高中数学《抛物线及其标准方程》课件新人教B版选修

1、抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 青青 春春 抛抛 物物 线线进入抛物线进入抛物线的内部世界的内部世界yxo探究？探究？画图观察画图观察再次观察再次观察C问题探究：问题探究： 可以发现可以发现, ,点点M随着随着H H运动的过程中运动的过程中, ,始终有始终有| |MF|=|=|MH|,|,即点即点M与点与点F和定直线和定直线l的距离相等的距离相等. .点点M生成的轨迹是曲线生成的轨迹是曲线C的形状的形状.( (如图如图) ) 我们把这样的一条曲线叫做我们把这样的一条曲线叫做抛物线抛物线. .MFlH观察发现观察发现CMFlH 在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F和一条定直线和一条定直

2、线l(l不经过点不经过点F)的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛抛物线物线.点点F叫抛物线的叫抛物线的焦点焦点,直线直线l 叫抛物线的叫抛物线的准线准线d 为为 M 到到 l 的距离的距离准线准线焦焦点点d一、抛物线的定义一、抛物线的定义:CMFlH如何建立坐标系呢如何建立坐标系呢？ 思考思考：抛物线是抛物线是轴对称图形吗轴对称图形吗？怎怎样建立坐标系样建立坐标系,才能才能使焦点坐标和准线使焦点坐标和准线方程更简捷方程更简捷?xy0 xy0 xy01.1.建立坐标系建立坐标系2.2.设动点坐标设动点坐标, ,相关点的坐标相关点的坐标. .3.3.列方程列方程4.4.化简化简, ,整理

3、整理l 解：以过解：以过F且垂直于且垂直于 l 的直的直线为线为x轴轴, ,垂足为垂足为K. .以以F, ,K的中点的中点O O为坐标原点建立直角坐标系为坐标原点建立直角坐标系xoy.22()|22ppxyx 两边平方两边平方, ,整理得整理得xKyoM(x,y)F依题意得依题意得22(0)ypx p 5.5.证明（略）证明（略）这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程. .y y2 2=2px-p=2px-p2 2(p0)(p0)y y2 2=2px+p=2px+p2 2(p0)(p0) y2=2px (p0) 把方程把方程 y2 = 2 2px (p0)叫做抛物线的叫做抛物线的标准方标准方

4、程程.其中其中 p 为正常数为正常数,表示焦点在表示焦点在 x 轴正半轴上轴正半轴上.且且 p的几何意义是的几何意义是: : 焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离焦点坐标是焦点坐标是(,0)2p2px 准线方程为准线方程为: : 一条抛物线，由于它在坐标平面内一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式的标准方程有四种形式.抛物线的标抛物线的标准方程的其准方程的其他形式呢他形式呢?想一想？想一想？其它形式的其它形式的抛物线的焦抛物线的焦点与准线呢？点与准线呢？pxy220ppxy220ppyx220ppyx22

5、0p0 ,2p2px0 ,2p2px 2, 0p2py2, 0p2py 第一第一: :一次项的变量如为一次项的变量如为x( (或或y),),则则x轴轴( (或或y轴轴) )为抛物线的对称轴为抛物线的对称轴, ,焦点就在对称轴上焦点就在对称轴上. .第二第二:一次项的系数的正负决定了开口方向一次项的系数的正负决定了开口方向.例例1(1)1(1)已知抛物线的标准方程是已知抛物线的标准方程是y2 2 = 6 = 6x，求它的，求它的焦点坐标和准线方程焦点坐标和准线方程; ;(2)(2)已知抛物线的焦点坐标是已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),(0,-2),求它的标准求它的标准方程方程. . 根据标

6、准方程的知识根据标准方程的知识,我们可以确定抛物我们可以确定抛物线的焦点位置及准线方程线的焦点位置及准线方程.解解:(1)因为因为p=3，所以焦点坐标是所以焦点坐标是 , , 准线方程是准线方程是3(,0)232x ,所以所求抛物线的标准方程是所以所求抛物线的标准方程是2,2p 28xy (2)因为焦点在因为焦点在y轴的负半轴上，且轴的负半轴上，且4p 例例2.求过点求过点A(- -3,2)的抛物线的标准方程的抛物线的标准方程.AOyx解解:(1)当抛物线的焦点在当抛物线的焦点在 y 轴轴的正半轴上时，把的正半轴上时，把A(- -3,2)代入代入x2 =2py，得，得p= 94(2)当焦点在当

7、焦点在 x 轴的负半轴上时，轴的负半轴上时，把把A(- -3,2)代入代入y2 = - -2px，得得p= 23抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2 = y 或或y2 = x 。9243 思考思考: :M是抛物线是抛物线y2 = 2px（p0）上一点，若点）上一点，若点 M 的横坐标为的横坐标为x0，则点，则点M到焦点的距离是到焦点的距离是 x0 + 2pOyxFM这就是抛这就是抛物线的焦物线的焦半径公式半径公式! !1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）；）；（2）准线方程）准线方程 是是x = ；41（3）焦点到准

8、线的距离是）焦点到准线的距离是2。y2 =12xy2 =xy2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或或 x2 = -4y四、课堂练习：四、课堂练习：焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程（1)（2)（3)（4)（5，0）x= -5（0，）18y=-188x= 5（-，0）58（0，-2）y=22、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20 x （2） （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0122YX1.1.抛物线的定义抛物线的定义: :抛物线的定义反映了抛物线的本抛物线的定义反映了抛物线的本质，灵活应用定义往往可以化繁为简、化难

9、为易，质，灵活应用定义往往可以化繁为简、化难为易，且思路清晰，解法简捷，巧妙解法常常来源于对定且思路清晰，解法简捷，巧妙解法常常来源于对定义的恰当运用义的恰当运用.2.2.抛物线的标准方程有四种不同的形式抛物线的标准方程有四种不同的形式: :每一对每一对焦点和准线对应一种形式焦点和准线对应一种形式. .抓住标准方程的特点抓住标准方程的特点,注意与焦点位置注意与焦点位置,开口方向的对应关系开口方向的对应关系;3、注重数形结合和分类讨论的思想。注重数形结合和分类讨论的思想。准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程焦点位置焦点位置 图图 形形3. 不同位置的抛物线不同位置的抛物线 x轴的轴的正方向正方向 x轴的轴的负方向负方向 y轴的轴的正方向正方向 y轴的轴的负方向负方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py)0 ,2(pF)0 ,2pF(-)2, 0(pF)2, 0(pF-2=px-2=px2=py2=py-xyOFlxyOFlxyOFlxyOFl小小 诗诗 一一