大学物理：第14章 波动

1、 波动是一种常见的物质运动形式。由机械振动波动是一种常见的物质运动形式。由机械振动在弹性介质中传播的波，称为机械波，如声波、在弹性介质中传播的波，称为机械波，如声波、水面波水面波 。由交变的电磁场在空间的传播形成的波。由交变的电磁场在空间的传播形成的波电磁波，如光波、无线电波。电磁波可在真空中电磁波，如光波、无线电波。电磁波可在真空中传播。传播。机械波与电磁波本质不同，但都具有波动机械波与电磁波本质不同，但都具有波动的共同特征，即有一定的传播速度，有能量的传的共同特征，即有一定的传播速度，有能量的传播，会产生干涉与衍射现象等。播，会产生干涉与衍射现象等。 14-1 14-1 波的基本概念波的基

2、本概念一 机械波的形成机械波的形成波源波源 弹性介质弹性介质二二 横波与纵波横波与纵波 横波横波质点振动的方向与波的传播方向垂直；质点振动的方向与波的传播方向垂直；纵波纵波质点振动的方向与波的传播方向平行质点振动的方向与波的传播方向平行机械波可分为横波与纵波：机械波可分为横波与纵波：xu横波横波u纵波纵波x三三 波长波长 波的周期和频率波的周期和频率 波速波速1.1.波长波长 波传播方向上两相邻的振动状态完全相同波传播方向上两相邻的振动状态完全相同（或相位差为（或相位差为 ）的质点间的距离（一完整波）的质点间的距离（一完整波的长度），称为波长，用表示的长度），称为波长，用表示 ，单位：，单位：

3、m22.2.周期周期 波传过一波长所需的时间，或一完整波通过波传过一波长所需的时间，或一完整波通过波线上某点所需的时间，用波线上某点所需的时间，用 表示，单位：表示，单位：sTOA -Auxy3.3.频率频率 单位时间内波向前传播的完整波的数目（波单位时间内波向前传播的完整波的数目（波在在1s1s内向前传播的波长数），用内向前传播的波长数），用 表示表示 单位：单位： HzT122T角频率角频率 :4.4.波速波速单位时间内振动状态传播的距离，用单位时间内振动状态传播的距离，用 表示表示单位：单位：m/sm/s。u1 TuTuTuuT、 、 、5.5. 之间的关系之间的关系 周期或频率周期或频

4、率只决定于波源的振动；只决定于波源的振动；波速波速只决只决定于介质的性质；在一定的介质中，波速是恒定定于介质的性质；在一定的介质中，波速是恒定的，则波长由波源的频率决定；若波源频率恒定，的，则波长由波源的频率决定；若波源频率恒定，则该波源在不同介质中的波长由各介质中的波速则该波源在不同介质中的波长由各介质中的波速决定决定 四四 波线波线 波面波面 波前波前波线、波面和波前是对波动的几何描述波线、波面和波前是对波动的几何描述 波线波线从波源沿传播方向所画的带有箭头的线段从波源沿传播方向所画的带有箭头的线段. .波面波面波在传播过程中波在传播过程中,由相位相同的点连成的面由相位相同的点连成的面.波

5、线波线波面波面球球面面波波波线波线波波前前平平面面波波同一波面上，各同一波面上，各点的相位相同点的相位相同 各向同性的均各向同性的均匀介质中，波线匀介质中，波线总是与波面垂直总是与波面垂直 介质中任一质点（坐标为介质中任一质点（坐标为x）相对其平衡位）相对其平衡位置的位移（坐标为置的位移（坐标为y）随时间的变化关系，即）随时间的变化关系，即y( (x,t) )称为波函数称为波函数. .14-2 14-2 平面简谐波平面简谐波一一 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数1.1.平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数平面简谐波：波原作简谐振动，波面为平面平面简谐波：波原作简谐振动，波面为平面 平面简谐

