幻灯片 仲恺农业技术学院

1、教学目的教学目的:函数函数及其及其性质性质教学重点教学重点:基本初等函数基本初等函数教学难点教学难点:初等函数初等函数及其及其应用应用知识结构第一节第一节 初等函数初等函数知识结构知识结构函数函数内涵内涵外延外延定义域定义域初等函数初等函数分段函数分段函数性质性质几何性质几何性质代数性质代数性质有界性有界性奇偶性奇偶性单调性单调性运算运算封闭性封闭性基本基本初等函数初等函数周期性周期性应用应用四则运算四则运算复合运算复合运算逆运算逆运算函数函数3a4cdb21AB定义域定义域1,2,3,4值域值域 , , b c d定义域定义域每个每个元素有且只有一个对应值元素有且只有一个对应值多对一多对一一

2、对一一对一允许的情形允许的情形:不允许的情形不允许的情形:一对多一对多f称称 f 为为A到到B的函数的函数记做记做b = f (1)一般地一般地, y 是是x的像的像记做记做 y = f (x), x称为自变量称为自变量, y称为因变称为因变量量称称b为为1的像的像2210定义域定义域例例1 求求2sin)2lg()(2xxxxxf的定义域的定义域D 解解 要使函数有意义必须满足要使函数有意义必须满足02022xxx即即221xxx或故故 ), 2() 1, 2(D函数性质函数性质函数的性质函数的性质周期性周期性单调性单调性奇偶性奇偶性有界性有界性运算封闭性运算封闭性代数性质代数性质几何性质几

3、何性质回主视图回主视图几何性质几何性质周期性周期性单调性单调性奇偶性奇偶性有界性有界性回主视图回主视图代数性质代数性质函数相等函数相等函数四则运算函数四则运算函数复合函数复合函数的逆函数的逆运算封闭性运算封闭性回主视图回主视图有界性有界性则称函数则称函数)(xfD1DD0Mx1D,)(Mxf)(xf1D)(xf1D设函数设函数的定义域为的定义域为，,若有常数若有常数，使对任意，使对任意，都有，都有在数集在数集上有界上有界则称则称在在上无界上无界如果不存在这样的正数如果不存在这样的正数,x1sinxxysin,例例2 由于对任何实数由于对任何实数 ，有，有因此，函数因此，函数在在内有界内有界My

4、My 在整个定义域上有界的函数，其图象必介于直线在整个定义域上有界的函数，其图象必介于直线与直线与直线之间之间. 函数性质函数性质单调性单调性)(xfDIDI21,xx21xx )()(21xfxf)(xfI定义定义 设函数设函数的定义域为的定义域为，区间若对若对上任意两点上任意两点当当时，有时，有则称函数则称函数在区间在区间上是单调增加的上是单调增加的 21xx )(xfI当当时，有时，有则称函数则称函数在区间在区间上是单调减少的上是单调减少的 )()(21xfxf单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数 单调性例题单调性例题 奇偶性奇偶性)(xfOD

5、x)()(xfxf)(xf)()(xfxf)(xf 设函数设函数的定义域关于原点的定义域关于原点对称对称.，若有，若有则称则称为偶函数为偶函数;则称则称为奇函数为奇函数若有若有对任意对任意奇偶性例题奇偶性例题以以周期性周期性)(xfDTDx)(Txf)(xf)(xf)(xf设函数设函数的定义域为的定义域为，如果存在正数，如果存在正数对任意对任意有有成立，则称成立，则称为周期函数，为周期函数，称为称为的周期的周期T)(xfT0a （）)(axfaT例例3 证明：若证明：若是以是以为周期函数，则为周期函数，则是以是以为周期的函数为周期的函数)(xfT)()(axfTaxfaTxafx证证 由于由于

6、为周期，因此为周期，因此对任意对任意成立从而命题得证成立从而命题得证 函数性质函数性质偶函数偶函数y偶函数的图象特征是关于偶函数的图象特征是关于轴对称轴对称0 xxy奇偶性奇偶性奇函数奇函数奇函数的图象特征是关于原点对称奇函数的图象特征是关于原点对称yxyx0奇偶性奇偶性奇偶性例题奇偶性例题2(1)21yx ；3(2)2sinyxx；31yx（ ）；例例4 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：)(121)(2)(22xfxxxf122xy解解 (1)故故为偶函数为偶函数)(sin2)sin(2)()(33xfxxxxxfxxysin23(2) 故故为奇函数为奇函数1)(xxf)(xf)

