峰之间形成一过渡带，宽度为：即等于的主瓣宽度。 4 / Nc2 /cN2 /cN过渡带c（2）在过渡带两侧（通带及阻带内）形成很长的逐渐衰减的波纹。起伏与窗函数的幅度谱有关。Wr(w)波动越快（N大），起伏越快。旁瓣大小也影响起伏。14四、减小四、减小Gibbs效应的措施效应的措施l增大N是否可减

6、小Gibbs效应？l若不能，是否有其他方法？15 1、改变N值，可以改变窗口频谱的主瓣宽度，但不能改变其主瓣与旁瓣电平的比值。最大负峰为-21dB. 2、增大N使过渡带宽变窄。 3、寻找其他窗函数，以减少带内起伏和加大阻带衰减。 ( )sin(/2)/sin(/2)Nsin(N/2)/(N/2)RWN4 / N16 实际设计中要求窗口频谱主瓣要窄，旁瓣要小。 但在N一定时，这两项要求总是不能同时满足。因旁瓣变小的同时会使主瓣宽度增加。 所以常以增加主瓣宽度来得到对旁瓣的抑制。为不使过渡带变宽，可以增加N的方法使主瓣变窄。 17五、常用窗函数1凯塞（凯塞（Kaiser）窗族）窗族 此类窗族的特点

7、是适应性强，起表达式为 通常情况下， 值增大，则其频谱旁瓣降低，主瓣增宽。 是第一类修正零阶贝塞尔函数， 200(1 2 /(1) 1 )( )( )InNnI01nN4 90( )Ix2201( )( )1!kxkIxk 22220(/2)( )( )(/2)NshNWIN凯塞窗族频谱的幅度函数 18 最大旁瓣(dB)阻带衰减(dB)主瓣宽度归一化系数D( )2.120-18.68-301.53.384-24.30-402.234.538-34.31-502.935.658-41.70-603.626.764-49.17-704.327.865-57.07-805.008.960-65.65

8、-905.710.056-74.60-1006.42 / N凯塞窗 的影响192布莱克曼（布莱克曼（Blackman）窗族）窗族 02( )( 1)cos()1Kkkknkw naN1）汉宁窗(Hanning,升余弦窗)，K=1， 2）海明窗(Hamming，改进升余弦窗)，K=1， 010.5aa212( )0.50.5cos()1 cos()01121nnw nnNNN010.54,0.46aa2( )0.540.46cos()011nw nnNN200120.42,0.5,0.08aaa24( )0.420.5cos()0.08cos()1101nnw nNNnN3）布莱克曼（Black

9、man）窗，K=2，21窗Ka0a1a2a3旁瓣(dB)阻带衰减主瓣宽D矩形01-13.3 -212Hanning10.50.5-31-444Hamming10.540.46-41-534Blackman20.420.50.08-57-746三项窗2 0.4496 0.4936 0.0568-62.15.5最小三项窗2 0.4232 0.4976 0.0792-70.86四项窗3 0.4021 0.4970 0.0939 0.00188 -74.47最小四项窗3 0.3588 0.4883 0.1413 0.01168-929Blackman 窗族的各项指标223巴特利特（巴特利特（Bartl

10、ett）窗）窗21012( )212112nNnNw nnNnNN 频谱最大旁瓣电平为-25dB， 阻带衰减为-31dB 主瓣宽度归一化系数D=4。 N-1(N-1)/2230510152025303540455000.10.20.30.40.50.60.70.80.91BlackmanBartlettHammingHanning 布莱克曼窗海明窗三角窗汉宁窗矩形窗2400.51-100-80-60-40-200Boxcar00.51-100-80-60-40-200Hamming00.51-100-80-60-40-200Hanning00.51-100-80-60-40-200Blackm

11、an 00.51-100-80-60-40-200Bartlett常用窗函数的幅度特性20log()W j25理想低通加窗后的幅度特性海明窗汉宁窗布莱克曼窗三角窗矩形窗261、根据给定的 或技术要求求 。 若 较复杂，可用FFT求解。 FFT点数应足够大。 如给出通带、阻带、截止频率等指标要求，可选用理想滤波器作逼近函数。然后采用IFFT求出 ()DHj( )dh n()DHj( )dh n六、窗口法设计FIR滤波器的步骤272、根据给定的阻带衰减选定合适的窗口w(n) 在满足阻带衰减时，尽量选用主瓣窄的窗。3、根据所选窗口的D值和给定的过渡带宽求出N值。4、右移求出h(n);5、验证设计结果

12、，即计算出 ，核对是否合乎给定的指标。若不满足设计指标，重复25步，进行修正设计，直到满足设计指标为止。(1)/2N( )() ( )dh nh nw n()H j28 注意： 利用窗口法设计FIR滤波器，所得滤波器的阻带衰减通常比窗口频谱的最大旁瓣衰减要大. 这是由于 与 的卷积过程对窗口的旁瓣起了平滑作用。 一般滤波器的阻带衰减与窗口频谱的最大旁瓣衰减相差约78dB以上。( )DH( )W29七、窗函数法特点七、窗函数法特点l设计简单、方便；l要求用计算机，边界频率不易控制。30例子例子l用矩形窗、Hanning窗、hamming窗、Blackman窗设计FIR低通滤波器，N=11,c=0

