大连理工大学至学学期计算方法期末考试试题B

1、大连理工大学2008至2009学年第一学期计算方法期末考试试题B大 连 理 工 大 学课 程 名 称： 计 算 方 法   试  卷： B  考试类型  闭卷   授课院 (系)： 数学 系     考试日期：2009年1月8日  试卷共 2页一二三四五六七八九十总分标准分34𧅤得  分一、

2、0;          填空，每题2分，共34分1）1）已知近似值有5位有效数字，则的绝对误差界为         ，的相对误差界为             ；2）于，用y=a+bx做最佳平方逼近，则法方程组为：     

3、0;   ；3）设，      ，     ；4）为了减少运算次数，应将表达式.改写为_                    _；5）已知则均差      ，对应于x0=0插值基函数 &#

4、160;         ；6）此数值求积公式的代数精度为：         ；7) 求解的隐式Euler 公式：                        

5、;     ；8) 用二分法求方程在区间内的根，进行一步后根所在区间为_    _。9)的分解为：                ；10) 上以权函数的正交多项式     ，       。11）是的根，则具有

6、平方收敛的迭代公式为：                              。12）将向量变换为向量的正交矩阵为              ；二、计算题1

7、（15分）如下求解初值问题的线性二步法确定出它的阶、局部截断误差主项和收敛性，求出其绝对稳定区间；给出上述方法求解方程：，的步长的取值范围。2（15分）确定，使得求积公式的代数精度达到最高，试问是多少？取，利用所求得的公式计算出数值解。3（10分）求下列矩阵的一个奇异值分解4、（10分）已知线性方程组（1）    给出求解上述方程组的Gauss-Seidel法分量形式迭代公式；（2）   确定的值，得到Gauss-Seidel迭代法收敛的充要条件；5（10分）已知，求出A的Jardan标准型。三、证明题（6分）设A为n阶方阵

8、，若, 则在中存在一种矩阵范数 ，使得。大连理工大学2008-2009学年第一学期计算方法期末考试试题A答案大连理工大学2006级计算方法试题B卷答案一、           填空，每题4分，共34分1）的绝对误差界为，的相对误差界为；2）法方程组为：；3）设  17  ，  17×17=289；4）应改写为5）均差 0 ，；6）此数值求积公式的代数精度为： 

9、0; 3  ；7）求解的隐式Euler：；8）用二分法进行一步后根所在区间为:  1, 2。9) 分解为：；10) 上以权函数的正交多项式  1 ，。11)；12) 正交矩阵：二、计算题1（15分）解：已知，。，故此为二步一阶方法。局部误差主项为：。又，满足根条件，故此差分格式收敛。又考虑模型问题则，有特征多项式：，其中由判别式可知的充要条件是：，而自然成立，则由得出 。由于，故的取值范围是：。2（15分）解：，则   ，。，令即得，得Gauss点：。取，

10、令即得到方程组：， ，解之，得，从而得到，又取故所得到的数值求积公式是具有m=3次代数精度Gauss求积公式。3（10分）解：ATA，则的特征值为,  所以。下面求对应的标准正交的特征向量(正规直交)，即 ,        , 即 , 因rank(A)=1，故有。 计算得= u1，得约化的奇异值分解=计算u2, 使其与U1构成R2的一组标准正交基，可取=u2=,则是酉阵, 故矩阵A的奇异值分解（满的奇异值分解）为4（10分）解：（1）Gauss-Seidel法迭代公式：；    （2）Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为：，则令得Gauss-Seidel迭代法收敛的充要条件为：；5（10分）解：由于，则。即（二重），（二重）。，即2，故其代数重复度=几何重复度=2，即为半单的；且其对应的Jordan块为2块，和为2阶的。，即3，故其代数重复度=2，几何重复度=1，即为亏损的；且其对应的Jor