概率论与数理统计 随机变量的独立性

1、两事件两事件A,B独立的定义是：独立的定义是：若若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件A,B独立独立 . 设设 X,Y是两个随机变量，若对任意的是两个随机变量，若对任意的x,y,有有)()(),(yYPxXPyYxXP 则称则称X,Y相互相互独立独立 .)()(),(yFxFyxFYX用分布函数表示用分布函数表示,即即概率论与数理统计概率论与数理统计若若X,Y独立，则独立，则g(X),g(Y)也独立。也独立。, ( ,1,2,)ijijP Xx Yypi j则则 相互独立等价于相互独立等价于 有有,X Y ,1,2,i j,ijijP Xx YyP XxP Yy概率论与数理统计概率论与

2、数理统计v设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量( (X X, ,Y Y) )的分布律为的分布律为 21 121aa 83 81bb(,)X YX 1 23 1 1/ 8 1/ 24 2 1/ 41/8 abY ba、ba、,X Y, 1iji jp1111118244824 1()ab,0,0ab,X Y2,1aP XY21P XP Y1114824()()aa1,2bP XY1 2P XP Y111848()()bb1124 ab31, 128 ab概率论与数理统计概率论与数理统计解解( , )f x y则则 相互独立等价于相互独立等价于 有有,X Y , x y( , )( )( )X

3、Yf x yfx fy概率论与数理统计概率论与数理统计v设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量( (X X, ,Y Y) )的联合密度为的联合密度为v设设( (X X, ,Y Y) ) N(1,2,1,2,)，则，则,0X Y独立2202,0,( )( , )2 0 , 0,xxyXexfxf x y dyeedyx20,0,( )( , )2 0 , 0,yyxYeyfyf x y dxeedxy的密度函数为(,)X Y(2)2,0,0( , ) 0,xyexyf x y其它(X Y)是否独立？相互独立 ,X Y ( , )( )( ), ,XYf x yfx fyx y 概率论与数理统计

4、概率论与数理统计的边缘密度分别为,X Y解解v随机变量的分布是对随机变量的一种完整的描述，知道随机变量的分布就全都知道随机变量的所有特征。然后随机变量的概率分布往往不容易求得的。概率论与数理统计概率论与数理统计v随机变量的这些统计特征通常用数字表示的。这些用来描述随机变量统计性的数字称为随机变量的数字特征。其中最重要的是数学期望数学期望和方差方差二种。加加 权权 平平 均均初赛复赛决赛总成绩算术平均甲乙90 85 53 228 7688 80 57 225 75胜者 甲 甲 乙 甲 甲3:3:4 2:3:5 2:2:6 73.7 70.0 66.8 73.2 70.1 67.8 甲 乙 乙 学

5、生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计v设离散型随机变量X的分布律为1iiix p若绝对收敛，则PX=xi=pi i=1,2,1()iiiE Xx p称为X的数学期望数学期望。数学期望是反映随机变量取值的数学期望是反映随机变量取值的集中趋势集中趋势的量的量。 某种产品每件表面上的疵点数服从参数为8的泊松分布,若疵点数不超过1为一等品，价值10元；疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元；其它为废品，不值钱.求：（1）产品的废品率；（2）产品的平均值。概率论与数理统计概率论与数理统计解解 (1)设X为疵点数，则XP(0.8),其分布律为0.

6、80.8,0,1,2,3,.!kkP Xxekk概率论与数理统计概率论与数理统计404141kP XP XP Xk 40.800.810.001412.!kkek (2) 设Y为产品的价值，则Y的分布律为Y1080PiPX1 P1431()iiiE Xx p10181404P XPXP X140.80.8010.80.81089.61.!kkkkeekk概率论与数理统计概率论与数理统计v设连续型随机变量X的密度为f(x),( )xf x dx+-若绝对收敛，则()( )E Xxf x dx称为X的数学期望数学期望。数学期望是反映随机变量取值的数学期望是反映随机变量取值的集中趋势集中趋势的量的量