13、.2.31l解：首先求出hd(n).l位移=(N-1)/2=5,并截取l加窗。h(n)=hd(n)w(n)lDFT求H(jw)ccj n1( )ed =sin()/2dch nnn( )sin(0.2 (5)/(5) ),0n10dh nnn320246810-0.100.10.20.30.4nh(n)Impulse ResponseBoxcar N=1100.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/piMagnitude(dB)Magnitude Response(dB)00.20.40.60.81-4-2024Phase ResponseFrequency(w/pi)P

14、hase(rad)00.20.40.60.8100.20.40.60.81Magnitude ResponseFrequency W/piMangnitudeBoxcar N=11330246810-0.100.10.20.30.4nh(n)Impulse ResponseHanning N=1100.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/piMagnitude(dB)Magnitude Response(dB)00.20.40.60.81-4-2024Phase ResponseFrequency(w/pi)Phase(rad)00.20.40.60.8100.20.4

15、0.60.81Magnitude ResponseFrequency W/piMangnitudeHanning N=11340246810-0.100.10.20.30.4nh(n)Impulse ResponseHamming N=1100.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/piMagnitude(dB)Magnitude Response(dB)00.20.40.60.81-4-2024Phase ResponseFrequency(w/pi)Phase(rad)00.20.40.60.8100.20.40.60.81Magnitude ResponseFreq

16、uency W/piMangnitudeHamming N=11350246810-0.100.10.20.30.4nh(n)Impulse ResponseBlackman N=1100.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/piMagnitude(dB)Magnitude Response(dB)00.20.40.60.81-4-2024Phase ResponseFrequency(w/pi)Phase(rad)00.20.40.60.8100.20.40.60.81Magnitude ResponseFrequency W/piMangnitudeBlackman

17、 N=1136例例2：l设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为：fs=15KHz,通带截止频率为：fp=1.5KHz，阻带截止频率为：fst=3KHz，阻带衰减不小于-50dB.fpfst-50dB37l解：l（1）求数字频率 wp=fp/fs2=1.5/15 2=0.2wst=fst/fs2=3/15 2=0.4过渡带宽：=wst-wp=0.2中心频率： 0=（wst+wp)/2=0.3 (2)求hd(n) 略。38 （2）由阻带衰减-50dB.查表，可选Hamming窗，（-53dB） (3)有过渡带求N =24/N 40 取：N=41 (4)延时：=(N-1)/2=(41-1)

18、/2=20. (5)h(n)=hd(n-)w(n) (6)求H(jw),验证 满足要求。39010203040-0.100.10.20.30.4nh(n)Impulse ResponseHamming N=4100.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/piMagnitude(dB)Magnitude Response(dB)00.20.40.60.81-4-2024Phase ResponseFrequency(w/pi)Phase(rad)00.20.40.60.8100.20.40.60.81Magnitude ResponseFrequency W/piMangn

19、itudeHamming N=41404-4 FIR数字滤波器的抽样结构及频率抽样设计法 一、拉格朗日结构 1、多项式拟合01,.,nxxx01, .,( ),1,2,.,niib bbbf xin令自变量 x 取值：函数f(x)取值p(x)是拟合的n次多项式。则： 01,.,nx xxxp(x)0( ),(),0,1,2,.,niiikkp xa xp xb kn拉格朗日多项式：000()( )()nssns iiniisss ixxp xbxx41000():()()nkssns ikiniisss ixxp xbxx例如00()()0nksss isknksss iikxxsxxxx当时

20、，中必有一个 使 ，因此，, ( )(),0,1,2,.,kkp xp xb kn显然满足：0000()()1,()()()nnksissss is knnisissss is kkiikxxxxxxxxp xb当时，故：42若 为H(z)在 z 平面上任意选定的抽样点 的抽样值，则可得其拉格朗日结构： 0000()( )()nssnns iiiiniiisss ixxp xba xxx2、拉格郎日结构 (),1,2,.,kH zkn0111001110000( )()(1)()()()(1)nkiknniiiinni ki kkknnkkkiikiii ki kH za zzzz zH zH

21、 zzzz z1-1,( )( ),( ),iiiixzxzp xH z bH z则FIR滤波器kz-1iz同时乘4311110110(1)( ):(1)11NiNiiikki kz zP zz zz zz z令110, ( )(1)NiiP zz z其中10111000111100(1)P(z)1:( )()()1()(1)()( )( )()(1)1niinNi kkknkkkkkikii kNNkkkkkkkkz zH zH zH zz zP zz zH zAP zP zP zz zz z则110,:(1)()Nikkkii kz zP z并令:()/()kkkkAH zP z其中441

