数值分析典型例题与习题4

1、数值求积公式及代数精度数值求积公式及代数精度数值求导方法与截断误差数值求导方法与截断误差一阶常微分方程数值法一阶常微分方程数值法局部截断误差与精度局部截断误差与精度数值分析典型例题典型例题 IV插值型求积公式插值型求积公式:求积系数求积系数), 2 , 1 , 0(,)(njdxxlAbajj )()(0fRxfAdxxfnjjjba 求积余项求积余项 bannbandxxnfdxxLxffR)()!1()()()(1)1( 等距结点插值型求积公式称为等距结点插值型求积公式称为Newton-Cotes公式公式,偶数阶偶数阶Newton-Cotes公式至少有公式至少有(n+1)阶代数精度阶代数精

2、度2/16求积结点求积结点bxxxan 101.梯形公式梯形公式)(12)()()(2)(3 fabbfafabdxxfba )(2)()(2)(11 njbajhafbfafhdxxf复合梯形求积公式复合梯形求积公式 令令h=(b-a)/n),(, )(12)(23bafnabfR 求积余项求积余项3/162. 辛卜生公式辛卜生公式)()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba )(290)()4(55 fabfR 求积余项求积余项: 两点高斯型数值求积公式两点高斯型数值求积公式 )()()(313111ffdxxf)()()(2322322ababfababfabdxxfba4/16

3、练习练习: 复合辛卜生公式求积余项复合辛卜生公式求积余项?)()()()(hOhafhafaf一阶向前差商一阶向前差商)()()()(hOhhafafaf一阶向后差商一阶向后差商)()()()()(222hOhhafafhafaf 二阶中心差商二阶中心差商)()()()(22hOhhafhafaf一阶中心差商一阶中心差商5/16外推算法外推算法)()()(hxfhxfhhG214221hhxfhG )()(142411mmmmmhGhGhG)()()()()()()(12mmhOhGxf 16/4/)()2/(4221hhxfhG 3)()2/(4hGhG 4/3)(42hxf 练习练习：二阶

4、中心差商的外推公式？：二阶中心差商的外推公式？6/16 000)(),(yxyxxyxfy1. Euler方法方法 ), 2 , 1 , 0( , ),(),(1100nyxhfyyhxxxyynnnnnn常微分方程初值问题常微分方程初值问题),(),(2111 nnnnnnyxfyxfhyy2. 梯形公式梯形公式: 7/16),(nnnnyxhfyy1),(),(1112nnnnnnyxfyxfhyy预测预测- -校正公式校正公式局部截断误差局部截断误差设设 yn= y(xn), 称称Rn+1=y(xn+1) - yn+1为局部截断误差为局部截断误差常表示为常表示为: O(hp+1)， p

5、称为单步法的精度阶数称为单步法的精度阶数又称为修正的又称为修正的Euler公式公式 yn+1= yn+ 0.5h k1+ k2 k1=f(xn,yn), k2=f(xn+h, yn+hk1)8/16Ex1.推导左矩形求积公式推导左矩形求积公式 2)(2)()()()(abfafabdxxfba 2)(2)()()()(abfbfabdxxfba 3)(24)()2()()(abfbafabdxxfba 令令 uadxxfuF)()(F(u)= F(a) + (u-a)F(a) +0.5(u-a)2F ”( )()(),()(, 0)( fFafaFaF 2)(2)()()()(abfafabd

6、xxfba 练习练习:9/16Ex3. 求复合中矩形公式求复合中矩形公式的求积误差的求积误差? 10)5 . 0()(njbahjafhdxxfEx2.复合左矩形求积公式的求积误差复合左矩形求积公式的求积误差 njjnjbafhjhafhdxxf1210)(2)()( 设被积函数在积分区间上的一阶导数连续设被积函数在积分区间上的一阶导数连续,由连续函数由连续函数介值定理介值定理),()()(11baffnnjj ),()(2)()(2)()(2122bafnabfnabxfRnjj 10/16Ex4.利用复合梯形公式计算积分利用复合梯形公式计算积分 10sindxxxI使其截断误差不超过使其截

7、断误差不超过 0.510-3,应算多少次函数值？应算多少次函数值？ 提示提示： 10)cos(sin)(dtxtxxxf练习练习: : 给定积分给定积分当要求误差小于当要求误差小于10-3时用复合梯形公式和时用复合梯形公式和Simpson公公式计算时式计算时, 需要计算多少次函数值？需要计算多少次函数值？ dxxex 31sin11/16Ex5. 验证，复合梯形公式与复合验证，复合梯形公式与复合Simpson 公式之公式之间有如下关系间有如下关系43122mmmTTS )(2)()(211 mjmjhafbfafhTmabh )5 . 0(2112 mjmmhjhafhTT )2(231431

8、12 mjmmmhjhafhTTT )(4)(2)()(31121122 mjjmjjmxfxfbfafhmabhm22 mjjmjjmSxfxfxfh221211222)()(4)(3 12/16Ex6. 定积分定积分 的计算问题可化为初值问题的计算问题可化为初值问题 y= f (t) , y(a)=0试证明用试证明用Euler公式计算结果为公式计算结果为其中其中, h = (b a )/N, tn= a + n h ( n = 0,1,2, N)badxxf)(10Nnnhtfby)()(Ex7. 试证明试证明4阶阶Range-Kutta公式解公式解a, b内初值问题内初值问题 y= f

9、(x) , y(a)=0结果有结果有: 其中其中, h = (b a )/N, xn= a + n h ( n = 0,1,2, N) 1012/1)()(4)(6)(Nnnnnxfxfxfhby13/1614/16Ex 8 将积分上限函数将积分上限函数 xdttxxf022)exp()exp()(转化为常微分方程初值问题。并推导用二阶和四阶龙转化为常微分方程初值问题。并推导用二阶和四阶龙格格- -库塔方法求解的计算公式库塔方法求解的计算公式Ex9. 初值问题初值问题有解有解y(x)=0.5a x2 + b x 。若取若取 xn = nh，yn为欧为欧拉方法得到的数值解，试证明拉方法得到的数值解，试证明y(xn) yn = 0.5 a h xn 0)0(ybaxy若取若取 xn = nh，yn为用梯形公式计算所得的数值解，为用梯形公式计算所得的数值解，记记y(xn)为初值问题的在为初值问题的在x=xn处的解析解。试证明处的解析解。试证明: y(xn) =