概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布

1、2.3 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 1. X是离散型随机变量是离散型随机变量 2. X是连续型随机变量是连续型随机变量 在许多实际问题中，常常需要研究随机变量的函数。例如：测量圆轴截面的直径d，而关心的却是截面积由于测量的误差，d为随机变量，S就是随机变量d的函数 在统计物理中，已知分子的运动速度X的分布，求其动能的分布。241dS221mXS 一般地，设y =f (x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取值在函数y =f (x)的定义域内，则Y=f (X)也为一随机变量。1. X是离散型随机变是离散型随机变量量设随机变量X的分布列为Xx1x2xkPp1p2pk则函数Y=g(X)

2、 是离散型随机变量，可能的取值是g(x1), g(x2), g(xk),(k=1,2,n,). 则Y=g(X) 的概率分布为：(1) 若g(xk)互不相同，则事件Y=yi=g(xi)等价于事件X=xi，从而Y=g(X) 的概率分布为：Yg(x1)g(x2)g(xk)P(Y=yi)p1p2pk(2) 若某些g(xi) 相同，比如g(xi1) g(xi2)= g(xil) = yi , (i=1,2,)则事件Y=yi=g(xi)等价于事件X=xi1 X=xi2 X=xil 从而有：lkikiliiixXPxXPxXPxXPyYP121)()(.)()()(步骤：1. 确定Y的取值 y1 , y2

3、, , yi , 2. 求概率 P(Y=yi)=pj 3. 列出概率分布表X01234P1/121/61/31/121/3Y-11357P(Y=yi)1/121/61/31/121/3例例2.3.1 设随机变量X的分布列如下表，试求Y=2X-1和 Y=(X-1)2的分布列.解解 (1) 因为 y =2x-1严格单调，所以yi (i=1,2,5)互不相同，Y所有可能取的值为-1,1,3,5,7. 故Y的分布列为：Y0149P(Y=yi)1/61/12+1/31/121/3(2) 因为 Y=(X-1)2的取值分别为1,0,1,4,9. 故Y的分布列为：例例 设XB(2,0.3)，求下列随机变量的分

4、布列 1. Y1=X2 2. Y2= X2-2X 3. Y3=3X- X2解解 X的概率分布为. 2 , 1 , 0,7 . 03 . 0)(22kCkXPkkkX012Y1=X2014Y2=X2-2X0-10Y3=3X-X2022P0.490.420.09Y1 0 1 4P0.49 0.42 0.09Y2 -1 0P0.42 0.58Y3 0 2P0.49 0.51则Y1 ，Y2 ，Y3的分布列分别为为奇数为偶数xxxxf, 10, 0, 1)(0120)!12() 12() 1(kkkekkXPYP121)!2()2() 1(kkkekkXPYP-eXPYP) 0() 0(例例 设X服从参

5、数为的泊松分布，试求Y=f (X)的分布列. 其中解解 易知Y的可能取值为-1,0,1，且有2. X是连续型随机变量是连续型随机变量设X为连续型随机变量，已知其分布函数FX(x)和密度函数fX(x)，随机变量Y=g(X)，要求Y的分布函数FY(y)和密度函数fY(y).步骤：(1) 由Y=g(X)的分布函数这里G=x|g(x) y (2) 求导数得Y=g(X)的概率密度为 fY(y)=FY(y)GYdxxf GXPy XgPyYPyF)()()()()(注：解 g(x)y 时要考虑y的不同取值范围例例 设随机变量 ，求X的线性函数 的密度函数),(2NX是常数）（babaXY,0解解 先根据Y

6、与X的函数关系式求Y的分布函数:)()()(ybaXPyYPyFY0),(1)(0),()(aabyFabyXPaabyFabyXPXX若若从而，求导数得：0,1)(0,1)()()(aaabyfaaabyfdyydFyfXXYY若若)(1abyfaXyeaeaabayaby 21212222)(2)(2)(由此得到服从正态分布的随机变量的一个重要性质：若随机变量),(2NX则),(22abaNbaX定理定理2.3.1 设连续型随机变量X具有概率密度函数fX(x)，又设函数y=g(x)是x的单调函数，其反函数g1 (y)有连续导数，则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度函数为:其它0|)(

7、 |)()(11yygygfyfXY其中 )(),(max(,)(),(min(gggg证证(1) g(x)严格单调增加时，此时其反函数g1 (y)在(,)也严格单调增加，则)()(1ygXyXgyY故)()()()()(11ygFygXPyXgPyYPyFyXY时，; 0)()(yYPyFyY时，. 1)()(yYPyFyY时，于是得Y的概率密度：其它0|)( |)()(11yygygfyfXY(2) g(x)严格单调减小时，此时其反函数g1 (y)在(,)也严格单调减小，则)()(1ygXyXgyY故)()()(yXgPyYPyFyY时，; 0)()(yYPyFyY时，. 1)()(yYP

8、yFyY时，注意，此时0)(1yg)(1)(11ygXPygXP)(1)(111ygFygXPX于是得Y的概率密度：其它0|)( |)()(11yygygfyfXY综合上述两种情况，定理成立.例例 设随机变量X的概率密度函数为000)(xxexfx求随机变量Y=X2的概率密度函数。解解 先求Y的分布函数FY(y)=P(Y y)=P(X2 y), 当y=0时，FY(y)=0当y0时， )() X()(2yXyPy PyFYyyyxdxedxxf0)(ye 1所以Y的概率密度函数为00021)(yyeyxfy例例 设随机变量求的密度函数.) 1 , 0(UX122XY解解 X的取值范围为(0,1)

9、，从而Y的取值范围为(1,3) 当1y 3时，Y的分布函数为)12()()(2yXPyYPyFY)2121(yXyP)21()21(yFyFXX由于x0时0)(xFX从而0)21(yFX因此当1y3时，)21()(yFyFXY而Y3是不可能事件，从而有其他，其他，0311420311221)21()(yyyyyfyfXY例例 设随机变量X的概率密度函数为)1 (1)(2xxfX求 的概率密度.解解 y = ex 单调可导，, 0 xey且其值域为 y0反函数为 x = g(y) = lny所以，y0时)ln1 (1|1|ln| )( |)()(2yyyyfygygfyfXXYyyg1)( 故其它00)ln1 (1)(2yyyyfYXeY 例例 设随机变量X具有概率密度求随机变量Y=2X+8的概率密度解解 先求Y=2X+8的分布函数FY(y)40,8,0)(xxXxf其他)82()()(yXPyYPyFY28)()28(yXdxxfyXP于是得Y=2X+8的概率密度为：)28)(28()()(yyfyFyfXYY其它，其它0168,040,32828212881yyyy例例2.3.4 设随机变量X具有概率密度求Y=X2的概率密度由于故当 y0 时有于是得Y的概