7、。X N ( , 2 ), 求 E ( X ) .22()21()( )2xE Xxf x dxxedx=解解dueuuux2221）（令概率论与数理统计概率论与数理统计41()1500 0.09522000 0.0861iiiE Xx p2500 0.07793000 0.74082732.15.概率论与数理统计概率论与数理统计v若X是离散型离散型随机变量，Y=g(X)是X的随机变量函数，且E(Y)存在，则1( ) ()( )iiiE YE g Xg x pv若X是连续型连续型随机变量，Y=g(X)是X的随机变量函数，且E(Y)存在，则( ) ()( ) ( )E YE g Xg x f x

8、 dx概率论与数理统计概率论与数理统计XU0, ,求2() ,( s i n ) ,() .E X E X E X01()( ),2E Xxf x dxxdx012(sin)sin( )sin,EXx f x dxxdx222201()( ).12E Xx f x dxxdx概率论与数理统计概率论与数理统计1,0;( )0,xXf x的密度函数为其它解解2(),(sin ),().E XEx E X1, 20004000;( )20000,xXf xtY 的密度函数为设组织货源 吨，则收益 为其它解解3 ,;()4,.tXtYg XXtXt4000200011( )( )( )(4)32000

9、2000ttE Yg x f x dxx tdxtdx概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计v若(X,Y)是二维离散型离散型随机变量，Z=g(X,Y),且E(Z)存在，则11( ) (, )( ,)ijijjiE ZE g X Yg x ypv若(X,Y)是二维连续型连续型随机变量，Z=g(X,Y),且E(Z)存在，则( ) (, )( ,) ( , )ijE ZE g X Yg x yf x y dxdy 13(1 0) 0(3 0)(1 1)(3 1) 088319(1 2)(3 2) 0(1 3) 0(3 3).884 求E(X),E(Y),E(XY).概率论与

10、数理统计概率论与数理统计解解 X,Y的边缘分布为1313()13,442iiiE Xx p 113313( )0123,88882jjjE Yy p 11()ijijjiE XYx y p概率论与数理统计概率论与数理统计1.E (C ) = C2. E (aX ) = a E (X ) 3.E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 11()nniiiiEXE X4.当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .11()nniiiiEXE X 线性性质线性性质概率论与数理统计概率论与数理统计解解 设随机变量Xi为则X=X1+ X2+ + X10故 E(X)

11、=E(X1)+ E(X2)+ + E(X10)而E(Xi)=1-(9/10)20 i=1,2,10101020119()()()10 18.78410iiiiE XEXE X概率论与数理统计概率论与数理统计1 ( , ),()Xb n pE Xnp、设则2( ),()XPE X、设则3( , ),()2abXU a bE X、设则24( ,),()XNE X 、设则15,()XeE X、设( )则71()0kkkE Xx P Xx71( )0kkkE Yy P Yy 32101230.100.150.150.200.150.150.100.050.050.100.600.100.050.05,

12、X Y概率论与数理统计概率论与数理统计 X|() |XE X2()XE X2()E XE X,X2()()D XE XE X()D XX,()D X概率论与数理统计概率论与数理统计22()() ()D XE XE X( , ),XU a b()D X22 ()baxE Xdxba22 ()()()D XE XE X222()32aabbab1,( ) 0 , axbbaf x其其它它333()baba223aabb2()12baX解解概率论与数理统计概率论与数理统计1()( ),2baabE Xxf x dxxdxba/ 0 1,0,( ),0,xexf xx22)()()(XEXEXD2 0 /21xxedx2 0 /0/22dxxeexxx22221 (),Xe. )(XD概率论与数理统计概率论与数理统计X解解/01()( ),xE Xxf x dxxedx.a eXc()0D Xc2()()cD cXD X2()()D cXE cXE cX2()E cXcE X22()c E XE X2()c D Xr.v ,X Y()()( )D XYD XD Y2 ()( )E XE XYE Y2()()()D XYEXYE XY2()( )EXE XYE Y22() ( )EXE XE YE Y2 ()( )EXE XYE Y()( )2 ()