6、波是最简单、最基本的波动；任何平面简谐波是最简单、最基本的波动；任何复杂的波，都可以看成是由若干个不同频率的复杂的波，都可以看成是由若干个不同频率的简谐波叠加而成。简谐波叠加而成。 设原点设原点O处的质点的振动方程为处的质点的振动方程为0cos()yAt 设设P P为为x轴上的任意一点，轴上的任意一点，P P点点距原点距原点O为为x, ,则则振动由振动由O点传到点传到P点所需时间为：点所需时间为：xtuyxPuox 因此因此P点的相位落后点的相位落后O点点xtu 任意时刻任意时刻t,Ot,O点的相位为点的相位为 ，则，则P点点的振动相位为的振动相位为txtucos()cos()PxxyAtAt

7、uu)(cosuxtAy重要公式重要公式 上上式为以速度式为以速度u 沿沿x轴正向传播的平面简谐轴正向传播的平面简谐波的波的波函数或波动方程波函数或波动方程 利用利用 ， ，可得平面简，可得平面简谐波波动方程的其它形式：谐波波动方程的其它形式：22TuTcos2()txyATcos2()xyAt2cos()xyAtcos()yAtkx 式中，式中， 称为波数，即称为波数，即 m内完整波的个内完整波的个数数 2k22.2.沿沿x轴负向传播的平面简谐波的波函数轴负向传播的平面简谐波的波函数 若波沿若波沿x 轴负向传播，则轴负向传播，则O点的相位落后点的相位落后P P点的相位，点的相位，x前前应为正

8、号应为正号: :xtu yxPuox则得则得cos ()xyAtu称为沿称为沿x轴负向传播的平面简谐波的波函数轴负向传播的平面简谐波的波函数 3.3.平面简谐波的波函数的一般形式平面简谐波的波函数的一般形式 若已知点若已知点O不在原点，而是距点不在原点，而是距点O为为x0的的Q点，点， 若若Q点的振动方程为点的振动方程为cos()QyAtyxQuox0Px 则沿则沿x轴正向传播的平面简轴正向传播的平面简谐波的波函数为谐波的波函数为ocos ()xxyAtu二二. . 波动方程的物理意义波动方程的物理意义)(cosuxtAy1.1.x为定值为定值 方程变为该点的振动方程（方程变为该点的振动方程（

9、y- t 的关系），即的关系），即描述该给定点作简谐振动的情形；描述该给定点作简谐振动的情形；x=x1给定点的振动曲线给定点的振动曲线yto2.2.t为定值为定值 方程给出了该时刻位移与质点位置的关系方程给出了该时刻位移与质点位置的关系（y - x 的关系），即该时刻各质点的位移分布；的关系），即该时刻各质点的位移分布；yx 表示给定时刻的波形曲线表示给定时刻的波形曲线t =t0o3.3.x和和t都变化都变化 当当 x 和和 t 都在变化时，波动函数都在变化时，波动函数给出了波线给出了波线上不同质点在不同时刻的位移，既描述了各质点上不同质点在不同时刻的位移，既描述了各质点的振动情况及它们的相位

10、差，同时又反映了随着的振动情况及它们的相位差，同时又反映了随着时间的变化，时间的变化，波形在不断传播。波形在不断传播。 波函数表示波函数表示整个波形（或振动）以波速沿波整个波形（或振动）以波速沿波线传播，因此又称为行波。线传播，因此又称为行波。v) s ( toA12（A） 例例 如图一向右传播的简谐波在如图一向右传播的简谐波在 t = 0 时刻的波形，时刻的波形，已知周期为已知周期为 2 s ，则，则 P 点处质点的振动速度与时间的点处质点的振动速度与时间的关系曲线为：关系曲线为：yAxoAuP*pyAtoAP 点振动图点振动图) s ( toA12（C）v（B）) s ( toA12v)

11、s ( toA12（D）v 例例. .一平面简谐波以速度一平面简谐波以速度u=0.08=0.08m/ /s沿沿x轴正向传播，如轴正向传播，如图为图为t=0t=0时的波形，求：时的波形，求：1 1）波动方程；）波动方程；2 2）P点处点处质点的质点的运动方程。运动方程。/my/x muo0.04gP0.20.40.6解：解：1）波动方程中的）波动方程中的A、u已知，已知，求出求出 、 ，可确定波动方程，可确定波动方程0由图可知由图可知0.04,0.4Amm22225uTu则波动方程为则波动方程为020.04cos()50.08xyt020.04cos()50.08xyt 由图可知，由图可知，t=

