数值计算中的基本原则

1、数值计算中的基本原则数值计算中的基本原则数值不稳定的算例数值不稳定的算例方程求根问题引例方程求根问题引例二分算法及其应用二分算法及其应用数值分析2 2数值计算中的基本原则数值计算中的基本原则(1)避免绝对值小的数做除数避免绝对值小的数做除数; ;(2)避免两相近数相减避免两相近数相减; ;(3)防止大数防止大数“吃吃”小数现象小数现象a = 109，b = 9，设想在设想在8位浮点数系中相加位浮点数系中相加a + b =1.0000000 109+ 0.000000009 109由于只保留由于只保留8位有效数位有效数，数据数据09被舍去被舍去,实际加法实际加法操作操作 a + b计算结果是计算

2、结果是 将将 a 的数据作为计算结果的数据作为计算结果赋值给赋值给 a+ b.2/18(4)尽量减少计算工作量尽量减少计算工作量(乘、除法次数乘、除法次数)例例 计算计算 P(x) = 1+2x+3x2+4x3 + 5x4 的值的值 P(x)=1+x(2+x(3+x(4+5x)一个应用一个应用: 2进制数转换为进制数转换为10进制数进制数 (1 1 1 0 1 1 1 0)2 = 27+26 +25 +0 +23 +22 +2 +0 =(12+1)2+1)2+0)2+1)2+1)2+1)2+0=2383/18求多项式值的秦九韶算法求多项式值的秦九韶算法 输入输入 x；a0，a1，an S a0

3、；u1k 从从 1 到到 n 循循环环uxuSS + ak u输出数据输出数据S ；结束；结束输入输入 x；a0，a1，an S ank 从从 n 到到 1 循循环环Sak1+ xS输出数据输出数据S ；结束；结束秦九韶算法秦九韶算法P(x)=a0+ a1x + a2 x2 + + an xn4/18例例1 1 计算计算 ( n =0,1, 20 ) 101dxexeIxnn1110101)1( eeedxeeIx11011011011)( nxnxnxnnnIdxexnexedxexeI 101010dxxedxexdxxnxnn1111 nInen5/18初值初值：I0 = 1 e 1 0

4、.63212055882856 n= =20时时，S20= =- -30.19239488558378递推公式递推公式: In = 1 nIn-1 (I0 = 1- e-1)S0=1-exp(-1);S(1)=1-S0;for n=2:20 S(n)=1-n*S(n-1)end实际递推实际递推: Sn=1=1- -nSn-1-1|e(S0)|=|S0 I0|10-15有误有误！6/18In=1 - - nIn-1Sn- - In=- - n(Sn-1 - - In-1)e(Sn)= ne(Sn-1)= (n!)(1)ne(S0)新算法新算法: In-1 = (1 - In)/nS(30)=1/

5、31for n=30:-1:2 S(n-1)=(1-S(n)/n;endS0=1-S(1),S(1:21)初值误差在算法执行过程中不断增大初值误差在算法执行过程中不断增大, ,这种算这种算法称为法称为数值不稳定算法数值不稳定算法。7/18Sn- -In= (Sn-1 - - In-1)/n 在算法执行过程中在算法执行过程中, ,舍入误差对计算结舍入误差对计算结果影响不大的一类算法被称为数值稳定果影响不大的一类算法被称为数值稳定算法算法; ;否则称为不稳定算法否则称为不稳定算法. .初始误差在算法执行过程中不断减小初始误差在算法执行过程中不断减小, ,这种这种算法称为数值稳定算法。算法称为数值稳

6、定算法。|e(S20)|=|S20-I20|=|(1-S21/21)-(1-I21/21)|= | S2 1- I2 1| / 2 1 = = | S3 0-I30|/(21222330)8/18 r d 例例2.2.水中浮球问题水中浮球问题 有一半径有一半径r =10 cm的球体的球体,密密度度 =0.638.球体浸入水中后球体浸入水中后,浮出水面的高度浮出水面的高度h是多少是多少？ 设球体浸入水中的深度设球体浸入水中的深度 d .根据阿基米德定律根据阿基米德定律,物体排开水的质量就是水对物体的浮力物体排开水的质量就是水对物体的浮力。 334rM ddxxrrV022)( 整理得整理得: d