22、10:( )( )1NkkkAH zP zz z即110, ( )(1)NiiP zz z其中10-z z11-Nzz( )x n10z z0A11z z1A1-1Nzz-1NA( )y n3、FIR滤波器的拉格朗日结构N个一阶非递归系统零点：N个一阶递归系统极点：,1,2,.,kz kn,1,2,.,kz kn零极点互相抵消FIR滤波器45二、频率抽样结构二、频率抽样结构(拉格朗日结构的特殊格式拉格朗日结构的特殊格式)1、抽样函数、抽样函数 若 为H(z)在 z 平面上单位圆上的抽样点，抽样值为：则有内插公式：,1,2,.,kz kn1101( )( )1NNkkNzH kH zNWz( )

23、(),1,2,.,kH kH zkn110( )( )1NkkkAH zP zz z即相当于在拉格朗日结构:46拉格朗日结构拉格朗日结构,0,1,.,1iiNzWiN110( )/(1)NkNkH kwz可见，是由一个非递归系统 ，零点在：极点在： 级联而成。 110, ( )1(1)NNiiP zzz z 其中110( )( )1NkkkAH zP zz z,0,1,.,1iiNzWiN2,0,1,.,1jiiNiNzeWiN1101( )( )1NNkkNzH kH zNWz内插公式内插公式(1)Nz和递归系统47-Nz( )x n0NW0H( )y n2、频率抽样结构的流图、频率抽样结构

24、的流图：1z1H1z1zN-1H1NW(N 1)NW1101( )( )1NNkkNzH kH zNWz非递归系统递归系统48（2）缺点是其系数 和H(k)为复数，乘法运算比较麻烦。（3）极点都在单位圆上，易因误差造成系统不稳定。 3、频率抽样结构的特点、频率抽样结构的特点（1）系统在频率点 上的总响应等于H(k)。因此，对滤波器的频率特性能够直接控制。 22NjkkkNkzWekN或kNW1101( )( )1NNkkNzH kH zNWz491、对抽样点的修正110( )1( )(1)1NNNrkkNHkH zr zNrWz;( )()( )()()kkkNkNkrkzWzrWH kH z

25、H kH z单位圆上单位圆内:,0,1,.,1,|1iiNizrWiNzr 极点系统稳定1r ( )( )rHkH k1101( )( )(1)1NNNkkNH kH zr zNrWz三、系统函数的修正502、复系数实数化（将共轭对极点合并）（1）N为偶数时 /2 11111/2 1111( )( )( )11(0)(/2)11NNNNkkkk NNNr zH kH kH zNrWzrWzHH NrzrzN/2 1N/2 11(N)11k 1N/2 11111( )().111( )() .11NNkkkNNNNkkkNNr zH kH NkNrWzrWzr zH kH NkNrWzrW z5

26、1*( )()()( ),( ) |( )|jkH NkHkHkH kH ke对实系数FIR滤波器， 故可得：N/2 11112|( )|(0)/(N/2)/( )(1)( )11NNkkH kHNHNH zr zHzNrzrz1122cos ( )cos ( )2/,( )1 2 cos(2 /)IIR,kkrkk N zHzrN zr z其中是二阶系统 其系数是实数。（2）N为奇数2() 1112|( )|(0)/( )(1)( )1NNNkkH kHNH zr zHzNrz52N/2 11112|( )|(0)/(N/2)/( )(1)( )11NNkkH kHNHNH zr zHzNr

27、zrz3、网络结构(N为偶数)1( )Hz2|(1)| / NHN/2-1( )Hz2|(N/2 1)| / NH3( )Hz2|(3)| / NH2( )Hz2|(2)| / NH-NNrz1-rz1rzH(N/2)/ NH(0)/ N( )x n( )y n53特点：特点：（1）每个二阶网络的输出断的乘数都正比于|H(k)|，而滤波器在阻带内有H(k)=0，所以可减少二阶网络的的数目。（2）若滤波器是窄带的，则这种结构的乘法运算可能会比直接型结构少，能够简化系统的结构。（3）另外，这种结构的零点和极点数目仅取决于采样点数N，若信号处理需要很多并列的滤波器（如在频谱分析中，要求同时分别滤出各频率分量），则可用频率抽样结构来实现这些并列的滤波器，有严格的规范性。542、如果已知h(n)或给定的则需根据Z变换公式求出H(z)或 ，则四、H(k)的获得 1、频域给出的，即给出 ，则： ()DHj22( )()|()NDDNkH kHjHjk( )dh n( )DHz 22( )( )|()NjkNjkDDz eH kHzHe55图b 理想的梯形频率响应 图a 理想矩形频率响应 图a 在通带和阻带之间不连续，变化剧烈，逼近的较差，出现的肩峰和起伏比图b大 5657五、频谱(1)/2(/)10sin(/2)()( )sin(/2)(/)j Nj kN