12、0=0时，时，x=0=0处质点处质点的旋转矢量图为的旋转矢量图为A0t 0 x0t=0=0时，时，x=0=0处质处质点在平衡位置向点在平衡位置向Y Y轴正向运动轴正向运动所以波动方程为所以波动方程为20.04cos()50.082xytm02 2 2）P点的运动方程为点的运动方程为20.220.04cos()0.04cos()50.08252yttm 例例. .已知波源的方程为已知波源的方程为 . .求：求：1 1）波动方程；）波动方程；2 2）波线上相距）波线上相距 的两点的相位差；的两点的相位差；3 3）已知已知 ，求，求 和波动方程。和波动方程。0.10.510AmTsm，2.5xm 0

13、00.05 ,0ym vcos()yAtm；解：解：1)1)设过原点的波线为设过原点的波线为x轴，波沿轴，波沿x轴正向传播轴正向传播 由已知条件，可得由已知条件，可得 11020/0.52240.5um sTrad sTuxxxxxPQ 则得波动方程为则得波动方程为cos()xyAtu0.1cos4 ()20 xytm222)2.5102x 则波动方程为则波动方程为0.10cos4 ()203xytm可用旋转矢量确定可用旋转矢量确定 ：33o 0.05my3)3作业：作业：14-1；14-414-4 14-4 惠更斯原理惠更斯原理 波的干涉波的干涉一一 惠更斯原理惠更斯原理 波动中，波源的振动

14、是通过介质中的质点依次波动中，波源的振动是通过介质中的质点依次传播出去，所以每个质点都可以看做是新的波源传播出去，所以每个质点都可以看做是新的波源 惠更斯原理惠更斯原理介质中波动传播到的各点都可以看介质中波动传播到的各点都可以看 作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前些子波的包络就是新的波前. 波在传播时，能够绕波在传播时，能够绕过障碍物而传播的现象，过障碍物而传播的现象，称为波的衍射。称为波的衍射。 根据惠更斯原理，若已知某一时刻波前的位根据惠更斯原理，若已知某一时刻波前的位置，就可以用几何的方法确定下一时刻的波前，置，就

15、可以用几何的方法确定下一时刻的波前，从而确定波的传播方向。从而确定波的传播方向。1R2RtuO平面波到达一宽度与波长相近的缝平面波到达一宽度与波长相近的缝障碍物时，缝上各点都看做是子障碍物时，缝上各点都看做是子波的波源，这些子波的包络为新的波的波源，这些子波的包络为新的波前，靠近缝边缘处，波阵面发生波前，靠近缝边缘处，波阵面发生弯曲，说明绕过了障碍物而传播弯曲，说明绕过了障碍物而传播 二 波的干渉波的干渉1.1.波的叠加原理波的叠加原理 波的叠加原理有两个内容：几个波在某区域波的叠加原理有两个内容：几个波在某区域相遇后分开，其传播情况不变，互不干扰，这相遇后分开，其传播情况不变，互不干扰，这是

16、是波的独立性波的独立性；在相遇区域内，任一质点的振；在相遇区域内，任一质点的振动是几个波在该点引起振动的合振动，这是动是几个波在该点引起振动的合振动，这是波波的叠加性的叠加性 2.2.波的干涉波的干涉 波的叠加原理表明：当两列频率相同、振波的叠加原理表明：当两列频率相同、振动方向动方向( (平行平行) )相同、相位相同或相位差恒定的相同、相位相同或相位差恒定的波相遇时，在相遇区域内，有些点的振动始终波相遇时，在相遇区域内，有些点的振动始终加强，有些点的振动始终较弱或抵消，这种现加强，有些点的振动始终较弱或抵消，这种现象称为象称为波的干涉波的干涉 相干条件：相干条件：频率频率相同、振动方向相同、