7、(xf1 xy (3) ，它既不等于，它既不等于也不等于也不等于，故故是非奇非偶函数是非奇非偶函数函数性质函数性质时，有时，有单调性例题单调性例题2)(xxf,).)()()(1212212212xxxxxxxfxf. 0)()(12xfxf210 xx . 0)()(12xfxf2)(xxf0 , 0-3-2-10123-2-1012345y=x2yxo例例5 判断函数判断函数的单调性的单调性，由于，由于当当当当时，有时，有 因此，函数因此，函数在在上单调减少上单调减少,上单调增加上单调增加.解解 函数的定义域为函数的定义域为021 xx在在函数性质函数性质运算封闭性运算封闭性具有某性质具有

8、某性质P的两函数经过某运算的两函数经过某运算 结果结果仍具有性质仍具有性质P,称性质称性质P关于运算关于运算 封闭封闭.例例 自然数关于加法自然数关于加法,乘法和乘方运算封闭乘法和乘方运算封闭例例 函数有界关于加减乘运算封闭函数有界关于加减乘运算封闭例例 单调递增函数关于加法和复合运算封闭单调递增函数关于加法和复合运算封闭例例 偶函数关于加减乘除法运算封闭偶函数关于加减乘除法运算封闭例例 同周期函数关于加减乘除和复合运算封闭同周期函数关于加减乘除和复合运算封闭函数性质函数性质函数相等函数相等f xx（ ）= g（ ）,f xxD设（ ）,g（ ）义定定于于,xD 有有f 称两数记 g函函相相等

9、等, ,作作义定定域域相相同同数函函值值相相等等代数性质代数性质2ln,ln ,?f xxxxfg例 （ ）= g( ）= 2解解:因为两函数定义域不同因为两函数定义域不同,所以所以,不相等不相等.函数四则运算函数四则运算,f xxD设（ ）,g（ ）义定定于于,xD f xx（ ）,g（ ）则有有唯唯一一值值, ,f xx（ ）+g（ ）有有唯唯一一值值, ,f xx（ ）-g（ ）有有唯唯一一值值, ,f xx（ ）g（ ）有有唯唯一一值值, ,( ( )0)f xxg x （ ）/g（ ） 有有唯唯一一值值, ,由由函函数数定定义义, ,上上面面四四种种运运算算确确定定了了四四个个函函数

10、数, , f g别称为数积记作分分函函 的 的和和、差差、商商，,/fgfgf gfg代数性质代数性质函数复合函数复合2134bacdstrABC2134strfggf注意注意复合顺序复合顺序书写顺序书写顺序例题例题复合函数例题复合函数例题已知h (x) ,g (x) , h (x)= f (g (x),求 f (x) .代数性质代数性质这种题通常要求这种题通常要求g(x)可逆可逆,先求得先求得xy-1 g（ ）将将x代入代入(h xf g x（ ）=（ ）)1(f yh gy（ ）= （ ）)得得1(f xh gx（ ）= （ ）)故故函数的逆函数的逆acdb3421每个每个原像必须有像原像

11、必须有像,且只能有一个像且只能有一个像多对一多对一一对一一对一允许的情形允许的情形:不允许的情形不允许的情形: 一对多一对多ABf保持对应关系保持对应关系,改变对应方向改变对应方向,还是函数吗还是函数吗?有两种情形将使得这种改向不再是函数有两种情形将使得这种改向不再是函数:1. 原来是多对一将变成一对多原来是多对一将变成一对多2.原来不是像的元素改向后没有像原来不是像的元素改向后没有像改向后还是函数的充要条件改向后还是函数的充要条件:1.原像与像只有一对一情形原像与像只有一对一情形2.不存在没有原像的元素不存在没有原像的元素求函数的逆求函数的逆这种反向函数称为原函数的逆函数这种反向函数称为原函

