正弦定理、余弦定理的应用

1、北师大版高中数学必修五正弦定理、余弦定理的应用辽宁省北票市保国学校 丛日艳教学目的：1进一步熟悉正、余弦定理内容；2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系教学方法：启发引导式1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比方互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发

2、挥正、余弦定理的边角互换作用教学过程：一、复习引入：正弦定理：余弦定理： ，二、讲解范例：例1在任一ABC中求证：证：左边=0=右边例2 在ABC中，B=45° 求A、C及c解一：由正弦定理得：B=45°<90° 即b<a A=60°或120°当A=60°时C=75° 当A=120°时C=15° 解二：设c=x由余弦定理 将条件代入，整理：解之： 当时 从而A=60° ，C=75° 当时同理可求得：A=120° ，C=15°例3 在ABC中，BC=a,

3、AC=b, a, b是方程的两个根，且2cos(A+B)=1 求1角C的度数 2AB的长度 3ABC的面积解：1cosC=cosp-(A+B)=-cos(A+B)=- C=120°2由题设： AB2=AC2+BC2-2ACBCosC 即AB=3SABC=例4 如图，在四边形ABCD中，ADCD, AD=10, AB=14, ÐBDA=60°, ÐBCD=135° 求BC的长解：在ABD中，设BD=x那么即 整理得： 解之： 舍去由余弦定理： 例5 ABC中，假设三边为连续正整数，最大角为钝角，1°求最大角 ; 2°求以此最大

4、角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积解：1°设三边 且C为钝角 解得 或3 但时不能构成三角形应舍去当时 2°设夹C角的两边为 S 当时S最大=例6 在ABC中，AB5，AC3，D为BC中点，且AD4，求BC边长分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为后，建立关于的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程解：设BC边为，那么由D为BC中点，可得BDDC，在ADB中，cosADB在ADC中，cosADC又ADBADC180

5、76;cosADBcos180°ADCcosADC解得，2, 所以，BC边长为2评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：由三角形内角平分线性质可得，设BD5，DC3，那么由互补角ADC、ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA三、课堂练习：1半径为1的圆内接三角形的面积为025，求此三角形三边长的乘积解：设ABC三边为a，b，c那么ABC又，其中R为三角形外接圆半径, abc

6、4RSABC4×1×0251所以三角形三边长的乘积为1评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式ABC发生联系，对abc进行整体求解2在ABC中，角B45°，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，求AB解：在ADC中，cosC又0C180°，sinC在ABC中， AB评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用3在ABC中，cosA，sinB，求cosC的值解：cosAcos45°，0A 45°A90°,

7、sinAsinBsin30°，0B 0°B30°或150°B180°假设B150°，那么BA180°与题意不符 0°B30° cosBcosABcosA·cosBsinA·sinB又C180°ABcosCcos180°ABcosAB评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与角接近的特殊角的三角函数值进行比较四、小结 通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，

8、综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力五、课后作业：课后记： 1正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，假设将正弦定理代入得：sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，举例:例1在ABC中，sin2Bsin2Csin2AsinAsinC，求B的度数解：由定理得sin2Bsin2Asin2C2sinAsinCcosB，2sinAsinCcosBsinAsinCsinAsinC0 cos B150°例2求sin210

9、°cos240°sin10°cos40°的值解：原式sin210°sin250°sin10°sin50°在sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA，令B10°，C50°，那么A120°sin2120°sin210°sin250°2sin10°sin50°cos120°sin210°sin250°sin10°sin50°2例3在ABC中，2cosBsinCsinA，试判定ABC的形状解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinCsin2A，由定理得sin2Asin2Csin2sin2A， sin2Csin2BBC故ABC是等腰三角形2一题多证:例4在ABC中a2bcosC，求证：ABC为等腰三角形证法一：欲证ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a2bcosC，即2cosC·sinBsinAsinBCsinBcosCcosBsinCsinBcosCcosBsinC