17、相同、振动方向相同、相位相位相同或相同或相位差恒定相位差恒定干涉加强和减弱的条件：干涉加强和减弱的条件： 为相干波源，它们发出的相干波在为相干波源，它们发出的相干波在P P点点相遇，相遇，P P点到点到 的距离的距离分别为分别为 。 21,SS21,SS21,rr1S2SP1r2r 两波源作简谐振动，振动两波源作简谐振动，振动方向垂直板面，方程分别为方向垂直板面，方程分别为111cos()yAt222cos()yAt两波在两波在P P点点产生振动的振动方程分别为产生振动的振动方程分别为11111112cos()cos()PryAtr uAt22222222cos()cos()PryAtr uA

18、t11112cos()ryAt22222cos()ryAt则则P P点的合振动为点的合振动为12cos()PPyyyAt合振动的合振动的合振幅为合振幅为)2cos(21212212221rrAAAAA21212rr两个振动在相遇区域内任意一点两个振动在相遇区域内任意一点P P的的相位差为相位差为对确定点来说，对确定点来说， 为常量为常量 讨论两种特殊情况：讨论两种特殊情况：1 1） 时时 2 k 0,1,2,k 21AAA，振动加强；，振动加强；合振幅为合振幅为称为干涉加强，或干涉相长称为干涉加强，或干涉相长2 2） 时时 0,1,2,k (21)k 21AAA，振动减弱；，振动减弱；合振幅为

19、合振幅为称为干涉减弱；若称为干涉减弱；若A1 1= = A2 2 则振动消失，称为则振动消失，称为干涉相消。干涉相消。1 1）和）和 2 2）称为干涉加强和减弱的条件）称为干涉加强和减弱的条件当两相干波源的初相位相同，即当两相干波源的初相位相同，即 时，时，21干涉加强和减弱的条件可以简化：干涉加强和减弱的条件可以简化：21122122rrrr 式中式中 称为波程差，是两波源到相称为波程差，是两波源到相遇点的路程之差。遇点的路程之差。21rr 则有则有2 上式表明，相位差是决定于波程差的上式表明，相位差是决定于波程差的 由上述关系可得由波程差给出的干涉加强和由上述关系可得由波程差给出的干涉加强

20、和减弱的简化条件：减弱的简化条件：1) 1) 时时2221krr0,1,2,k 干涉加强干涉加强, ,即即波程差为半波长的偶数倍时，相波程差为半波长的偶数倍时，相遇点干涉加强；遇点干涉加强；2) 2) 时时2) 12(21krr0,1,2,k 干涉减弱干涉减弱, ,即波程差为半波长的奇数倍时，相即波程差为半波长的奇数倍时，相遇点干涉减弱；遇点干涉减弱； 当相位差当相位差 或波程差或波程差 介于上面两种介于上面两种情况之间时，相遇点的合振幅在最大值和最情况之间时，相遇点的合振幅在最大值和最小值之间。小值之间。 例例 如图所示，如图所示，A、B 两点为同一介质中两两点为同一介质中两相干波源相干波源

21、.其振幅皆为其振幅皆为5cm，频率皆为，频率皆为100Hz，但当点但当点 A 为波峰时，点为波峰时，点B 恰为波谷恰为波谷.设波速为设波速为10m/s，试写出由，试写出由A、B发出的两列波传到点发出的两列波传到点P 时干涉的结果时干涉的结果.15m20mABP解解:221520 m25 mBP m10. 0m10010u设设 A 的相位超前的相位超前B ，则，则 BA2011 . 0152522APBPAB则则P点合点合振幅为振幅为021AAA14-5 14-5 驻驻 波波 驻波是振幅、频率、传播速度都相同的两列驻波是振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加相干

22、波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象；而形成的一种特殊的干涉现象； 两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播时方向传播时, ,叠加而成的波，称为驻波叠加而成的波，称为驻波. .驻驻 波波 的的 形形 成成一一 驻波的产生驻波的产生 由合成的波形图可以看出由合成的波形图可以看出，某些点始终，某些点始终静止静止不动，称为不动，称为波节波节，有些点有最大，有些点有最大振幅，称为振幅，称为波波腹腹。整个合成波被波节。整个合成波被波节分成若干分成若干段，每段的中段，每段的中央是波腹。央是波腹。驻波的特点：驻波的特点： 分段振动，在每一