12、数的逆函数,1( )yfx记作作求函数的逆求函数的逆11xxyxyyyyx1111xyxxy111x例例6 求函数求函数解解 去分母并解出变量去分母并解出变量与与的记号互换，即得反函数为的记号互换，即得反函数为的反函数的反函数.函数及其逆函数及其逆函数及其逆函数及其逆yx,)(xfy )(1xfy若点若点在曲线在曲线上，则点上，则点必在曲线必在曲线上反之也对上反之也对 , y xyy=f(x)(x,y)(y,x)Oy=f-1(x)y=xx)(xfy )(1xfyyx函数函数与与的图形关于直线的图形关于直线对称对称 代数性质代数性质 基本初等函数基本初等函数幂函数幂函数指数函数指数函数对数函数对

13、数函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数反正弦函数反正弦函数反余弦函数反余弦函数反正切函数反正切函数反余切函数反余切函数正割函数正割函数余割函数余割函数回主视图回主视图幂函数幂函数00.20.40.60.811.21.41.61.800.20.40.60.811.21.41.61.8y=xy=x-1y=x1/3y=x-2y=x3基本初等函数xy 过点过点(1，1)0R时在时在单增单增0R时在时在单减单减指数函数指数函数-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5-0.500.511.522.533.544.5(0,1)y=axy=axx0a10a1O(

14、1,0)xy基本初等函数log(0,1)ayxaa1,0过点过点1a单增单增 10 a单减单减 正弦函数正弦函数-/2Oxy1-1/23/22基本初等函数xysin 2T1y奇函数奇函数余弦函数余弦函数Oxy1-1/23/22-/2基本初等函数xycos 2T1y偶函数偶函数正切函数正切函数Oxy/2-/2基本初等函数xytan奇函数奇函数T在每个周期内单增在每个周期内单增 余切函数余切函数-Oyx基本初等函数xycot奇函数奇函数T在每个周期内单减在每个周期内单减 正割函数正割函数基本初等函数1seccosyxx余割函数余割函数基本初等函数1cscsinyxx反正弦函数反正弦函数-/2/21

15、-1yxo基本初等函数xyarcsin奇函数奇函数单增单增22y反余弦函数反余弦函数/21-1yxo基本初等函数xyarccos单减单减 y0反正切函数反正切函数/2-/2yxo基本初等函数xyarctan奇函数奇函数单增单增22y反余切函数反余切函数yxo/2基本初等函数xycotarc单减单减 y0初等函数初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算与函数由基本初等函数经过有限次四则运算与函数复合构成的，可以用一个式子表示的函数叫复合构成的，可以用一个式子表示的函数叫初等函数初等函数 定义域划分成若干部分定义域划分成若干部分,每一部分由初等函数每一部分由初等函数表示表示,且各部分交界处相同自变

16、量值有相同函且各部分交界处相同自变量值有相同函数值数值,称这种函数为分段函数称这种函数为分段函数.初等函数初等函数例例7 指出函数指出函数22)2(arcsin3xy的复合关系，并求它的定义域的复合关系，并求它的定义域y.1,0vw12x 或12x222,arcsin,3xwwvvuuy解解 复合关系复合关系：要使要使 y 有意义，必须上面四个函数均有意义，即有意义，必须上面四个函数均有意义，即试将油桶的总造价试将油桶的总造价 y表示为油桶半径表示为油桶半径 r 的函数的函数已知上盖单位面积造价是侧面的一半，而侧面单位面已知上盖单位面积造价是侧面的一半，而侧面单位面积造价又是底面的一半设上盖的单位面积造价为积造价又是底面的一半设上盖的单位面积造价为初等函数应用初等函数应用320Vma2m元例例8 要设计一个容积为要设计一个容积为的有盖圆柱形贮油桶的有盖圆柱形贮油桶,rm（ ）22rm（）解解 设油桶半径设油桶半径,则其底面积为则其底面积为于是桶高应为于是桶高应为2222020rrrVhar 2ararh8022ar42由题意，油桶的上盖造价为由题意，油桶的上盖造价为(元),侧面造价为侧面造价为