张量概念及其基本运算

1、张量概念及其基本运算张量概念及其基本运算 1 1、张量概念、张量概念 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具质力学的重要数学工具 。 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。 所有与坐标系选取无关的量，统称为所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量物理恒量。 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明 的物理量，统称为的物理量，统称为标量标量。例如温度、质量、功等。例如温度、质量、功等。 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向在一定单位制下，除指明其

2、大小还应指出其方向 的物理量，称为的物理量，称为矢量矢量。例如速度、加速度等。例如速度、加速度等。 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需 三个分量来确定。三个分量来确定。 若我们以若我们以r表示维度，以表示维度，以n表示幂次，则关于三维表示幂次，则关于三维 空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表 示成：示成： M = 3n 现令现令 n 为这些物理量的阶次，并统一称这些物为这些物理量的阶次，并统一称这些物 理量为张量。理量为张量。 当当n=0时，零阶张量，时，零阶张量，M = 1，标量；，标量；当当n

3、=1时，一阶张量，时，一阶张量，M = 3，矢量；，矢量； 、 、 、当取当取n时，时，n阶张量，阶张量，M = 3n。 张量的定义为：由若干坐标系改变时满足一定张量的定义为：由若干坐标系改变时满足一定 坐标转化关系的有序数组成的集合。坐标转化关系的有序数组成的集合。 张量是矢量和矩阵概念的推广。标量是张量是矢量和矩阵概念的推广。标量是0 0阶张量，阶张量， 矢量是一阶张量，矩阵是二阶张量，而三阶张量矢量是一阶张量，矩阵是二阶张量，而三阶张量 好比立体矩阵，更高阶张量则无法用图形表示好比立体矩阵，更高阶张量则无法用图形表示 张量出现的背景：我们的目的是要用数学量来表示张量出现的背景：我们的目的

4、是要用数学量来表示 物理量，可是标量加上向量都不能完整地表达所有物理量，可是标量加上向量都不能完整地表达所有 的物理量，所以物理学家使用的数学量的概念就的物理量，所以物理学家使用的数学量的概念就 必须扩大，于是张量就出现了。必须扩大，于是张量就出现了。 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表 示和区别该张量的所有分量。示和区别该张量的所有分量。 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标 号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数 量确定张量的阶次。量确定张量的阶次。 重复出现

5、，且只能重复出现一次的下标符号称重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称 为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 再求和。再求和。2.2.下标记号法下标记号法3.3.求和约定求和约定 关于哑标号应理解为取其变程关于哑标号应理解为取其变程n内所有数值，然后再求和，内所有数值，然后再求和，这就叫做求和约定。这就叫做求和约定。 例如：例如： 31332211iiiiibababababa 31332211jiiijijjijbababababa2332222113122aaaaaiiiii 23322112312)( iiiii 3131ijijijij

6、ij 131312121111 232322222121 333332323131 关于求和标号，即哑标有：关于求和标号，即哑标有： 求和标号可任意变换字母求和标号可任意变换字母表示。表示。 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前 优先求和。例：优先求和。例： 2332222112aaaaii 23322112)()(aaaaii 关于自由标号：关于自由标号： 在同一方程式中，各张量的自由标号相同，在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且标号字母相同

7、。即同阶且标号字母相同。 自由标号的数量确定了张量的阶次。自由标号的数量确定了张量的阶次。 关于关于Kronecker deltaKronecker delta（ ）符号：）符号： ij 是张量分析中的一个基本符号称为是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号柯氏符号（或（或柯罗尼克尔符号柯罗尼克尔符号），亦称），亦称单位张量单位张量。其定义为：。其定义为： ij 100010001 , 0 , 1 ijijjiji 或或：时时；当当时时；当当 的作用与计算示例如下：的作用与计算示例如下：ij jijijjijjijijijjjjjijiiiijijikkikikijkijijijiillllla

8、aaaaaaaaaaaa)( ) 6 ( ),( ) 5 ( ) 4 ( ) 3(3)()()( ) 2(3 ) 1 (321332211333322221111332211233222211332211 或或或或即即4.4.张量的基本运算张量的基本运算 A A、张量的加减：张量的加减： 张量可以用矩阵表示，称为张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵张量矩阵，如：，如： 凡是同阶的两个或几个张量可以相加凡是同阶的两个或几个张量可以相加( (或相减或相减) )，并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。相同的诸分量之代数和。 即：即：

9、其中各分量（元素）为：其中各分量（元素）为：ijijijcba 333231232221131211aaaaaaaaaaij ijijijcba B B、张量的乘积张量的乘积 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的 每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量， 它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积 张量的阶数等于因子张量

10、阶数之和。例如：张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：ijkjkicba 321aaaai321bbbbj若若则：则： 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配 律和结合律。例如：律和结合律。例如： 332313322212312111babababababababababaji)()( )(mkijmkijkijkijkijijcbacbacbcacba 或或；C C、张量函数的求导：张量函数的求导： 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都 是坐标参数是坐标参数x xi i的函数。的函数。 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数 求导数。求导数。 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加符号前上方加“ ”的方式来表示。例如的方式来表示。例如 ， 就表示对一阶张量就表示对一阶张量 的每一个分量对坐标参数的每一个分量对坐标参数 x xj j求导。求导。 jiA iA 如果在微商中下标符号如果在微商中下标符号i i是一个自由下标，则是一个自由下标，则