23、段上各个点的振动相位相分段振动，在每一段上各个点的振动相位相同，但振幅不一样，波腹处振幅最大；相邻的同，但振幅不一样，波腹处振幅最大；相邻的两段中各点的振动相位相反。这种分段振动的两段中各点的振动相位相反。这种分段振动的结果，各段是各自独立振动，没有振动状态或结果，各段是各自独立振动，没有振动状态或相位的逐点传播，也没有能量的传播，因此叫相位的逐点传播，也没有能量的传播，因此叫驻波。这种波与行波完全不同。驻波。这种波与行波完全不同。 二二 驻波方程驻波方程 当两波完全重合时为当两波完全重合时为t=0t=0，且两波有正的最，且两波有正的最大振幅处为大振幅处为x轴的坐标原点，则沿轴的坐标原点，则沿

24、x x轴正向轴正向和沿和沿x轴负向传播的两列相干波的方程分别为轴负向传播的两列相干波的方程分别为)2cos()(2cos)2cos()(2cos21xtAxtAyxtAxtAy)2cos()2cos(21xtAxtAyyy合成波为合成波为 利用三角函数的和差化积，整理后可得驻波利用三角函数的和差化积，整理后可得驻波方程方程 : :coscos2)cos()cos(txAycos2cos2驻波方程驻波方程 第一项与时间无关，与质点的位置有关，振幅，第一项与时间无关，与质点的位置有关，振幅，应取其绝对值；后一项是时间的函数，表明各质应取其绝对值；后一项是时间的函数，表明各质点都在自己的平衡位置作简

25、谐振动。方程中不含点都在自己的平衡位置作简谐振动。方程中不含有传播因子有传播因子 ，因此没有振动的传播，因此没有振动的传播，也没有能量的传播。也没有能量的传播。)(uxt 由驻波方程可以得到波腹和波节的位置由驻波方程可以得到波腹和波节的位置三三 波节和波腹的位置波节和波腹的位置波节是始终不动的点，则波节是始终不动的点，则2cos0 x 2, 1 ,04) 12(kkx此式给出了波节的位置此式给出了波节的位置根据上式可得两相邻波节的距离为根据上式可得两相邻波节的距离为21kkxxx2(21)0,1,22xkk 即即2cos1220,1,22xxkk 即即波腹是最大振幅处，则有波腹是最大振幅处，则

26、有根据上式可得两相邻波腹的距离为根据上式可得两相邻波腹的距离为21kkxxx 2, 1 ,042kkx此式给出了波腹的位置此式给出了波腹的位置四四 相位跃变（半波损失）相位跃变（半波损失）波密介质波密介质u较大较大波疏介质波疏介质较小较小u观察在反射点入射波和反射波两振动的相位关系观察在反射点入射波和反射波两振动的相位关系 波从波疏介质垂直入射到波密介质，波从波疏介质垂直入射到波密介质， 在分界面在分界面形成波节形成波节. 入射波与反射波在此处的入射波与反射波在此处的相位相反相位相反, 即反射即反射波在分界处产生波在分界处产生 的相位跃变，相当于出现了半个的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程

27、差，称半波损失波长的波程差，称半波损失. 波从波密介质垂直入射到波疏介质，波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到被反射到波密介质时形成波腹波密介质时形成波腹. 入射波与反射波在此处的相位入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变.观察在反射点入射波和反射波两振动的相位关系观察在反射点入射波和反射波两振动的相位关系例例 在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动（1）振幅相同，相位相同）振幅相同，相位相同（2）振幅不同，相位相同）振幅不同，相位相同（3）振幅相同，相位不同）振幅相同，相位不同（4）振幅不同，相位不同）振幅不同，相位不同yAxoABCup 例例 如图一向右传播的简谐波在如图一向右传播的简谐波在 t 时刻时刻的波形，的波形，BC 为波密媒质的反射面，则反射波在为波密媒质的反射面，则反射波在 t 时刻的波形图为：时刻的波形图为：答：答：（B）P 点两振动反相点两振动反相yAxoAyAoAxuu（C）（D）yAxoAu（A）pppyAxoAu（B）pv思考: 14-14一一 机械波的基本概念机械波的基本概念1 机械波产生条件：机械波产生条件：1）波源；波源；2）弹性介质弹性介质. 机械振动在弹性介质中的