线性代数：矩阵2-6矩阵的秩

1、第六节第六节 矩阵的秩矩阵的秩., 2阶子式阶子式的的称为矩阵称为矩阵阶行列式，阶行列式，的的中所处的位置次序而得中所处的位置次序而得变它们在变它们在不改不改元素元素处的个处的个），位于这些行列交叉），位于这些行列交叉列（列（行行中任取中任取矩阵矩阵在在kAkAknkmkkkAnm 定义定义例例1,00000320002113011111 A,12111 第六节第六节 矩阵的秩矩阵的秩., 2阶子式阶子式的的称为矩阵称为矩阵阶行列式，阶行列式，的的中所处的位置次序而得中所处的位置次序而得变它们在变它们在不改不改元素元素处的个处的个），位于这些行列交叉），位于这些行列交叉列（列（行行中任取中任取

2、矩阵矩阵在在kAkAknkmkkkAnm 定义定义例例1,00000320002113011111 A.6200130111 .)()(0)(10 ArAArADrDkA或或的的秩秩，记记作作秩秩矩矩阵阵称称为为的的最最高高阶阶非非零零子子式式，数数称称为为矩矩阵阵那那末末，全全等等于于如如果果存存在在的的话话阶阶子子式式，且且所所有有阶阶子子式式的的中中有有一一个个不不等等于于设设在在矩矩阵阵 .)(中中非非零零子子式式的的最最高高阶阶数数是是的的秩秩矩矩阵阵AArAnm . 个个阶子式共有阶子式共有的的矩阵矩阵knkmCCkAnm 零矩阵的秩规定为零矩阵的秩规定为0 0。定义定义矩阵秩的性

3、质：矩阵秩的性质：(1) (1) 若若A为为nm 矩阵，则矩阵，则 ),min()(0nmAr ； ( (2 2) ) )()(ArArT ；)()(ArkAr ( (0 k) )； ( (3 3) ) 若若A有有一一个个r阶阶子子式式不不为为零零， 则则 rAr )(； 若若A的所有的所有1 r阶子式全为零，则阶子式全为零，则rAr )(； ( (4 4) ) 对对于于n阶阶方方阵阵A而而言言，有有 0)( AnAr； 可逆矩阵也称为可逆矩阵也称为满秩矩阵满秩矩阵。;0)( AnAr( (5 5) ) 设设QP,为为可可逆逆阵阵, ,则则 )()(ArPAr , ,)()(ArAQr . .

4、 例例2.174532321的秩的秩求矩阵求矩阵 A解解中，中，在在 A，阶子式只有一个阶子式只有一个的的又又AA3. 03221 ，且且0 A.2)( Ar例例3.00000340005213023012的秩的秩求矩阵求矩阵 B解解行，行，其非零行有其非零行有是一个行阶梯形矩阵，是一个行阶梯形矩阵，3B.4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有B,0400230312 而而.3)( Br若矩阵的每行第一个非零元的下方及左下方全为零，若矩阵的每行第一个非零元的下方及左下方全为零，则称之为则称之为阶梯形矩阵阶梯形矩阵。 00000317000521040232 540001003020021 00

5、0000400321 00000100000100000310 任意一个矩阵都可以经过一系列的初等行变换任意一个矩阵都可以经过一系列的初等行变换化为阶梯形矩阵。化为阶梯形矩阵。 初等变换不改变矩阵的秩。初等变换不改变矩阵的秩。阶梯形矩阵的秩等于其中非零行的个数。阶梯形矩阵的秩等于其中非零行的个数。矩阵秩的计算方法：矩阵秩的计算方法： 用初等行变换把矩阵化为阶梯形，则该阶梯用初等行变换把矩阵化为阶梯形，则该阶梯形矩阵中的非零行数就是所求矩阵的秩。形矩阵中的非零行数就是所求矩阵的秩。 例例4解解的秩的秩求矩阵求矩阵设设AA,41461351021632305023 41rr A 050233510

6、21632341461 4 146 1 11 3 40 117 9 120 128 12160 42rr 132rr 143rr 1281216011791201134041461 000840001134041461 233rr 244rr 34rr .3)( Ar 001134041461 8400 8400 00练习：练习：P83 习题二习题二33.(5) 34.补充题补充题1.1.设设 101100010A, , 求所有与求所有与A可交换的矩阵可交换的矩阵. . 2.2.若方阵若方阵A与与B可交换可交换, ,且且A可逆可逆, ,则则1 A与与B也可交换也可交换. . 3.3.设设,2TxxEA 其中其中.),(4321Taaaax 若若,1 xxT 求求,TA ,2A ,TAA ,AAT.Ax 4.4.如果方阵如果方阵A与与B、