7、 3 3 r d 2 + 4 r 3 = 0 9/1805101520-2000-10000100020003000由由 =0.638, r = 10.代入代入,得得d 3 30 d 2 + 2552 = 0 令令 f (x) = x 3 30 x 2 + 2552 ,函数图形如下所示函数图形如下所示求解方程求解方程 f(x)=0,即是求函数即是求函数 f(x)的的零点零点. f(x) 的零点的零点所在区间为所在区间为10，1510/18第一步第一步:对根进行隔离对根进行隔离,找出隔根区间找出隔根区间,或在隔根或在隔根区间内确定一个解的近似值区间内确定一个解的近似值x0;设设f(x) = 0的

8、根为的根为 x*,通过迭代计算通过迭代计算,产生序列产生序列: x0 x1 x2 xn 用数值方法求非线性方程的根用数值方法求非线性方程的根, ,分两步进行分两步进行:第二步第二步:逐步逼近逐步逼近,利用解的近似值利用解的近似值x0,或隔根区间或隔根区间通过通过迭代算法迭代算法得到更精确的近似解得到更精确的近似解.*limxxnn 只须只须11/18例例3.3.分期付款购一套分期付款购一套3030万元的住房万元的住房. . 方案是方案是首付首付7 7万万, , 以后每月付以后每月付15001500元元, 15, 15年后付清年后付清. .这种付款方式实际上是贷款购房这种付款方式实际上是贷款购房

9、, ,问这样贷问这样贷款的利息是多少款的利息是多少? ?分析分析: :设代款总额为设代款总额为A,每月付款每月付款P,银行利率为银行利率为x,贷款年限为贷款年限为 y =m/12. 则有则有A(1+x)m = P + P(1+x) + P(1+x)2 + P(1+x)m-1)1(1)1(1)1(xxPxAmm 12/18)1(1 mxxPA )1(1 1500230000180 xx令令)1(1 1500)(180 xxxf则则 f(0.001)=2.4698e+005, f(0.002)=2.2655e+005 f(0.0015)= 2.3647e+005, f(0.00175)=2.314

10、4e+005x = 0.0018 (年利息约年利息约0.0218)13/18已知方程已知方程 f(x)=0有一隔有一隔根区间根区间a, b,且且f(x)满足满足f(a)f(b)0,则先将则先将a , b等分为两个小区间等分为两个小区间,判判断根属于哪个小区间断根属于哪个小区间,舍去无根区间保留有根舍去无根区间保留有根区间区间a1, b1;二分法迭代二分法迭代把区间把区间a1, b1 一分为二一分为二, ,进一步判断根属于哪进一步判断根属于哪个更小的区间个更小的区间 a2, b2,如此不断二分以缩小隔如此不断二分以缩小隔根区间长度根区间长度 . .14/18a, bx0=0.5(a+b)a1,b

11、1=a,x0a1,b1=x0,bx1=0.5(a1+b1)f(a1) f(b1) 0已知已知f(x)=0在在a,b内有一根内有一根,且且f(a)f(b)0(1)计算计算:x00.5(a+b),y0f(x0),y1f(a) 判断判断,若若y0=0,则则x0是根是根,否则转下一步否则转下一步;(2)判断判断,若若y0y10,则则a1a, b1 x0 否则否则 a1x0, b1b, y1 y015/18二分法迭代将得到一系列隔根区间二分法迭代将得到一系列隔根区间 ,2211nnbabababa定理定理2.22.2 设设x*是是 f(x)=0在在a, b内的唯一根内的唯一根,且且 f(a)f(b)0,则二分法计算过程中则二分法计算过程中, 各隔根区间各隔根区间的中点数列的中点数列 ), 2 , 1 , 0( )(21 nbaxnnn性质性质:1. f(an)f(bn)0; 2. bn an = (b a)/ 2n满足满足: | xn x*| (b a)/ 2n+116/18-1-0.500.511.52-101234例例 4 用二分法求方程用二分法求方程 在区间在区间 0, 1内的根内的根,要求误差不超过要求误差不超过2-5. x=-1:.5:2;y=exp(-x)-sin(pi*x/2);p